প্রশ্ন ১ | গভমেন্ট ল্যাবরেটরি হাই স্কুল, ঢাকা |
\( x = a + b \)
ক. \( m + \frac{6}{m} = 1 \) হলে দেখাও যে, \( \frac{6m + 6}{m^2 + 7} = 6 \)
খ. উদ্দীপকে \( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{2} \) হলে, \( \frac{1}{x^5}(x^4 + 1)(x^6 + 1) \) এর মান কত?
গ. উদ্দীপকে \( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{5} \) হলে প্রমাণ কর যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{63x}{4} \)
খ. উদ্দীপকে \( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{2} \) হলে, \( \frac{1}{x^5}(x^4 + 1)(x^6 + 1) \) এর মান কত?
গ. উদ্দীপকে \( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{5} \) হলে প্রমাণ কর যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{63x}{4} \)
১ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( m + \frac{6}{m} = 1 \)
বা, \( \frac{m^2 + 6}{m} = 1 \) বা, \( m^2 + 6 = m \)
বা, \( m^2 + 7 = m + 1 \)
বা, \( 6(m^2 + 7) = 6m + 6 \) [উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে]
বা, \( 6m + 6 = 6(m^2 + 7) \)
\( \therefore \frac{6m + 6}{m^2 + 7} = 6 \) (দেখানো হলো)
বা, \( \frac{m^2 + 6}{m} = 1 \) বা, \( m^2 + 6 = m \)
বা, \( m^2 + 7 = m + 1 \)
বা, \( 6(m^2 + 7) = 6m + 6 \) [উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে]
বা, \( 6m + 6 = 6(m^2 + 7) \)
\( \therefore \frac{6m + 6}{m^2 + 7} = 6 \) (দেখানো হলো)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x = a + b \)
\( a = \sqrt{3} \) ও \( b = \sqrt{2} \) হলে, \( x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \) ... ... (i)
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{3})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{3} \) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
\( = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = (2\sqrt{3})^2 - 2 \) [(i) নং হতে]
\( = 12 - 2 = 10 \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 18\sqrt{3} \times 10 \)
বা, \( (\frac{x^6 + 1}{x^3}) \times (\frac{x^4 + 1}{x^2}) = 180\sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x^5} (x^4 + 1)(x^6 + 1) = 180\sqrt{3} \) (Ans.)
\( a = \sqrt{3} \) ও \( b = \sqrt{2} \) হলে, \( x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \) ... ... (i)
\( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{3})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{3} \) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
\( = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = (2\sqrt{3})^2 - 2 \) [(i) নং হতে]
\( = 12 - 2 = 10 \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 18\sqrt{3} \times 10 \)
বা, \( (\frac{x^6 + 1}{x^3}) \times (\frac{x^4 + 1}{x^2}) = 180\sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x^5} (x^4 + 1)(x^6 + 1) = 180\sqrt{3} \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x = a + b \)
\( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{5} \) হলে, \( x = \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \) ... ... (ii)
বামপক্ষ \( = x^3 + \frac{1}{x^3} \)
\( = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2})^3 - 3(\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}) \) [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]
\( = \frac{135\sqrt{5} + 3 \cdot (3\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 3\sqrt{5} \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3}{8} - \frac{9\sqrt{5} + 3\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{135\sqrt{5} + 135\sqrt{3} + 27\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 36\sqrt{5} - 12\sqrt{3}}{8} \)
\( = \frac{126\sqrt{5} + 126\sqrt{3}}{8} = \frac{126(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{8} = \frac{63(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{4} \)
\( = \frac{63x}{4} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{63x}{4} \) (প্রমাণিত)
\( a = \sqrt{3} \) এবং \( b = \sqrt{5} \) হলে, \( x = \sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} \) ... ... (ii)
বামপক্ষ \( = x^3 + \frac{1}{x^3} \)
\( = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2})^3 - 3(\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}) \) [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]
\( = \frac{135\sqrt{5} + 3 \cdot (3\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 3\sqrt{5} \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3}{8} - \frac{9\sqrt{5} + 3\sqrt{3}}{2} \)
\( = \frac{135\sqrt{5} + 135\sqrt{3} + 27\sqrt{5} + 3\sqrt{3} - 36\sqrt{5} - 12\sqrt{3}}{8} \)
\( = \frac{126\sqrt{5} + 126\sqrt{3}}{8} = \frac{126(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{8} = \frac{63(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{4} \)
\( = \frac{63x}{4} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{63x}{4} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ২ | শহিদ বীর উত্তম লে. আনোয়ার গার্লস স্কুল ও কলেজ |
\( x^2 - 2\sqrt{42} - 13 = 0 \) একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ।
ক. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: \( p^3 + 9q^3 + (p + q)^3 \)
খ. প্রমাণ কর যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7} \)
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ কর যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7} \)
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
২ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত রাশি \( = p^3 + 9q^3 + (p + q)^3 \)
\( = p^3 + 8q^3 + (p + q)^3 + q^3 \)
\( = \{p^3 + (2q)^3\} + \{(p + q)^3 + q^3\} \)
\( = (p + 2q) \{p^2 - p \cdot 2q + (2q)^2\} + (p + q + q) \{(p + q)^2 - (p + q) \cdot q + q^2\} \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2) + (p + 2q)(p^2 + 2pq + q^2 - pq - q^2 + q^2) \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2) + (p + 2q)(p^2 + pq + q^2) \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2 + p^2 + pq + q^2) \)
\( = (p + 2q)(2p^2 - pq + 5q^2) \) (Ans.)
\( = p^3 + 8q^3 + (p + q)^3 + q^3 \)
\( = \{p^3 + (2q)^3\} + \{(p + q)^3 + q^3\} \)
\( = (p + 2q) \{p^2 - p \cdot 2q + (2q)^2\} + (p + q + q) \{(p + q)^2 - (p + q) \cdot q + q^2\} \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2) + (p + 2q)(p^2 + 2pq + q^2 - pq - q^2 + q^2) \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2) + (p + 2q)(p^2 + pq + q^2) \)
\( = (p + 2q)(p^2 - 2pq + 4q^2 + p^2 + pq + q^2) \)
\( = (p + 2q)(2p^2 - pq + 5q^2) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x^2 - 2\sqrt{42} - 13 = 0 \)
বা, \( x^2 = 13 + 2\sqrt{42} \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
এখন, \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{7} + \sqrt{6} + \sqrt{7} - \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \)
\( = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7} \) (প্রমাণিত)
বা, \( x^2 = 13 + 2\sqrt{42} \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
এখন, \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{7} + \sqrt{6} + \sqrt{7} - \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \)
\( = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7} \) (প্রমাণিত)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
'খ' হতে পাই,
\( \therefore x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7} \) এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7} \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} \)
বা, \( 50\sqrt{7} \{(x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\} = x^5 + \frac{1}{x^5} + (x + \frac{1}{x}) \)
বা, \( 50\sqrt{7} \{(2\sqrt{7})^2 - 2\} - (x + \frac{1}{x}) = x^5 + \frac{1}{x^5} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 50\sqrt{7}(28 - 2) - 2\sqrt{7} \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \) (Ans.)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{7} \) এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 50\sqrt{7} \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} \)
বা, \( 50\sqrt{7} \{(x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\} = x^5 + \frac{1}{x^5} + (x + \frac{1}{x}) \)
বা, \( 50\sqrt{7} \{(2\sqrt{7})^2 - 2\} - (x + \frac{1}{x}) = x^5 + \frac{1}{x^5} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 50\sqrt{7}(28 - 2) - 2\sqrt{7} \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \) (Ans.)
প্রশ্ন ৩ | সেন্ট গ্রেগরী হাই স্কুল অ্যান্ড কলেজ, ঢাকা | প্রশ্ন নং ১
\( M = p + q + r \) এবং \( x = a^3 + \frac{1}{a^3} \) দুইটি বীজগাণিতিক রাশি।
ক. যদি \( f(z) = z^3 + kz^2 - 4z - 8 \) হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য \( f(-2) = 0 \) হবে নির্ণয় কর।
খ. \( M = 0 \) হলে দেখাও যে, \( \frac{(p + q)^2}{6pq} + \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} = \frac{1}{2} \)
গ. \( x = 18 \) হলে, প্রমাণ কর যে, \( a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)
খ. \( M = 0 \) হলে দেখাও যে, \( \frac{(p + q)^2}{6pq} + \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} = \frac{1}{2} \)
গ. \( x = 18 \) হলে, প্রমাণ কর যে, \( a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \)
৩নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( f(z) = z^3 + kz^2 - 4z - 8 \)
\( \therefore f(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 - 4(-2) - 8 \)
\( = -8 + 4k + 8 - 8 = -8 + 4k \)
প্রশ্নমতে, \( f(-2) = 0 \)
বা, \( -8 + 4k = 0 \)
বা, \( 4k = 8 \)
বা, \( k = \frac{8}{4} \)
\( \therefore k = 2 \) (Ans.)
\( \therefore f(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 - 4(-2) - 8 \)
\( = -8 + 4k + 8 - 8 = -8 + 4k \)
প্রশ্নমতে, \( f(-2) = 0 \)
বা, \( -8 + 4k = 0 \)
বা, \( 4k = 8 \)
বা, \( k = \frac{8}{4} \)
\( \therefore k = 2 \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( M = p + q + r \) এবং \( M = 0 \)
\( \therefore p + q + r = 0 \)
\( \therefore p + q = -r \), \( q + r = -p \), \( r + p = -q \)
আবার, \( p + q + r = 0 \)
বা, \( (p + q)^3 = (-r)^3 \) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \( p^3 + q^3 + 3pq(p + q) = -r^3 \)
বা, \( p^3 + q^3 + 3pq(-r) = -r^3 \) [\( \because p + q = -r \)]
বা, \( p^3 + q^3 - 3pqr = -r^3 \)
\( \therefore p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr \)
বামপক্ষ \( = \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} + \frac{(p + q)^2}{6pq} \)
\( = \frac{(-p)^2}{6qr} + \frac{(-q)^2}{6rp} + \frac{(-r)^2}{6pq} \)
\( = \frac{p^2}{6qr} + \frac{q^2}{6rp} + \frac{r^2}{6pq} \)
\( = \frac{p^3 + q^3 + r^3}{6pqr} = \frac{3pqr}{6pqr} = \frac{1}{2} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore \frac{(p + q)^2}{6pq} + \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} = \frac{1}{2} \) (প্রমাণিত)
\( \therefore p + q + r = 0 \)
\( \therefore p + q = -r \), \( q + r = -p \), \( r + p = -q \)
আবার, \( p + q + r = 0 \)
বা, \( (p + q)^3 = (-r)^3 \) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \( p^3 + q^3 + 3pq(p + q) = -r^3 \)
বা, \( p^3 + q^3 + 3pq(-r) = -r^3 \) [\( \because p + q = -r \)]
বা, \( p^3 + q^3 - 3pqr = -r^3 \)
\( \therefore p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr \)
বামপক্ষ \( = \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} + \frac{(p + q)^2}{6pq} \)
\( = \frac{(-p)^2}{6qr} + \frac{(-q)^2}{6rp} + \frac{(-r)^2}{6pq} \)
\( = \frac{p^2}{6qr} + \frac{q^2}{6rp} + \frac{r^2}{6pq} \)
\( = \frac{p^3 + q^3 + r^3}{6pqr} = \frac{3pqr}{6pqr} = \frac{1}{2} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore \frac{(p + q)^2}{6pq} + \frac{(q + r)^2}{6qr} + \frac{(r + p)^2}{6rp} = \frac{1}{2} \) (প্রমাণিত)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x = a^3 + \frac{1}{a^3} \) এবং \( x = 18 \)
\( \therefore a^3 + \frac{1}{a^3} = 18 \)
বা, \( \frac{a^6 + 1}{a^3} = 18 \)
বা, \( a^6 + 1 = 18a^3 \)
বা, \( a^6 - 18a^3 + 1 = 0 \)
বা, \( (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 9 + 9^2 = 9^2 - 1 \)
বা, \( (a^3 - 9)^2 = 80 \)
বা, \( a^3 - 9 = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} \) [ধনাত্মক মান নিয়ে]
বা, \( a^3 - 9 = 4\sqrt{5} \)
বা, \( a^3 = 9 + 4\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 72 + 32\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 27 + 27\sqrt{5} + 45 + 5\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 3(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^3 \)
বা, \( (2a)^3 = (3 + \sqrt{5})^3 \)
বা, \( 2a = 3 + \sqrt{5} \)
\( \therefore a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \) (প্রমাণিত)
\( \therefore a^3 + \frac{1}{a^3} = 18 \)
বা, \( \frac{a^6 + 1}{a^3} = 18 \)
বা, \( a^6 + 1 = 18a^3 \)
বা, \( a^6 - 18a^3 + 1 = 0 \)
বা, \( (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 9 + 9^2 = 9^2 - 1 \)
বা, \( (a^3 - 9)^2 = 80 \)
বা, \( a^3 - 9 = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} \) [ধনাত্মক মান নিয়ে]
বা, \( a^3 - 9 = 4\sqrt{5} \)
বা, \( a^3 = 9 + 4\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 72 + 32\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 27 + 27\sqrt{5} + 45 + 5\sqrt{5} \)
বা, \( 8a^3 = 3^3 + 3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 3(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^3 \)
বা, \( (2a)^3 = (3 + \sqrt{5})^3 \)
বা, \( 2a = 3 + \sqrt{5} \)
\( \therefore a = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৪ | ময়মনসিংহ জিলা স্কুল | প্রশ্ন নং ১
\( 3p^2 - p - 3 = 0 \) এবং \( a^3 + \frac{1}{a^3} = 970 \)
ক. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: \( a^3 + 9 + (a + 1)^3 \)
খ. প্রমাণ কর যে, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{451}{243} \)
গ. \( a \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ কর যে, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{451}{243} \)
গ. \( a \) এর মান নির্ণয় কর।
৪ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
\( a^3 + 9 + (a + 1)^3 \)
\( = a^3 + 8 + (a + 1)^3 + 1 \)
\( = a^3 + 2^3 + (a + 1)^3 + 1^3 \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) + [ (a + 1 + 1) \{ (a + 1)^2 - (a + 1) \cdot 1 + 1^2 \} ] \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + (a + 2)(a^2 + 2a + 1 - a - 1 + 1) \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + (a + 2)(a^2 + a + 1) \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4 + a^2 + a + 1) \)
\( = (a + 2)(2a^2 - a + 5) \) (Ans.)
\( = a^3 + 8 + (a + 1)^3 + 1 \)
\( = a^3 + 2^3 + (a + 1)^3 + 1^3 \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 2^2) + [ (a + 1 + 1) \{ (a + 1)^2 - (a + 1) \cdot 1 + 1^2 \} ] \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + (a + 2)(a^2 + 2a + 1 - a - 1 + 1) \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) + (a + 2)(a^2 + a + 1) \)
\( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4 + a^2 + a + 1) \)
\( = (a + 2)(2a^2 - a + 5) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( 3p^2 - p - 3 = 0 \) বা, \( 3p^2 - 3 = p \)
বা, \( 3(p^2 - 1) = p \)
বা, \( 3(p^2 - 1) = p \)
বা, \( \frac{p^2 - 1}{p} = \frac{1}{3} \)
\( \therefore p - \frac{1}{p} = \frac{1}{3} \)
বা, \( (p - \frac{1}{p})^2 = \frac{1}{9} \) [বর্গ করে]
বা, \( p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} = \frac{1}{9} \)
\( \therefore p - \frac{1}{p} = \frac{1}{3} \)
বা, \( (p - \frac{1}{p})^2 = \frac{1}{9} \) [বর্গ করে]
বা, \( p^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} = \frac{1}{9} \)
বা, \( p^2 + \frac{1}{p^2} = \frac{1}{9} + 2 \)
\( \therefore p^2 + \frac{1}{p^2} = \frac{19}{9} \) ....... (i)
আবার, \( p^3 - \frac{1}{p^3} = (p - \frac{1}{p})^3 + 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} (p - \frac{1}{p}) \)
\( = (\frac{1}{3})^3 + 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + 1 = \frac{28}{27} \)
\( \therefore p^3 - \frac{1}{p^3} = \frac{28}{27} \) ....... (ii)
(ii) \times (i) হতে পাই,
\( (p^3 - \frac{1}{p^3})(p^2 + \frac{1}{p^2}) = \frac{28}{27} \times \frac{19}{9} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p} + p - \frac{1}{p^5} = \frac{532}{243} \)
\( \therefore p^2 + \frac{1}{p^2} = \frac{19}{9} \) ....... (i)
আবার, \( p^3 - \frac{1}{p^3} = (p - \frac{1}{p})^3 + 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} (p - \frac{1}{p}) \)
\( = (\frac{1}{3})^3 + 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + 1 = \frac{28}{27} \)
\( \therefore p^3 - \frac{1}{p^3} = \frac{28}{27} \) ....... (ii)
(ii) \times (i) হতে পাই,
\( (p^3 - \frac{1}{p^3})(p^2 + \frac{1}{p^2}) = \frac{28}{27} \times \frac{19}{9} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p} + p - \frac{1}{p^5} = \frac{532}{243} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} + p - \frac{1}{p} = \frac{532}{243} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} + \frac{1}{3} = \frac{532}{243} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} + \frac{1}{3} = \frac{532}{243} \)
বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{532}{243} - \frac{1}{3} = \frac{532 - 81}{243} \)
\( \therefore p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{451}{243} \) (প্রমাণিত)
\( \therefore p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{451}{243} \) (প্রমাণিত)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( a^3 + \frac{1}{a^3} = 970 \) বা, \( \frac{a^6 + 1}{a^3} = 970 \)
বা, \( a^6 + 1 = 970a^3 \)
বা, \( a^6 + 1 = 970a^3 \)
বা, \( a^6 - 970a^3 + 1 = 0 \)
বা, \( a^6 - 2 \cdot a^3 \cdot 485 + (485)^2 - (485)^2 + 1 = 0 \)
বা, \( (a^3 - 485)^2 = -1 + 235225 \)
বা, \( (a^3 - 485)^2 = 235224 = (198\sqrt{6})^2 \)
বা, \( a^3 - 485 = 198\sqrt{6} \)
বা, \( a^6 - 2 \cdot a^3 \cdot 485 + (485)^2 - (485)^2 + 1 = 0 \)
বা, \( (a^3 - 485)^2 = -1 + 235225 \)
বা, \( (a^3 - 485)^2 = 235224 = (198\sqrt{6})^2 \)
বা, \( a^3 - 485 = 198\sqrt{6} \)
বা, \( a^3 = 198\sqrt{6} + 485 \)
বা, \( a^3 = 125 + 150\sqrt{6} + 360 + 48\sqrt{6} \)
বা, \( a^3 = 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot 2\sqrt{6} + 3 \cdot 5(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^3 \)
বা, \( a^3 = (5 + 2\sqrt{6})^3 \)
\( \therefore a = 5 + 2\sqrt{6} \) (Ans.)
বা, \( a^3 = 125 + 150\sqrt{6} + 360 + 48\sqrt{6} \)
বা, \( a^3 = 5^3 + 3 \cdot 5^2 \cdot 2\sqrt{6} + 3 \cdot 5(2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^3 \)
বা, \( a^3 = (5 + 2\sqrt{6})^3 \)
\( \therefore a = 5 + 2\sqrt{6} \) (Ans.)
প্রশ্ন ৫ | বিদ্যাময়ী সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, ময়মনসিংহ | প্রশ্ন নং ২
\( P(y) = 18y^3 + 15y^2 - y - 2 \)
\( Q(y) = 6y^2 + 7y + 2 \) এবং \( x^2 = 4 + 2\sqrt{3} \)
\( Q(y) = 6y^2 + 7y + 2 \) এবং \( x^2 = 4 + 2\sqrt{3} \)
ক. \( (ax - by, ab) = (ab, bx - ay) \) হলে \( (x, y) \) এর মান কত?
খ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. \( m \) এর মান কত হলে, \( m \cdot Q(x) \) এবং \( P(x) \) এর মান সমান হবে?
খ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. \( m \) এর মান কত হলে, \( m \cdot Q(x) \) এবং \( P(x) \) এর মান সমান হবে?
৫ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( (ax - by, ab) = (ab, bx - ay) \)
ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে পাই,
\( ax - by = ab \)
বা, \( a^2x - aby = a^2b \) ... ... ... (i)
এবং \( bx - ay = ab \)
বা, \( b^2x - aby = ab^2 \) ... ... ... (ii)
(i) হতে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\( (a^2 - b^2)x = a^2b - ab^2 = ab(a - b) \)
বা, \( (a + b)(a - b)x = ab(a - b) \)
\( \therefore x = \frac{ab}{a + b} \)
আবার, \( ax - by = ab \)
বা, \( by = ax - ab = a \cdot \frac{ab}{a + b} - ab \)
\( = \frac{a^2b - a^2b - ab^2}{a + b} = - \frac{ab^2}{a + b} \)
\( \therefore y = - \frac{ab}{a + b} \)
\( \therefore (x, y) = (\frac{ab}{a + b}, -\frac{ab}{a + b}) \) (Ans.)
\( (ax - by, ab) = (ab, bx - ay) \)
ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে পাই,
\( ax - by = ab \)
বা, \( a^2x - aby = a^2b \) ... ... ... (i)
এবং \( bx - ay = ab \)
বা, \( b^2x - aby = ab^2 \) ... ... ... (ii)
(i) হতে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
\( (a^2 - b^2)x = a^2b - ab^2 = ab(a - b) \)
বা, \( (a + b)(a - b)x = ab(a - b) \)
\( \therefore x = \frac{ab}{a + b} \)
আবার, \( ax - by = ab \)
বা, \( by = ax - ab = a \cdot \frac{ab}{a + b} - ab \)
\( = \frac{a^2b - a^2b - ab^2}{a + b} = - \frac{ab^2}{a + b} \)
\( \therefore y = - \frac{ab}{a + b} \)
\( \therefore (x, y) = (\frac{ab}{a + b}, -\frac{ab}{a + b}) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( x^2 = 4 + 2\sqrt{3} \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \) বা, \( x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{3} + 1 \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \)
\( = \sqrt{3} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = \{\frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1)\}^2 - 2 \)
\( = \frac{1}{4}\{(3\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1\} - 2 \)
\( = \frac{1}{4}(27 + 6\sqrt{3} + 1) - 2 \)
\( = 7 + \frac{3}{2}\sqrt{3} - 2 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \) ... ... ... (i)
এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = \{\frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1)\}^3 - 3 \cdot \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
\( = \frac{1}{8}((3\sqrt{3})^3 + 1^3 + 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1(3\sqrt{3} + 1)) - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{1}{8}(81\sqrt{3} + 1 + 81 + 9\sqrt{3}) - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{90\sqrt{3}}{8} + \frac{82}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{45\sqrt{3}}{4} + \frac{41}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{45\sqrt{3} + 41 - 18\sqrt{3} - 6}{4} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{27\sqrt{3} + 35}{4} \) ... ... ... (ii)
(i) \times (ii) করে পাই,
\( (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) = (5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) (\frac{27\sqrt{3} + 35}{4}) \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = (5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) (\frac{27\sqrt{3} + 35}{4}) \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = \frac{135\sqrt{3}}{4} + \frac{175}{4} + \frac{243}{8} + \frac{105\sqrt{3}}{8} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( = \frac{135\sqrt{3}}{4} + \frac{175}{4} + \frac{243}{8} + \frac{105\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
\( = \frac{270\sqrt{3} + 350 + 243 + 105\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 4}{8} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = \frac{363\sqrt{3} + 589}{8} \) (Ans.)
\( x^2 = 4 + 2\sqrt{3} \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 \) বা, \( x^2 = (\sqrt{3} + 1)^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{3} + 1 \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + 1 + \frac{1}{2}(\sqrt{3} - 1) \)
\( = \sqrt{3} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \)
\( = \frac{3}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = \{\frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1)\}^2 - 2 \)
\( = \frac{1}{4}\{(3\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1 + 1\} - 2 \)
\( = \frac{1}{4}(27 + 6\sqrt{3} + 1) - 2 \)
\( = 7 + \frac{3}{2}\sqrt{3} - 2 = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 + \frac{3\sqrt{3}}{2} \) ... ... ... (i)
এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = \{\frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1)\}^3 - 3 \cdot \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
\( = \frac{1}{8}((3\sqrt{3})^3 + 1^3 + 3 \cdot 3\sqrt{3} \cdot 1(3\sqrt{3} + 1)) - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{1}{8}(81\sqrt{3} + 1 + 81 + 9\sqrt{3}) - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{90\sqrt{3}}{8} + \frac{82}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{45\sqrt{3}}{4} + \frac{41}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \)
\( = \frac{45\sqrt{3} + 41 - 18\sqrt{3} - 6}{4} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = \frac{27\sqrt{3} + 35}{4} \) ... ... ... (ii)
(i) \times (ii) করে পাই,
\( (x^2 + \frac{1}{x^2}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) = (5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) (\frac{27\sqrt{3} + 35}{4}) \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = (5 + \frac{3\sqrt{3}}{2}) (\frac{27\sqrt{3} + 35}{4}) \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = \frac{135\sqrt{3}}{4} + \frac{175}{4} + \frac{243}{8} + \frac{105\sqrt{3}}{8} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( = \frac{135\sqrt{3}}{4} + \frac{175}{4} + \frac{243}{8} + \frac{105\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{2}(3\sqrt{3} + 1) \)
\( = \frac{270\sqrt{3} + 350 + 243 + 105\sqrt{3} - 12\sqrt{3} - 4}{8} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = \frac{363\sqrt{3} + 589}{8} \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( P(y) = 18y^3 + 15y^2 - y - 2 \)
\( \therefore P(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
এখন, \( P(\frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{3})^3 + 15(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{18}{27} + \frac{15}{9} - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{2 + 5 - 1 - 6}{3} = 0 \)
\( \therefore x - \frac{1}{3} \) বা, \( \frac{1}{3}(3x - 1) \) বা, \( (3x - 1) \) রাশিটি \( P(x) \) এর একটি উৎপাদক।
এখন, \( P(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
\( = 18x^3 - 6x^2 + 21x^2 - 7x + 6x - 2 \)
\( = 6x^2(3x - 1) + 7x(3x - 1) + 2(3x - 1) \)
\( = (3x - 1) (6x^2 + 7x + 2) \)
এবং \( Q(y) = 6y^2 + 7y + 2 \)
\( \therefore Q(x) = 6x^2 + 7x + 2 \)
শর্তমতে, \( m \cdot Q(x) = P(x) \)
বা, \( m = \frac{P(x)}{Q(x)} \)
বা, \( m = \frac{(3x - 1) (6x^2 + 7x + 2)}{6x^2 + 7x + 2} \)
\( \therefore m = 3x - 1 \) (Ans.)
\( P(y) = 18y^3 + 15y^2 - y - 2 \)
\( \therefore P(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
এখন, \( P(\frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{3})^3 + 15(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{18}{27} + \frac{15}{9} - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{1}{3} - 2 \)
\( = \frac{2 + 5 - 1 - 6}{3} = 0 \)
\( \therefore x - \frac{1}{3} \) বা, \( \frac{1}{3}(3x - 1) \) বা, \( (3x - 1) \) রাশিটি \( P(x) \) এর একটি উৎপাদক।
এখন, \( P(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
\( = 18x^3 - 6x^2 + 21x^2 - 7x + 6x - 2 \)
\( = 6x^2(3x - 1) + 7x(3x - 1) + 2(3x - 1) \)
\( = (3x - 1) (6x^2 + 7x + 2) \)
এবং \( Q(y) = 6y^2 + 7y + 2 \)
\( \therefore Q(x) = 6x^2 + 7x + 2 \)
শর্তমতে, \( m \cdot Q(x) = P(x) \)
বা, \( m = \frac{P(x)}{Q(x)} \)
বা, \( m = \frac{(3x - 1) (6x^2 + 7x + 2)}{6x^2 + 7x + 2} \)
\( \therefore m = 3x - 1 \) (Ans.)
প্রশ্ন ৬ | জামালপুর জিলা স্কুল | প্রশ্ন নং ২
(i) \( p^2 = 13 - 2\sqrt{42} \)
(ii) কোনো সমিতির সদস্যগণ প্রত্যেকেই সদস্য সংখ্যার 150 গুণ চাঁদা দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন কিন্তু 6 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায় প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ পূর্বের চেয়ে 1000 টাকা বেড়ে গেল।
(ii) কোনো সমিতির সদস্যগণ প্রত্যেকেই সদস্য সংখ্যার 150 গুণ চাঁদা দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন কিন্তু 6 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায় প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ পূর্বের চেয়ে 1000 টাকা বেড়ে গেল।
ক. \( x^3 - x^2 - 6x \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
খ. উদ্দীপক (i) হতে \( p^5 + \frac{1}{p^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. উদ্দীপক (ii) হতে সমিতির সদস্য সংখ্যা ও মোট চাঁদার পরিমাণ নির্ণয় কর।
খ. উদ্দীপক (i) হতে \( p^5 + \frac{1}{p^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. উদ্দীপক (ii) হতে সমিতির সদস্য সংখ্যা ও মোট চাঁদার পরিমাণ নির্ণয় কর।
৬ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত রাশি \( = x^3 - x^2 - 6x \)
\( = x(x^2 - x - 6) \)
\( = x(x^2 - 3x + 2x - 6) \)
\( = x\{x(x - 3) + 2(x - 3)\} \)
\( = x(x - 3)(x + 2) \) (Ans.)
\( = x(x^2 - x - 6) \)
\( = x(x^2 - 3x + 2x - 6) \)
\( = x\{x(x - 3) + 2(x - 3)\} \)
\( = x(x - 3)(x + 2) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( p^2 = 13 - 2\sqrt{42} \)
\( = 7 - 2\sqrt{7} \times \sqrt{6} + 6 \)
\( = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = (\sqrt{7} - \sqrt{6})^2 \)
\( \therefore p = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \)
\( = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore p + \frac{1}{p} = \sqrt{7} - \sqrt{6} + \sqrt{7} + \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
এখন, \( (p^3 + \frac{1}{p^3}) (p^2 + \frac{1}{p^2}) = p^5 + \frac{1}{p} + p + \frac{1}{p^5} \)
\( \therefore p^5 + \frac{1}{p^5} = (p^3 + \frac{1}{p^3}) (p^2 + \frac{1}{p^2}) - (p + \frac{1}{p}) \)
\( = \{ (p + \frac{1}{p})^3 - 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} (p + \frac{1}{p}) \} \{ (p + \frac{1}{p})^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p} \} - (p + \frac{1}{p}) \)
\( = \{ (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \} \{ (2\sqrt{7})^2 - 2 \} - 2\sqrt{7} \)
\( = (56\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) (28 - 2) - 2\sqrt{7} \)
\( = 50\sqrt{7} \times 26 - 2\sqrt{7} \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \) (Ans.)
\( = 7 - 2\sqrt{7} \times \sqrt{6} + 6 \)
\( = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = (\sqrt{7} - \sqrt{6})^2 \)
\( \therefore p = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{p} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} \)
\( = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7} - \sqrt{6})(\sqrt{7} + \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore p + \frac{1}{p} = \sqrt{7} - \sqrt{6} + \sqrt{7} + \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
এখন, \( (p^3 + \frac{1}{p^3}) (p^2 + \frac{1}{p^2}) = p^5 + \frac{1}{p} + p + \frac{1}{p^5} \)
\( \therefore p^5 + \frac{1}{p^5} = (p^3 + \frac{1}{p^3}) (p^2 + \frac{1}{p^2}) - (p + \frac{1}{p}) \)
\( = \{ (p + \frac{1}{p})^3 - 3 \cdot p \cdot \frac{1}{p} (p + \frac{1}{p}) \} \{ (p + \frac{1}{p})^2 - 2 \cdot p \cdot \frac{1}{p} \} - (p + \frac{1}{p}) \)
\( = \{ (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \} \{ (2\sqrt{7})^2 - 2 \} - 2\sqrt{7} \)
\( = (56\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) (28 - 2) - 2\sqrt{7} \)
\( = 50\sqrt{7} \times 26 - 2\sqrt{7} \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
ধরি, সমিতির সদস্য সংখ্যা \( x \) জন
প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ \( = 150x \) টাকা
\( \therefore \) \( x \) জনের চাঁদার পরিমাণ \( = (150x \times x) \) টাকা \( = 150x^2 \) টাকা
6 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায়, \( (x - 6) \) জনের প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ হবে \( (150x + 1000) \) টাকা
শর্তমতে, \( (x - 6)(150x + 1000) = 150x^2 \)
বা, \( 150x^2 + 1000x - 900x - 6000 = 150x^2 \)
বা, \( 100x = 6000 \)
\( \therefore x = 60 \)
\( \therefore \) সমিতির সদস্য সংখ্যা 60 জন (Ans.)
মোট চাঁদার পরিমাণ \( = 150x^2 \)
\( = (150 \times 60^2) \) টাকা
\( = 540000 \) টাকা (Ans.)
প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ \( = 150x \) টাকা
\( \therefore \) \( x \) জনের চাঁদার পরিমাণ \( = (150x \times x) \) টাকা \( = 150x^2 \) টাকা
6 জন সদস্য চাঁদা না দেওয়ায়, \( (x - 6) \) জনের প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ হবে \( (150x + 1000) \) টাকা
শর্তমতে, \( (x - 6)(150x + 1000) = 150x^2 \)
বা, \( 150x^2 + 1000x - 900x - 6000 = 150x^2 \)
বা, \( 100x = 6000 \)
\( \therefore x = 60 \)
\( \therefore \) সমিতির সদস্য সংখ্যা 60 জন (Ans.)
মোট চাঁদার পরিমাণ \( = 150x^2 \)
\( = (150 \times 60^2) \) টাকা
\( = 540000 \) টাকা (Ans.)
প্রশ্ন ৭ | আঞ্জুমান আদর্শ সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, নেত্রকোণা | প্রশ্ন নং ১
(i) \( 2a - 2\sqrt{3} = \sqrt{8} \) (ii) \( 2x - \sqrt{8} = \frac{2}{x} \)
ক. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: \( y^2 - x^2 + 1 - 2y \)
খ. (i) নং হতে \( a^4 + \frac{1}{a^4} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. (ii) নং হতে প্রমাণ কর, \( x^6 - \frac{1}{x^6} = 30\sqrt{3} \)
খ. (i) নং হতে \( a^4 + \frac{1}{a^4} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. (ii) নং হতে প্রমাণ কর, \( x^6 - \frac{1}{x^6} = 30\sqrt{3} \)
৭ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত রাশি \( = y^2 - x^2 + 1 - 2y \)
\( = y^2 - 2y + 1 - x^2 \)
\( = (y - 1)^2 - x^2 \)
\( = (y - 1 + x)(y - 1 - x) \)
\( = (x + y - 1)(y - x - 1) \) (Ans.)
\( = y^2 - 2y + 1 - x^2 \)
\( = (y - 1)^2 - x^2 \)
\( = (y - 1 + x)(y - 1 - x) \)
\( = (x + y - 1)(y - x - 1) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( 2a - 2\sqrt{3} = \sqrt{8} \)
বা, \( 2(a - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2} \)
বা, \( a - \sqrt{3} = \sqrt{2} \)
\( \therefore a = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10 \)
\( \therefore a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} \)
\( = 10^2 - 2 = 100 - 2 = 98 \) (Ans.)
\( 2a - 2\sqrt{3} = \sqrt{8} \)
বা, \( 2(a - \sqrt{3}) = 2\sqrt{2} \)
বা, \( a - \sqrt{3} = \sqrt{2} \)
\( \therefore a = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore a + \frac{1}{a} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10 \)
\( \therefore a^4 + \frac{1}{a^4} = (a^2 + \frac{1}{a^2})^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} \)
\( = 10^2 - 2 = 100 - 2 = 98 \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( 2x - \sqrt{8} = \frac{2}{x} \)
বা, \( 2x - 2\sqrt{2} = \frac{2}{x} \)
বা, \( x - \sqrt{2} = \frac{1}{x} \) \( \therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} \)
\( \therefore x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x - \frac{1}{x}) \)
\( = (\sqrt{2})^3 + 3 \cdot \sqrt{2} \)
\( = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
আবার, \( (x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (\sqrt{2})^2 + 4 = 2 + 4 = 6 \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (\sqrt{6})^3 - 3 \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6} \)
বামপক্ষ \( = x^6 - \frac{1}{x^6} = (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^3 - \frac{1}{x^3}) \)
\( = 3\sqrt{6} \times 5\sqrt{2} = 15 \times \sqrt{12} = 15 \times 2\sqrt{3} \)
\( = 30\sqrt{3} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore x^6 - \frac{1}{x^6} = 30\sqrt{3} \) (প্রমাণিত)
\( 2x - \sqrt{8} = \frac{2}{x} \)
বা, \( 2x - 2\sqrt{2} = \frac{2}{x} \)
বা, \( x - \sqrt{2} = \frac{1}{x} \) \( \therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{2} \)
\( \therefore x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x - \frac{1}{x}) \)
\( = (\sqrt{2})^3 + 3 \cdot \sqrt{2} \)
\( = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)
আবার, \( (x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (\sqrt{2})^2 + 4 = 2 + 4 = 6 \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{6} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (\sqrt{6})^3 - 3 \cdot \sqrt{6} = 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6} \)
বামপক্ষ \( = x^6 - \frac{1}{x^6} = (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^3 - \frac{1}{x^3}) \)
\( = 3\sqrt{6} \times 5\sqrt{2} = 15 \times \sqrt{12} = 15 \times 2\sqrt{3} \)
\( = 30\sqrt{3} = \) ডানপক্ষ
\( \therefore x^6 - \frac{1}{x^6} = 30\sqrt{3} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৮ | বগুড়া জিলা স্কুল | প্রশ্ন নং ১
\( P = x^2 - 2\sqrt{15} - 8 \) এবং \( Q = a^3 + \frac{1}{a^3} \) ; যেখানে, \( x > 0, a > 0 \)
ক. \( p - q = r \) হলে, দেখাও যে, \( p^3 - q^3 - r^3 = 3pqr \)
খ. \( P = 0 \) হলে, \( x^3 + \frac{8}{x^3} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. \( Q = 18 \) হলে, প্রমাণ কর যে, \( a + \frac{1}{a} = 3 \)
খ. \( P = 0 \) হলে, \( x^3 + \frac{8}{x^3} \) এর মান নির্ণয় কর।
গ. \( Q = 18 \) হলে, প্রমাণ কর যে, \( a + \frac{1}{a} = 3 \)
৮ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( p - q = r \)
বা, \( p^3 - q^3 - 3pq(p - q) = r^3 \) [ঘন করে]
বা, \( p^3 - q^3 - 3pqr = r^3 \) [\( \because p - q = r \)]
\( \therefore p^3 - q^3 - r^3 = 3pqr \) (দেখানো হলো)
বা, \( p^3 - q^3 - 3pq(p - q) = r^3 \) [ঘন করে]
বা, \( p^3 - q^3 - 3pqr = r^3 \) [\( \because p - q = r \)]
\( \therefore p^3 - q^3 - r^3 = 3pqr \) (দেখানো হলো)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্নমতে, \( P = x^2 - 2\sqrt{15} - 8 = 0 \)
\( \therefore x^2 = 8 + 2\sqrt{15} \)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} \)
বা, \( \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \) \( \therefore \frac{2}{x} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
\( \therefore x + \frac{2}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3} = 2\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{8}{x^3} = x^3 + (\frac{2}{x})^3 = (x + \frac{2}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x}(x + \frac{2}{x}) \)
\( = (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} \)
\( = 40\sqrt{5} - 12\sqrt{5} = 28\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{8}{x^3} = 28\sqrt{5} \) (Ans.)
\( \therefore x^2 = 8 + 2\sqrt{15} \)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} \)
বা, \( \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \) \( \therefore \frac{2}{x} = \sqrt{5} - \sqrt{3} \)
\( \therefore x + \frac{2}{x} = \sqrt{5} + \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{3} = 2\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{8}{x^3} = x^3 + (\frac{2}{x})^3 = (x + \frac{2}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x}(x + \frac{2}{x}) \)
\( = (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} \)
\( = 40\sqrt{5} - 12\sqrt{5} = 28\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{8}{x^3} = 28\sqrt{5} \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( a^3 + \frac{1}{a^3} = Q \)
প্রশ্নমতে, \( a^3 + \frac{1}{a^3} = 18 \) বা, \( (a + \frac{1}{a})^3 - 3a \cdot \frac{1}{a}(a + \frac{1}{a}) = 18 \)
বা, \( (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a}) - 18 = 0 \)
বা, \( m^3 - 3m - 18 = 0 \) [\( a + \frac{1}{a} = m \) ধরে]
বা, \( m^3 - 3m^2 + 3m^2 - 9m + 6m - 18 = 0 \)
বা, \( m^2(m - 3) + 3m(m - 3) + 6(m - 3) = 0 \)
বা, \( (m - 3)(m^2 + 3m + 6) = 0 \)
বা, \( m - 3 = 0 \) [\( \because m^2 + 3m + 6 > 0 \)]
বা, \( m = 3 \) \( \therefore a + \frac{1}{a} = 3 \) (প্রমাণিত)
প্রশ্নমতে, \( a^3 + \frac{1}{a^3} = 18 \) বা, \( (a + \frac{1}{a})^3 - 3a \cdot \frac{1}{a}(a + \frac{1}{a}) = 18 \)
বা, \( (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a}) - 18 = 0 \)
বা, \( m^3 - 3m - 18 = 0 \) [\( a + \frac{1}{a} = m \) ধরে]
বা, \( m^3 - 3m^2 + 3m^2 - 9m + 6m - 18 = 0 \)
বা, \( m^2(m - 3) + 3m(m - 3) + 6(m - 3) = 0 \)
বা, \( (m - 3)(m^2 + 3m + 6) = 0 \)
বা, \( m - 3 = 0 \) [\( \because m^2 + 3m + 6 > 0 \)]
বা, \( m = 3 \) \( \therefore a + \frac{1}{a} = 3 \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৯ | গভ. মুসলিম হাই স্কুল, চট্টগ্রাম | প্রশ্ন নং ১
\( x = \sqrt{5} + \sqrt{24} \) এবং \( 6a^2 - 15a - 1 = 0 \)
ক. \( 8a^3 - \frac{1}{27a^3} \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3} \)
গ. \( x^7 + \frac{1}{x^7} \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3} \)
গ. \( x^7 + \frac{1}{x^7} \) এর মান নির্ণয় কর।
৯ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( 6a^2 - 15a - 1 = 0 \)
বা, \( 6a^2 - 1 = 15a \)
বা, \( \frac{6a^2 - 1}{3a} = 5 \) \( \therefore 2a - \frac{1}{3a} = 5 \)
প্রদত্ত রাশি \( = 8a^3 - \frac{1}{27a^3} = (2a)^3 - (\frac{1}{3a})^3 \)
\( = (2a - \frac{1}{3a})^3 + 3 \cdot 2a \cdot \frac{1}{3a} (2a - \frac{1}{3a}) \)
\( = 5^3 + 2 \cdot 5 \) [\( \because 2a - \frac{1}{3a} = 5 \)]
\( = 125 + 10 = 135 \) (Ans.)
বা, \( 6a^2 - 1 = 15a \)
বা, \( \frac{6a^2 - 1}{3a} = 5 \) \( \therefore 2a - \frac{1}{3a} = 5 \)
প্রদত্ত রাশি \( = 8a^3 - \frac{1}{27a^3} = (2a)^3 - (\frac{1}{3a})^3 \)
\( = (2a - \frac{1}{3a})^3 + 3 \cdot 2a \cdot \frac{1}{3a} (2a - \frac{1}{3a}) \)
\( = 5^3 + 2 \cdot 5 \) [\( \because 2a - \frac{1}{3a} = 5 \)]
\( = 125 + 10 = 135 \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x = \sqrt{5} + \sqrt{24} \)
\( = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \)
\( = \sqrt{3 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{3})^3 - 3 \times 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \)
\( = 18\sqrt{3} \) (দেখানো হলো)
\( = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \)
\( = \sqrt{3 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} \)
\( = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{3})^3 - 3 \times 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} \)
\( = 18\sqrt{3} \) (দেখানো হলো)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
'খ' হতে, \( x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3} \)
এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3} \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10 \)
\( \therefore x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 10^2 - 2 = 98 \)
এখন, \( (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 98 \times 18\sqrt{3} \)
বা, \( x^7 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} \)
বা, \( x^7 + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( \therefore x^7 + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 1762\sqrt{3} \) (Ans.)
এবং \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3} \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10 \)
\( \therefore x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 10^2 - 2 = 98 \)
এখন, \( (x^4 + \frac{1}{x^4}) (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 98 \times 18\sqrt{3} \)
বা, \( x^7 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} \)
বা, \( x^7 + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( \therefore x^7 + \frac{1}{x^7} = 1764\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 1762\sqrt{3} \) (Ans.)
প্রশ্ন ১০ | যশোর জিলা স্কুল | প্রশ্ন নং ১
(i) \( a^3 - \frac{1}{a^3} = 46\sqrt{5} \), (ii) \( 3x + 2y + z = 0 \)
ক. \( 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
খ. (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, \( \frac{1}{a} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
গ. (ii) নং হতে দেখাও যে, \( \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} = 1 \)
খ. (i) নং হতে প্রমাণ কর যে, \( \frac{1}{a} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \)
গ. (ii) নং হতে দেখাও যে, \( \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} = 1 \)
১০ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
ধরি, \( f(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
তাহলে, \( f(- \frac{1}{2}) = 18(- \frac{1}{2})^3 + 15(- \frac{1}{2})^2 - (- \frac{1}{2}) - 2 \)
\( = \frac{-18}{8} + \frac{15}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{-18 + 30 + 4 - 16}{8} = \frac{34 - 34}{8} = \frac{0}{8} = 0 \)
\( \therefore \{x - (- \frac{1}{2})\} = x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(2x + 1), f(x) \) এর একটি উৎপাদক
অর্থাৎ \( (2x + 1), f(x) \) এর একটি উৎপাদক।
প্রদত্ত রাশি \( = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
\( = 18x^3 + 9x^2 + 6x^2 + 3x - 4x - 2 \)
\( = 9x^2(2x + 1) + 3x(2x + 1) - 2(2x + 1) \)
\( = (2x + 1)(9x^2 + 3x - 2) \)
\( = (2x + 1)(9x^2 + 6x - 3x - 2) \)
\( = (2x + 1)\{3x(3x + 2) - 1(3x + 2)\} \)
\( = (2x + 1)(3x + 2)(3x - 1) \) (Ans.)
তাহলে, \( f(- \frac{1}{2}) = 18(- \frac{1}{2})^3 + 15(- \frac{1}{2})^2 - (- \frac{1}{2}) - 2 \)
\( = \frac{-18}{8} + \frac{15}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{-18 + 30 + 4 - 16}{8} = \frac{34 - 34}{8} = \frac{0}{8} = 0 \)
\( \therefore \{x - (- \frac{1}{2})\} = x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(2x + 1), f(x) \) এর একটি উৎপাদক
অর্থাৎ \( (2x + 1), f(x) \) এর একটি উৎপাদক।
প্রদত্ত রাশি \( = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \)
\( = 18x^3 + 9x^2 + 6x^2 + 3x - 4x - 2 \)
\( = 9x^2(2x + 1) + 3x(2x + 1) - 2(2x + 1) \)
\( = (2x + 1)(9x^2 + 3x - 2) \)
\( = (2x + 1)(9x^2 + 6x - 3x - 2) \)
\( = (2x + 1)\{3x(3x + 2) - 1(3x + 2)\} \)
\( = (2x + 1)(3x + 2)(3x - 1) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( a^3 - \frac{1}{a^3} = 46\sqrt{5} \)
বা, \( \frac{a^6 - 1}{a^3} = 46\sqrt{5} \) বা, \( a^6 - 1 = 46\sqrt{5}a^3 \)
বা, \( a^6 - 46\sqrt{5}a^3 - 1 = 0 \)
বা, \( (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 23\sqrt{5} + (23\sqrt{5})^2 - (23\sqrt{5})^2 - 1 = 0 \)
বা, \( (a^3 - 23\sqrt{5})^2 = (23\sqrt{5})^2 + 1 \) বা, \( (a^3 - 23\sqrt{5})^2 = 2646 \)
বা, \( a^3 - 23\sqrt{5} = 21\sqrt{6} \) বা, \( a^3 = 21\sqrt{6} + 23\sqrt{5} \)
বা, \( a^3 = (\sqrt{6})^3 + 3(\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{6} \cdot (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^3 \)
বা, \( a^3 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^3 \) বা, \( a = \sqrt{6} + \sqrt{5} \)
বা, \( \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \) বা, \( \frac{1}{a} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} \)
বা, \( \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \) বা, \( \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} \)
\( \therefore \frac{1}{a} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \) (প্রমাণিত)
বা, \( \frac{a^6 - 1}{a^3} = 46\sqrt{5} \) বা, \( a^6 - 1 = 46\sqrt{5}a^3 \)
বা, \( a^6 - 46\sqrt{5}a^3 - 1 = 0 \)
বা, \( (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 23\sqrt{5} + (23\sqrt{5})^2 - (23\sqrt{5})^2 - 1 = 0 \)
বা, \( (a^3 - 23\sqrt{5})^2 = (23\sqrt{5})^2 + 1 \) বা, \( (a^3 - 23\sqrt{5})^2 = 2646 \)
বা, \( a^3 - 23\sqrt{5} = 21\sqrt{6} \) বা, \( a^3 = 21\sqrt{6} + 23\sqrt{5} \)
বা, \( a^3 = (\sqrt{6})^3 + 3(\sqrt{6})^2 \cdot \sqrt{5} + 3\sqrt{6} \cdot (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^3 \)
বা, \( a^3 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^3 \) বা, \( a = \sqrt{6} + \sqrt{5} \)
বা, \( \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \) বা, \( \frac{1}{a} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} \)
বা, \( \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} \) বা, \( \frac{1}{a} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} \)
\( \therefore \frac{1}{a} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \) (প্রমাণিত)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( 3x + 2y + z = 0 \)
\( \therefore 3x + 2y = -z \), \( 2y + z = -3x \), \( z + 3x = -2y \)
বামপক্ষ \( = \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} \)
\( = \frac{(-z)^2}{18xy} + \frac{(-3x)^2}{6yz} + \frac{(-2y)^2}{9zx} \)
\( = \frac{z^2 \cdot z}{18xyz} + \frac{9x^2 \cdot 3x}{6yz \cdot 3x} + \frac{4y^2 \cdot 2y}{9zx \cdot 2y} \)
\( = \frac{z^3}{18xyz} + \frac{27x^3}{18xyz} + \frac{8y^3}{18xyz} \)
\( = \frac{z^3 + 27x^3 + 8y^3}{18xyz} = \frac{(3x)^3 + (2y)^3 + z^3}{18xyz} \)
\( = \frac{(3x + 2y)^3 - 3 \cdot 3x \cdot 2y(3x + 2y) + z^3}{18xyz} \)
\( = \frac{(-z)^3 - 18xy(-z) + z^3}{18xyz} \) [মান বসিয়ে]
\( = \frac{-z^3 + 18xyz + z^3}{18xyz} = \frac{18xyz}{18xyz} = 1 = \) ডানপক্ষ
\( \therefore \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} = 1 \) (দেখানো হলো)
\( \therefore 3x + 2y = -z \), \( 2y + z = -3x \), \( z + 3x = -2y \)
বামপক্ষ \( = \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} \)
\( = \frac{(-z)^2}{18xy} + \frac{(-3x)^2}{6yz} + \frac{(-2y)^2}{9zx} \)
\( = \frac{z^2 \cdot z}{18xyz} + \frac{9x^2 \cdot 3x}{6yz \cdot 3x} + \frac{4y^2 \cdot 2y}{9zx \cdot 2y} \)
\( = \frac{z^3}{18xyz} + \frac{27x^3}{18xyz} + \frac{8y^3}{18xyz} \)
\( = \frac{z^3 + 27x^3 + 8y^3}{18xyz} = \frac{(3x)^3 + (2y)^3 + z^3}{18xyz} \)
\( = \frac{(3x + 2y)^3 - 3 \cdot 3x \cdot 2y(3x + 2y) + z^3}{18xyz} \)
\( = \frac{(-z)^3 - 18xy(-z) + z^3}{18xyz} \) [মান বসিয়ে]
\( = \frac{-z^3 + 18xyz + z^3}{18xyz} = \frac{18xyz}{18xyz} = 1 = \) ডানপক্ষ
\( \therefore \frac{(3x + 2y)^2}{18xy} + \frac{(2y + z)^2}{6yz} + \frac{(z + 3x)^2}{9zx} = 1 \) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১১ | বরিশাল সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয় | প্রশ্ন নং ২
\( x^2 = 13 + 2\sqrt{42} \)
ক. \( \frac{1}{x} \) নির্ণয় কর।
খ. \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \) হলে, দেখাও যে, x এর মান উদ্দীপককে সমর্থন করে।
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 512\sqrt{7} \) এর সত্যতা যাচাই কর।
খ. \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \) হলে, দেখাও যে, x এর মান উদ্দীপককে সমর্থন করে।
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 512\sqrt{7} \) এর সত্যতা যাচাই কর।
১১ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( x^2 = 13 + 2\sqrt{42} \) বা, \( x^2 = 7 + 2\sqrt{42} + 6 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 \) \( \therefore x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \) (Ans.)
\( x^2 = 13 + 2\sqrt{42} \) বা, \( x^2 = 7 + 2\sqrt{42} + 6 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
বা, \( x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 \) \( \therefore x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} \)
\( = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \)
বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 26 \) বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 = 26 + 2 = 28 \)
বা, \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \)
বা, \( \frac{x^2 + 1}{x} = 2\sqrt{7} \) বা, \( x^2 + 1 = 2\sqrt{7}x \)
বা, \( x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0 \)
বা, \( x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{7})^2 - 1 \)
বা, \( (x - \sqrt{7})^2 = 6 \) বা, \( x - \sqrt{7} = \sqrt{6} \) বা, \( x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = 7 + 2\sqrt{42} + 6 \)
\( = 13 + 2\sqrt{42} \) যা উদ্দীপকে দেওয়া আছে।
\( \therefore x \) এর মান উদ্দীপককে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \)
বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 26 \) বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 = 26 + 2 = 28 \)
বা, \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \)
বা, \( \frac{x^2 + 1}{x} = 2\sqrt{7} \) বা, \( x^2 + 1 = 2\sqrt{7}x \)
বা, \( x^2 - 2\sqrt{7}x + 1 = 0 \)
বা, \( x^2 - 2 \cdot x \cdot \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = (\sqrt{7})^2 - 1 \)
বা, \( (x - \sqrt{7})^2 = 6 \) বা, \( x - \sqrt{7} = \sqrt{6} \) বা, \( x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \)
\( \therefore x^2 = (\sqrt{7} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 \)
\( = 7 + 2\sqrt{42} + 6 \)
\( = 13 + 2\sqrt{42} \) যা উদ্দীপকে দেওয়া আছে।
\( \therefore x \) এর মান উদ্দীপককে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
'ক' হতে পাই,
\( x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \) এবং \( \frac{1}{x} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{7} + \sqrt{6} + \sqrt{7} - \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
'খ' হতে পাই, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \)
আবার, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \)
\( = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7} \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 50\sqrt{7} \times 26 \)
বা, \( x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = 1300\sqrt{7} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 1300\sqrt{7} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 512\sqrt{7} \) উক্তিটি সত্য নয়। (যাচাই করা হলো)
\( x = \sqrt{7} + \sqrt{6} \) এবং \( \frac{1}{x} = \sqrt{7} - \sqrt{6} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{7} + \sqrt{6} + \sqrt{7} - \sqrt{6} = 2\sqrt{7} \)
'খ' হতে পাই, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 26 \)
আবার, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{7})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{7} \)
\( = 56\sqrt{7} - 6\sqrt{7} = 50\sqrt{7} \)
এখন, \( (x^3 + \frac{1}{x^3})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 50\sqrt{7} \times 26 \)
বা, \( x^5 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^5} = 1300\sqrt{7} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 1300\sqrt{7} - (x + \frac{1}{x}) \)
\( = 1300\sqrt{7} - 2\sqrt{7} = 1298\sqrt{7} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 512\sqrt{7} \) উক্তিটি সত্য নয়। (যাচাই করা হলো)
প্রশ্ন ১২ | রংপুর ক্যাডেট কলেজ | প্রশ্ন নং ২
\( P = \frac{5x}{2} + \frac{1}{6} \), \( m^2 + n^2 = \sqrt[4]{64} \) এবং \( m^2 = \sqrt[4]{81} + n^2 \)
ক. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: \( x^3 - 7xy^2 - 6y^3 \)
খ. \( P = x^2 \) হলে \( \frac{36x^4 + 1}{9x^2} \) এর মান কত?
গ. উদ্দীপক অনুসারে \( 8m^2n^2(m^4 + n^4) \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. \( P = x^2 \) হলে \( \frac{36x^4 + 1}{9x^2} \) এর মান কত?
গ. উদ্দীপক অনুসারে \( 8m^2n^2(m^4 + n^4) \) এর মান নির্ণয় কর।
১২ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত রাশি \( = x^3 - 7xy^2 - 6y^3 \)
\( = x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - 6xy^2 - 6y^3 \)
\( = x^2(x + y) - xy(x + y) - 6y^2(x + y) \)
\( = (x + y)(x^2 - xy - 6y^2) \)
\( = (x + y)(x^2 - 3xy + 2xy - 6y^2) \)
\( = (x + y)\{x(x - 3y) + 2y(x - 3y)\} \)
\( = (x + y)(x + 2y)(x - 3y) \) (Ans.)
\( = x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 - 6xy^2 - 6y^3 \)
\( = x^2(x + y) - xy(x + y) - 6y^2(x + y) \)
\( = (x + y)(x^2 - xy - 6y^2) \)
\( = (x + y)(x^2 - 3xy + 2xy - 6y^2) \)
\( = (x + y)\{x(x - 3y) + 2y(x - 3y)\} \)
\( = (x + y)(x + 2y)(x - 3y) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( P = \frac{5x}{2} + \frac{1}{6} \)
\( P = x^2 \) হলে, \( x^2 = \frac{5x}{2} + \frac{1}{6} \) বা, \( 2x^2 = 5x + \frac{1}{3} \)
বা, \( 2x = 5 + \frac{1}{3x} \) [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
বা, \( 2x - \frac{1}{3x} = 5 \) বা, \( (2x - \frac{1}{3x})^2 = 5^2 \) [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \( 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = 25 \)
বা, \( 4x^2 + \frac{1}{9x^2} = 25 + \frac{4}{3} \)
\( \therefore \frac{36x^4 + 1}{9x^2} = \frac{79}{3} \) (Ans.)
\( P = x^2 \) হলে, \( x^2 = \frac{5x}{2} + \frac{1}{6} \) বা, \( 2x^2 = 5x + \frac{1}{3} \)
বা, \( 2x = 5 + \frac{1}{3x} \) [উভয়পক্ষকে x দ্বারা ভাগ করে]
বা, \( 2x - \frac{1}{3x} = 5 \) বা, \( (2x - \frac{1}{3x})^2 = 5^2 \) [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \( 4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = 25 \)
বা, \( 4x^2 + \frac{1}{9x^2} = 25 + \frac{4}{3} \)
\( \therefore \frac{36x^4 + 1}{9x^2} = \frac{79}{3} \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( m^2 + n^2 = \sqrt[4]{64} \) ....... (i)
এবং \( m^2 = \sqrt[4]{81} + n^2 \) \( \therefore m^2 - n^2 = \sqrt[4]{81} \) ....... (ii)
প্রদত্ত রাশি \( = 8m^2n^2(m^4 + n^4) \)
\( = 4m^2n^2 \cdot 2\{(m^2)^2 + (n^2)^2\} \)
\( = \{(m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2\} \{(m^2 + n^2)^2 + (m^2 - n^2)^2\} \)
\( = \{(\sqrt[4]{64})^2 - (\sqrt[4]{81})^2\} \{(\sqrt[4]{64})^2 + (\sqrt[4]{81})^2\} \)
\( = (\sqrt{64} - \sqrt{81}) (\sqrt{64} + \sqrt{81}) \)
\( = (8 - 9) (8 + 9) \)
\( = (-1) \cdot 17 \)
\( = -17 \) (Ans.)
এবং \( m^2 = \sqrt[4]{81} + n^2 \) \( \therefore m^2 - n^2 = \sqrt[4]{81} \) ....... (ii)
প্রদত্ত রাশি \( = 8m^2n^2(m^4 + n^4) \)
\( = 4m^2n^2 \cdot 2\{(m^2)^2 + (n^2)^2\} \)
\( = \{(m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2\} \{(m^2 + n^2)^2 + (m^2 - n^2)^2\} \)
\( = \{(\sqrt[4]{64})^2 - (\sqrt[4]{81})^2\} \{(\sqrt[4]{64})^2 + (\sqrt[4]{81})^2\} \)
\( = (\sqrt{64} - \sqrt{81}) (\sqrt{64} + \sqrt{81}) \)
\( = (8 - 9) (8 + 9) \)
\( = (-1) \cdot 17 \)
\( = -17 \) (Ans.)
প্রশ্ন ১৩ | ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ | প্রশ্ন নং ৩
\( g(x) = x^2 - 5 \)
ক. \( g(-x) = 3 \) হলে x এর মান কত?
খ. \( g(x - 3) = 6 \) হলে \( x^5 - \frac{32}{x^5} \) এর মান কত?
গ. \( g(x) = 2\sqrt{6} \) হলে \( x^4 - \frac{1}{x^4} \) এর মান কত?
খ. \( g(x - 3) = 6 \) হলে \( x^5 - \frac{32}{x^5} \) এর মান কত?
গ. \( g(x) = 2\sqrt{6} \) হলে \( x^4 - \frac{1}{x^4} \) এর মান কত?
১৩ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( g(x) = x^2 - 5 \)
এবং \( g(-x) = 3 \)
বা, \( (-x)^2 - 5 = 3 \) বা, \( x^2 = 8 \)
\( \therefore x = \pm 2\sqrt{2} \) (Ans.)
এবং \( g(-x) = 3 \)
বা, \( (-x)^2 - 5 = 3 \) বা, \( x^2 = 8 \)
\( \therefore x = \pm 2\sqrt{2} \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( g(x) = x^2 - 5 \)
এখন, \( g(x - 3) = (x - 3)^2 - 5 = 6 \)
বা, \( x^2 - 6x + 9 - 5 = 6 \)
বা, \( x^2 - 2 = 6x \) বা, \( x - \frac{2}{x} = 6 \) ... ... ... (i)
(i) নং কে বর্গ করে,
\( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 36 \)
\( \therefore x^2 + \frac{4}{x^2} = 40 \) ... ... ... (ii)
আবার, \( x^3 - \frac{8}{x^3} = (x - \frac{2}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x}(x - \frac{2}{x}) \)
\( = 6^3 + 6 \times 6 \)
\( \therefore x^3 - \frac{8}{x^3} = 252 \) ... ... ... (iii)
(ii) ও (iii) নং কে গুণ করে পাই,
\( (x^2 + \frac{4}{x^2})(x^3 - \frac{8}{x^3}) = 40 \times 252 \)
বা, \( x^5 - \frac{8}{x} + 4x - \frac{32}{x^5} = 10080 \)
বা, \( x^5 - \frac{32}{x^5} = 10080 - 4(x - \frac{2}{x}) \)
\( \therefore x^5 - \frac{32}{x^5} = 10080 - 4 \times 6 = 10056 \) (Ans.)
\( g(x) = x^2 - 5 \)
এখন, \( g(x - 3) = (x - 3)^2 - 5 = 6 \)
বা, \( x^2 - 6x + 9 - 5 = 6 \)
বা, \( x^2 - 2 = 6x \) বা, \( x - \frac{2}{x} = 6 \) ... ... ... (i)
(i) নং কে বর্গ করে,
\( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{x^2} = 36 \)
\( \therefore x^2 + \frac{4}{x^2} = 40 \) ... ... ... (ii)
আবার, \( x^3 - \frac{8}{x^3} = (x - \frac{2}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{2}{x}(x - \frac{2}{x}) \)
\( = 6^3 + 6 \times 6 \)
\( \therefore x^3 - \frac{8}{x^3} = 252 \) ... ... ... (iii)
(ii) ও (iii) নং কে গুণ করে পাই,
\( (x^2 + \frac{4}{x^2})(x^3 - \frac{8}{x^3}) = 40 \times 252 \)
বা, \( x^5 - \frac{8}{x} + 4x - \frac{32}{x^5} = 10080 \)
বা, \( x^5 - \frac{32}{x^5} = 10080 - 4(x - \frac{2}{x}) \)
\( \therefore x^5 - \frac{32}{x^5} = 10080 - 4 \times 6 = 10056 \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে,
\( g(x) = x^2 - 5 = 2\sqrt{6} \)
\( \therefore x^2 = 5 + 2\sqrt{6} \)
\( = 3 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2 \)
\( = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 10 \)
আবার, \( x - \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
\( \therefore x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) \)
\( = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) \)
\( = 10 \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} \)
\( = 40\sqrt{6} \) (Ans.)
\( g(x) = x^2 - 5 = 2\sqrt{6} \)
\( \therefore x^2 = 5 + 2\sqrt{6} \)
\( = 3 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + 2 \)
\( = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{3} + \sqrt{2} \)
\( \therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} \)
\( = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 10 \)
আবার, \( x - \frac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
\( \therefore x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) \)
\( = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x}) \)
\( = 10 \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} \)
\( = 40\sqrt{6} \) (Ans.)
প্রশ্ন ১৪ | চট্টগ্রাম বোর্ড ২০১৬ | প্রশ্ন নং ২
\( a + b + c \), \( a^2 + b^2 + c^2 \) দু'টি বীজগাণিতিক রাশি।
ক. ১ম রাশি = 0 হলে, প্রমাণ কর যে, \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)
খ. ১ম রাশি = 10, ২য় রাশি = 38 হলে, \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \) এর মান কত?
গ. ১ম রাশি = 0 হলে, প্রমাণ কর যে, \( \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{1}{2} \)
খ. ১ম রাশি = 10, ২য় রাশি = 38 হলে, \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \) এর মান কত?
গ. ১ম রাশি = 0 হলে, প্রমাণ কর যে, \( \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{1}{2} \)
১৪ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, ১ম রাশি \( = a + b + c \)
শর্তমতে, \( a + b + c = 0 \) বা, \( a + b = - c \)
বা, \( (a + b)^3 = (- c)^3 \) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = - c^3 \)
বা, \( a^3 + b^3 + 3ab(- c) = - c^3 \) [\( \because a + b = - c \)]
বা, \( a^3 + b^3 - 3abc = - c^3 \)
\( \therefore a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) (প্রমাণিত)
শর্তমতে, \( a + b + c = 0 \) বা, \( a + b = - c \)
বা, \( (a + b)^3 = (- c)^3 \) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \( a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = - c^3 \)
বা, \( a^3 + b^3 + 3ab(- c) = - c^3 \) [\( \because a + b = - c \)]
বা, \( a^3 + b^3 - 3abc = - c^3 \)
\( \therefore a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) (প্রমাণিত)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
১ম শর্তমতে, \( a + b + c = 10 \)
২য় শর্তমতে, \( a^2 + b^2 + c^2 = 38 \)
এখানে, \( a + b + c = 10 \)
বা, \( (a + b + c)^2 = 10^2 \) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 100 \)
বা, \( 38 + 2(ab + bc + ca) = 100 \) [মান বসিয়ে]
বা, \( 2(ab + bc + ca) = 100 - 38 \)
\( \therefore 2(ab + bc + ca) = 62 \)
প্রদত্ত রাশি \( = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \)
\( = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \)
\( = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \)
\( = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \)
\( = (2 \times 38) - 62 \) [\( \because 2(ab + bc + ca) = 62 \)]
\( = 76 - 62 = 14 \) (Ans.)
২য় শর্তমতে, \( a^2 + b^2 + c^2 = 38 \)
এখানে, \( a + b + c = 10 \)
বা, \( (a + b + c)^2 = 10^2 \) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, \( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 100 \)
বা, \( 38 + 2(ab + bc + ca) = 100 \) [মান বসিয়ে]
বা, \( 2(ab + bc + ca) = 100 - 38 \)
\( \therefore 2(ab + bc + ca) = 62 \)
প্রদত্ত রাশি \( = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \)
\( = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2 \)
\( = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \)
\( = 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) \)
\( = (2 \times 38) - 62 \) [\( \because 2(ab + bc + ca) = 62 \)]
\( = 76 - 62 = 14 \) (Ans.)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, ১ম রাশি \( = a + b + c \)
\( \therefore \) ১ম রাশি = 0 হলে, \( a + b + c = 0 \)
\( \therefore a + b = - c \), \( b + c = - a \), \( c + a = - b \)
এবং 'ক' থেকে পাই, \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)
এখন, \( \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{(- a)^2}{6bc} + \frac{(- b)^2}{6ca} + \frac{(- c)^2}{6ab} \)
\( = \frac{a^2}{6bc} + \frac{b^2}{6ca} + \frac{c^2}{6ab} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{6abc} = \frac{3abc}{6abc} = \frac{1}{2} \)
\( \therefore \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{1}{2} \) (প্রমাণিত)
\( \therefore \) ১ম রাশি = 0 হলে, \( a + b + c = 0 \)
\( \therefore a + b = - c \), \( b + c = - a \), \( c + a = - b \)
এবং 'ক' থেকে পাই, \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)
এখন, \( \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{(- a)^2}{6bc} + \frac{(- b)^2}{6ca} + \frac{(- c)^2}{6ab} \)
\( = \frac{a^2}{6bc} + \frac{b^2}{6ca} + \frac{c^2}{6ab} = \frac{a^3 + b^3 + c^3}{6abc} = \frac{3abc}{6abc} = \frac{1}{2} \)
\( \therefore \frac{(b + c)^2}{6bc} + \frac{(c + a)^2}{6ca} + \frac{(a + b)^2}{6ab} = \frac{1}{2} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ১৫ | বরিশাল বোর্ড ২০১৯ | প্রশ্ন নং ১
\( (p^2 + q^2)^2 = \sqrt[3]{125} \), \( (p^2 - q^2)^2 = \sqrt[3]{64} \) এবং \( x^2 = 9 + 4\sqrt{5} \)
ক. \( x^2 - 2(a + \frac{1}{a})x + 4 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
খ. প্রমাণ কর যে, \( 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 18 \)
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. প্রমাণ কর যে, \( 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 18 \)
গ. \( x^5 + \frac{1}{x^5} \) এর মান নির্ণয় কর।
১৫ নং প্রশ্নের সমাধান
ক নং প্রশ্নের সমাধান
প্রদত্ত রাশি \( = x^2 - 2(a + \frac{1}{a})x + 4 \)
\( = x^2 - 2ax - \frac{2x}{a} + 4 \)
\( = x(x - 2a) - \frac{2}{a}(x - 2a) \)
\( = (x - 2a)(x - \frac{2}{a}) \) (Ans.)
\( = x^2 - 2ax - \frac{2x}{a} + 4 \)
\( = x(x - 2a) - \frac{2}{a}(x - 2a) \)
\( = (x - 2a)(x - \frac{2}{a}) \) (Ans.)
খ নং প্রশ্নের সমাধান
এখানে, \( (p^2 + q^2)^2 = \sqrt[3]{125} \) বা, \( (p^2 + q^2)^2 = 5 \) বা, \( p^2 + q^2 = \sqrt{5} \)
এবং \( (p^2 - q^2)^2 = \sqrt[3]{64} \) বা, \( (p^2 - q^2)^2 = 4 \) \( \therefore p^2 - q^2 = \sqrt{4} = 2 \)
বামপক্ষ \( = 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 16\{(p^2)^2 + (q^2)^2\}p^2q^2 \)
\( = 16 \{ \frac{(p^2 + q^2)^2 + (p^2 - q^2)^2}{2} \} \{ \frac{(p^2 + q^2)^2 - (p^2 - q^2)^2}{4} \} \)
\( = 16 \{ \frac{(\sqrt{5})^2 + (2)^2}{2} \} \{ \frac{(\sqrt{5})^2 - (2)^2}{4} \} \)
\( = 16 ( \frac{5 + 4}{2} ) ( \frac{5 - 4}{4} ) = 16 \times \frac{9}{2} \times \frac{1}{4} \)
\( = 16 \times \frac{9}{8} = 18 = \) ডানপক্ষ
\( \therefore 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 18 \) (প্রমাণিত)
এবং \( (p^2 - q^2)^2 = \sqrt[3]{64} \) বা, \( (p^2 - q^2)^2 = 4 \) \( \therefore p^2 - q^2 = \sqrt{4} = 2 \)
বামপক্ষ \( = 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 16\{(p^2)^2 + (q^2)^2\}p^2q^2 \)
\( = 16 \{ \frac{(p^2 + q^2)^2 + (p^2 - q^2)^2}{2} \} \{ \frac{(p^2 + q^2)^2 - (p^2 - q^2)^2}{4} \} \)
\( = 16 \{ \frac{(\sqrt{5})^2 + (2)^2}{2} \} \{ \frac{(\sqrt{5})^2 - (2)^2}{4} \} \)
\( = 16 ( \frac{5 + 4}{2} ) ( \frac{5 - 4}{4} ) = 16 \times \frac{9}{2} \times \frac{1}{4} \)
\( = 16 \times \frac{9}{8} = 18 = \) ডানপক্ষ
\( \therefore 16(p^4 + q^4)p^2q^2 = 18 \) (প্রমাণিত)
গ নং প্রশ্নের সমাধান
দেওয়া আছে, \( x^2 = 9 + 4\sqrt{5} = 5 + 4\sqrt{5} + 4 \)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + (2)^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{5} + 2 \)
বা, \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} \) [হর ও লবকে (\(\sqrt{5} - 2\)) দ্বারা গুণ করে]
\( = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2 \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5} \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18 \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 18 \) ... ... (i)
আবার, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{5} = 8 \cdot 5\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = 34\sqrt{5} \) ... ... (ii)
(i) ও (ii) নং গুণ করে পাই, \( (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = 18 \times 34\sqrt{5} \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = 612\sqrt{5} \) বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x} = 612\sqrt{5} \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} + 2\sqrt{5} = 612\sqrt{5} \) [\( \because x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{5} \)]
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 612\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \) বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 610\sqrt{5} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 610\sqrt{5} \) (Ans.)
\( = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + (2)^2 = (\sqrt{5} + 2)^2 \)
\( \therefore x = \sqrt{5} + 2 \)
বা, \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} \) [হর ও লবকে (\(\sqrt{5} - 2\)) দ্বারা গুণ করে]
\( = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2 \)
\( \therefore x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} - 2 = 2\sqrt{5} \)
এখন, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18 \)
\( \therefore x^2 + \frac{1}{x^2} = 18 \) ... ... (i)
আবার, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}(x + \frac{1}{x}) \)
\( = (2\sqrt{5})^3 - 3 \cdot 2\sqrt{5} = 8 \cdot 5\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 40\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = 34\sqrt{5} \)
\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = 34\sqrt{5} \) ... ... (ii)
(i) ও (ii) নং গুণ করে পাই, \( (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 + \frac{1}{x^3}) = 18 \times 34\sqrt{5} \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x} + x + \frac{1}{x^5} = 612\sqrt{5} \) বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} + x + \frac{1}{x} = 612\sqrt{5} \)
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} + 2\sqrt{5} = 612\sqrt{5} \) [\( \because x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{5} \)]
বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 612\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \) বা, \( x^5 + \frac{1}{x^5} = 610\sqrt{5} \)
\( \therefore x^5 + \frac{1}{x^5} = 610\sqrt{5} \) (Ans.)
 ){kind=link}
0 Comments