জাহিদুল সাদ ক্লাসরুম
নবম - দশম শ্রেণী
সাধারণ গণিত
ঢাকা বোর্ড ২০২৬
প্রশ্নপত্রে কোনো প্রকার দাগ/চিহ্ন দেয়া যাবেনা।
বহুনির্বাচনি অংশ:
৩০ x ১ = ৩০
০১। কোনো ত্রিভুজে কয়টি পরিবৃত্ত আঁকা যাবে?
ব্যাখ্যা: তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবল একটি এবং একটিমাত্র বৃত্ত আঁকা যায়। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি অসমরেখ হওয়ায় এর কেবল একটিমাত্র পরিবৃত্ত অঙ্কন সম্ভব।
০২। ABCD চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে—
i. A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত
ii. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$
iii. $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত
ii. $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$
iii. $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা: বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। তাই এর শীর্ষবিন্দু ৪টি সমবৃত্ত (i সঠিক)। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০° হয় (ii সঠিক)। কিন্তু সন্নিহিত কোণগুলোর (যেমন B ও C) সমষ্টি সর্বদা ১৮০° হবে এমন কোনো কথা নেই (iii ভুল)।
০৩। বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে কতগুলো স্পর্শক আঁকা যায়?
ব্যাখ্যা: বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবল একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
০৪। যদি $f(p) = p^3 + ap^2 - 6p - 9$ হয় তবে $a$ এর কোন মানের জন্য $f(-3) = 0$ হবে?
ব্যাখ্যা: $f(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 - 6(-3) - 9 = 0$
$\Rightarrow -27 + 9a + 18 - 9 = 0$
$\Rightarrow 9a - 18 = 0 \Rightarrow a = 2$।
$\Rightarrow -27 + 9a + 18 - 9 = 0$
$\Rightarrow 9a - 18 = 0 \Rightarrow a = 2$।
০৫। $z^2 - 4z - 12$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা: মিডল টার্ম ব্রেক করলে: $z^2 - 6z + 2z - 12 = z(z-6) + 2(z-6) = (z-6)(z+2)$।
০৬। সমবাহু ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য $4\sqrt{2}$ সে. মি. হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
ব্যাখ্যা: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 32 = 8\sqrt{3}$ বর্গ সে.মি.।
০৭। দুটি সংখ্যার অনুপাত $3 : 4$ । এদের লসাগু 12 হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?
ব্যাখ্যা: ধরি, সংখ্যা দুটি $3x$ ও $4x$। এদের লসাগু $= 12x$। শর্তমতে, $12x = 12 \Rightarrow x = 1$। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা $= 3 \times 1 = 3$।
[এখানে সামান্তরিকের চিত্রটি বসবে যেখানে $\angle D = 3x+8$ এবং বহিঃস্থ কোণ $B = 2x+7$]
০৮। $x$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান, তাই অন্তঃস্থ $\angle B = 3x+8$।
সরলরেখার ওপর অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।
$(3x+8) + (2x+7) = 180 \Rightarrow 5x + 15 = 180 \Rightarrow x = 33^\circ$।
সরলরেখার ওপর অন্তঃস্থ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি ১৮০°।
$(3x+8) + (2x+7) = 180 \Rightarrow 5x + 15 = 180 \Rightarrow x = 33^\circ$।
০৯। $\angle BCD$ কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা: সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°। $\angle D = 3(33)+8 = 107^\circ$। সুতরাং, $\angle BCD = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ$।
[এখানে বৃত্তের চিত্রটি বসবে]
১০। O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে AT স্পর্শক হলে $\angle BAT =$ কত?
ব্যাখ্যা: বৃত্তের কোনো স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী জ্যা এর মধ্যবর্তী কোণ সর্বদা ঐ জ্যা এর একান্তর বৃত্তাংশস্থিত কোণের সমান। এখানে একান্তর কোণ $\angle C = 50^\circ$, তাই $\angle BAT = 50^\circ$।
১১। প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক কত?
(শ্রেণি: ১১-২০, ২১-৩০, ৩১-৪০, ৪১-৫০ | গঠন সংখ্যা: ৬, ১৪, ২০, ২৫)
(শ্রেণি: ১১-২০, ২১-৩০, ৩১-৪০, ৪১-৫০ | গঠন সংখ্যা: ৬, ১৪, ২০, ২৫)
ব্যাখ্যা: সর্বোচ্চ গণসংখ্যা ২৫ আছে (৪১-৫০) শ্রেণিতে। প্রচুরক $= L + \frac{f_1}{f_1+f_2} \times h = 41 + \frac{5}{5+25} \times 10 = 41 + 1.67 = 42.67$।
১২। $\frac{a+b}{a-b} = \sqrt{\frac{2x+4}{2x-4}}$ হলে $x$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: ডানপক্ষকে সরল করলে $\sqrt{\frac{x+2}{x-2}}$ পাওয়া যায়। উভয়পক্ষকে বর্গ করে যোজন-বিয়োজন করলে: $\frac{2(a^2+b^2)}{4ab} = \frac{2x}{4} \Rightarrow x = \frac{a^2+b^2}{ab}$।
[এখানে বহিঃস্পর্শ করা দুটি বৃত্তের চিত্র বসবে]
১৩। A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে M বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। চিত্রানুসারে,
i. $\angle AMP = 90^\circ$
ii. $PM \perp QM$
iii. $\angle AMP = \angle BMQ$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\angle AMP = 90^\circ$
ii. $PM \perp QM$
iii. $\angle AMP = \angle BMQ$
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা: সাধারণ স্পর্শক (PQ) কেন্দ্রগামী রেখার ওপর লম্ব, তাই $\angle AMP = 90^\circ$ (i সঠিক)। বিপ্রতীপ কোণ হওয়ায় $\angle AMP = \angle BMQ$ (iii সঠিক)।
১৪। A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে M বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। যদি $AM = 7$ সে. মি. হয় তবে $\Delta AMN$ এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা: চিত্রে $\angle AMN = 90^\circ$। ধরি $\angle ANM = 30^\circ$। $\tan 30^\circ = \frac{7}{MN} \Rightarrow MN = 7\sqrt{3}$। ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times 7 \times 7\sqrt{3} = \frac{49\sqrt{3}}{2}$।
১৫। যদি $f(x) = x^3 - \frac{1}{x^3}$ হয়, তাহলে $f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) =$ কত?
ব্যাখ্যা: $f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{x^3} - x^3 = -f(x)$। সুতরাং, $f(x) + f(\frac{1}{x}) = f(x) - f(x) = 0$।
১৬। সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য $16^\circ$ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
ব্যাখ্যা: $x + y = 90^\circ$ এবং $x - y = 16^\circ$। বিয়োগ করলে, $2y = 74^\circ \Rightarrow y = 37^\circ$।
১৭। $A = \{a, b, c\}$ সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কয়টি?
ব্যাখ্যা: প্রকৃত উপসেট $= 2^n - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$ টি।
১৮। 9, 5, 11, 3, 6 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?
ব্যাখ্যা: ক্রমানুসারে সাজালে: ৩, ৫, ৬, ৯, ১১। মাঝের পদটি ৬, তাই মধ্যক ৬।
১৯। কোনো ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত 1 : 3 : 1 হলে ত্রিভুজটি—
ব্যাখ্যা: কোণগুলো হলো $36^\circ, 108^\circ, 36^\circ$। দুটি কোণ সমান হওয়ায় এটি সমদ্বিবাহু।
২০। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য কয়টি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন?
ব্যাখ্যা: একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকতে ৫টি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন হয়।
২১। $A = \{6, 7, 8, 9, 10\}$ এবং $B = \{6, 8, 10\}$ হলে $A \setminus B$ নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা: A সেটের সেই উপাদানগুলো যা B সেটে নেই তা হলো ৭ ও ৯।
২২। নিচের কোনটি ক্রমিক সমানুপাতি?
ব্যাখ্যা: $b^2 = ac$ সূত্রানুসারে, খ অপশনে ৬ এর বর্গ $= 36$ এবং $4 \times 9 = 36$।
২৩। $\tan \theta = \frac{3}{2}$ হলে $\cot^2 \theta$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $\tan \theta = 3/2$ হলে $\cot \theta = 2/3$। সুতরাং, $\cot^2 \theta = (2/3)^2 = 4/9$।
২৪। 5 সে. মি. ধারবিশিষ্ট ঘনকের—
i. কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{3}$ সে. মি.
ii. আয়তন 125 ঘন সে. মি.
iii. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি.
নিচের কোনটি সঠিক?
i. কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{3}$ সে. মি.
ii. আয়তন 125 ঘন সে. মি.
iii. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 150 বর্গ সে. মি.
নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা: কর্ণ $= \sqrt{3}a = 5\sqrt{3}$। আয়তন $= a^3 = 125$। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $= 6a^2 = 6(25) = 150$। তিনটিই সঠিক।
২৫। কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% হ্রাস পেলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে?
ব্যাখ্যা: নতুন বাহু $= 0.9a$। নতুন ক্ষেত্রফল $= 0.81a^2$। ক্ষেত্রফল হ্রাস $= a^2 - 0.81a^2 = 0.19a^2$ বা ১৯%।
২৬। মিষ্টির উপর ভ্যাট $r\%$ হলে $m$ টাকার মিষ্টির দাম কত টাকা?
ব্যাখ্যা: দাম $= m + (m \times \frac{r}{100}) = m\left(\frac{100+r}{100}\right)$।
২৭। বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তীর্যক বাহুদ্বয় একটি অপরটির—
ব্যাখ্যা: বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম সর্বদা সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হয়, তাই তীর্যক বাহুদ্বয় সমান।
২৮। $p - q = 6$ এবং $pq = 2$, $(p + q)^2$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $(p+q)^2 = (p-q)^2 + 4pq = 6^2 + 4(2) = 36 + 8 = 44$।
২৯। $p - q = 6$ এবং $pq = 2$, $p^3 - q^3$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $p^3 - q^3 = (p-q)^3 + 3pq(p-q) = 6^3 + 3(2)(6) = 216 + 36 = 252$।
৩০। কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে. মি. ও 5 সে. মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $90^\circ$ হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে. মি.?
ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}ab \sin \theta = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 90^\circ = 10$ বর্গ সে.মি.।
 ){kind=link}
0 Comments