রাজশাহী বোর্ড
বহুনির্বাচনি অভীক্ষা
গণিত
[২০২৬ সালের সিলেবাস অনুযায়ী]
সময়—৩০ মিনিট
বিষয় কোড: 1 0 9 | সেট: খ
[বিশেষ দ্রষ্টব্য: সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসম্বলিত বৃত্তসমূহ হতে সঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়েন্ট কলম দ্বারা সম্পূর্ণ ভরাট কর। সকল প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। প্রতিটি প্রশ্নের মান ১।]
প্রশ্নপত্রে কোনো প্রকার দাগ/চিহ্ন দেয়া যাবে না।
১। সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য \(16^\circ\) হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ \(90^\circ\)। অপর দুটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\)।ধরি, বড় কোণটি \(x\) এবং ছোট কোণটি \(y\)।
শর্তমতে, \(x + y = 90^\circ\) এবং \(x - y = 16^\circ\)
সমীকরণ দুটি বিয়োগ করলে পাই, \(2y = 74^\circ \Rightarrow y = 37^\circ\)।
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটি \(37^\circ\)।
২। যদি \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) হয় তবে \(\text{cosec}(90^\circ - 3\theta)\) এর মান কত?
সমাধান:
\(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\Rightarrow \sin 2\theta = \sin 60^\circ \Rightarrow 2\theta = 60^\circ \Rightarrow \theta = 30^\circ\)
এখন, \(\text{cosec}(90^\circ - 3\theta) = \text{cosec}(90^\circ - 3 \times 30^\circ) = \text{cosec}(90^\circ - 90^\circ) = \text{cosec}(0^\circ)\)।
আমরা জানি, \(\text{cosec}(0^\circ)\) এর মান অসংজ্ঞায়িত।
৩। \(\sin^4 A + \sin^2 A = 1\) হলে—
i. \(\sin^2 A = \cos A\)
ii. \(\tan A = \text{cosec} A\)
iii. \(\tan A \cdot \text{cosec} A = 1\)
ii. \(\tan A = \text{cosec} A\)
iii. \(\tan A \cdot \text{cosec} A = 1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(\sin^4 A + \sin^2 A = 1\)\(\Rightarrow \sin^4 A = 1 - \sin^2 A \Rightarrow \sin^4 A = \cos^2 A \Rightarrow \sin^2 A = \cos A\) (i সঠিক)।
এখন, \(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\sin A}{\sin^2 A} = \frac{1}{\sin A} = \text{cosec} A\) (ii সঠিক)।
আবার, \(\tan A \cdot \text{cosec} A = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{1}{\sin A} = \frac{1}{\cos A} = \sec A \neq 1\) (iii ভুল)।
উপরের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
৪। \(\triangle ABC\) এর পরিসীমা কত?
সমাধান:
চিত্র হতে, \(\triangle ABC\) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ \(BC = 10\) সে.মি. এবং লম্ব \(AB = 8\) সে.মি.।পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, ভূমি \(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\) সে.মি.।
\(\triangle ABC\) এর পরিসীমা \(= AB + BC + AC = 8 + 10 + 6 = 24\) সে.মি.।
৫। সমগ্র চিত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
সমগ্র চিত্রটির ক্ষেত্রফল \(= \triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল + অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল।\(\triangle ABC\) এর ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{লম্ব} = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) বর্গ সে.মি.।
অর্ধবৃত্তের ব্যাস \(AC = 6\) সে.মি., তাই ব্যাসার্ধ \(r = 3\) সে.মি.।
অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.1416 \times 3^2 = 14.1372\) বর্গ সে.মি.।
মোট ক্ষেত্রফল \(= 24 + 14.1372 = 38.1372 \approx 38.14\) বর্গ সে.মি.।
৬। \(9, 5, 11, 3, 6\) সংখ্যাগুলোর মধ্যক নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাই: \(3, 5, 6, 9, 11\)এখানে পদের সংখ্যা, \(n = 5\) (যা বিজোড়)।
সুতরাং, মধ্যক \(= \frac{n+1}{2}\) তম পদ \(= \frac{5+1}{2} = 3\)য় পদ।
৩য় পদটি হলো \(6\)।
৭। কোনো ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত \(1 : 3 : 1\) হলে ত্রিভুজটি—
সমাধান:
ধরি, কোণগুলো হলো \(x\), \(3x\) এবং \(x\)।ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(180^\circ\) হওয়ায়, \(x + 3x + x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\)।
কোণগুলো হলো \(36^\circ, 108^\circ, 36^\circ\)।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি কোণ পরস্পর সমান (\(36^\circ\)), সেহেতু এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
৮। \(A = \{6, 7, 8, 9, 10\}\) এবং \(B = \{6, 8, 10\}\) হলে \(A \setminus B\) নিচের কোনটি?
সমাধান:
\(A \setminus B\) বলতে \(A\) সেটের ওই সকল উপাদানকে বোঝায় যেগুলো \(B\) সেটে নেই।\(A \setminus B = \{6, 7, 8, 9, 10\} \setminus \{6, 8, 10\} = \{7, 9\}\)।
৯। যদি \(M = \{1, 2\}\) এবং \(N = \{-1, 0, 1\}\) হয় তাহলে—
i. \(M\) সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 3
ii. \(M \cap N = \{1\}\)
iii. \(N \setminus M = M\)
ii. \(M \cap N = \{1\}\)
iii. \(N \setminus M = M\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. \(M\) সেটের উপাদান সংখ্যা \(n = 2\)। প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা \(= 2^n - 1 = 2^2 - 1 = 3\) (সঠিক)।ii. \(M \cap N = \{1, 2\} \cap \{-1, 0, 1\} = \{1\}\) (সঠিক)।
iii. \(N \setminus M = \{-1, 0, 1\} \setminus \{1, 2\} = \{-1, 0\}\), যা \(M\) এর সমান নয় (ভুল)।
সুতরাং, i ও ii সঠিক।
১০। যদি \(f(x) = x^3 + kx^2 - 4x - 8\) হয় তবে \(k\) এর কোন মানের জন্য \(f(-2) = 0\)?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(f(-2) = 0\)।\(\Rightarrow (-2)^3 + k(-2)^2 - 4(-2) - 8 = 0\)
\(\Rightarrow -8 + 4k + 8 - 8 = 0\)
\(\Rightarrow 4k - 8 = 0 \Rightarrow 4k = 8 \Rightarrow k = 2\)।
১১। নিচের কোন অন্বয়টি ফাংশন?
সমাধান:
একটি অন্বয় ফাংশন হবে যদি এর ক্রোমজোড়গুলোর প্রথম উপাদান ভিন্ন ভিন্ন হয়।(ক) তে প্রথম উপাদান '2' দুবার আছে, (খ) তে '-1' দুবার আছে, (ঘ) তে '-4' দুবার আছে।
কিন্তু (গ) তে প্রথম উপাদানগুলো ভিন্ন (2 এবং 1)। তাই এটি একটি ফাংশন।
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ ও ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
\(x^4 - x^2 + 1 = 0\)
\(x^4 - x^2 + 1 = 0\)
১২। \(x + \frac{1}{x}\) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(x^4 - x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^4 + 1 = x^2\)উভয়পক্ষকে \(x^2\) দ্বারা ভাগ করে পাই, \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 1\)
\(\Rightarrow (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 1\)
\(\Rightarrow (x + \frac{1}{x})^2 = 1 + 2 = 3\)
\(\Rightarrow x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}\)
১৩। \(x^3 + \frac{1}{x^3} =\) কত?
সমাধান:
১২ নং প্রশ্ন হতে আমরা পাই, \(x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}\)প্রদত্ত রাশি \(= x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x + \frac{1}{x})\)
\(= (\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0\)।
১৪। \(x^2 - 2xy - 4y - 4\) এর উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= x^2 - 4 - 2xy - 4y\)\(= (x)^2 - (2)^2 - 2y(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x - 2) - 2y(x + 2)\)
\(= (x + 2)(x - 2 - 2y) = (x + 2)(x - 2y - 2)\)।
সুতরাং একটি উৎপাদক হলো \((x - 2y - 2)\)।
১৫। \(f(x) = x^3 + x^2 + x + 1\), হলে \(f(-1) =\) কত?
সমাধান:
\(f(x) = x^3 + x^2 + x + 1\)\(f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0\)।
১৬। 4% হার মুনাফায় 1000 টাকার 3 বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত টাকা?
সমাধান:
আসল, \(P = 1000\), মুনাফার হার \(r = 4\% = 0.04\), সময় \(n = 3\) বছর।চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, \(C - P = P(1+r)^n - P\)
\(= 1000(1 + 0.04)^3 - 1000 = 1000(1.04)^3 - 1000\)
\(= 1000 \times 1.124864 - 1000 = 1124.864 - 1000 = 124.864\) টাকা।
১৭। 20% লাভে ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি, ক্রয়মূল্য \(= 100\) টাকা।20% লাভে বিক্রয়মূল্য \(= 100 + 20 = 120\) টাকা।
অনুপাত \(= \text{ক্রয়মূল্য} : \text{বিক্রয়মূল্য} = 100 : 120 = 5 : 6\)।
১৮। যদি \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী হয় তাহলে—
i. \(c^2 = bd\)
ii. \(\frac{c}{a} = \frac{b^2 + c^2}{a^2 + b^2}\)
iii. \(\frac{a+b}{b} = \frac{b+c}{c}\)
ii. \(\frac{c}{a} = \frac{b^2 + c^2}{a^2 + b^2}\)
iii. \(\frac{a+b}{b} = \frac{b+c}{c}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
যেহেতু \(a, b, c, d\) ক্রমিক সমানুপাতী, তাই \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}\)।i. \(\frac{b}{c} = \frac{c}{d} \Rightarrow c^2 = bd\) (সঠিক)।
ii. ধরি, \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k\)। তাহলে \(c=dk, b=dk^2, a=dk^3\)।
LHS = \(\frac{c}{a} = \frac{dk}{dk^3} = \frac{1}{k^2}\)। RHS = \(\frac{d^2k^4 + d^2k^2}{d^2k^6 + d^2k^4} = \frac{d^2k^2(k^2+1)}{d^2k^4(k^2+1)} = \frac{1}{k^2}\)। (সঠিক)।
iii. \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} + 1 = \frac{b}{c} + 1 \Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{b+c}{c}\) (সঠিক)।
১৯। যদি \(x : y = \frac{1}{2} : \frac{1}{3}\) এবং \(y : z = \frac{1}{4} : \frac{1}{6}\) হয় তাহলে \(x : y : z =\) কত?
সমাধান:
\(x : y = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1 \times 6}{2} : \frac{1 \times 6}{3} = 3 : 2\)।\(y : z = \frac{1}{4} : \frac{1}{6} = \frac{1 \times 12}{4} : \frac{1 \times 12}{6} = 3 : 2\)।
এখন \(y\) কে সমান করতে: \(x : y = (3 \times 3) : (2 \times 3) = 9 : 6\)।
এবং \(y : z = (3 \times 2) : (2 \times 2) = 6 : 4\)।
সুতরাং, \(x : y : z = 9 : 6 : 4\)।
২০। একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(9\sqrt{3}\) বর্গ সে.মি. হলে বাহুর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?
সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\)।শর্তমতে, \(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 9\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^2 = \frac{9\sqrt{3} \times 4}{\sqrt{3}} \Rightarrow a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\) সে.মি.।
২১। দুইটি সংখ্যার অনুপাত \(6 : 5\) এবং তাদের ল.সা.গু. 120 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি \(6x\) এবং \(5x\)।এদের গ.সা.গু. \(= x\) এবং ল.সা.গু. \(= 6 \times 5 \times x = 30x\)।
শর্তমতে, \(30x = 120 \Rightarrow x = \frac{120}{30} = 4\)।
অতএব, গ.সা.গু. \(= 4\)।
২২। \(x + y = \sqrt{5}\) , \(x - y = \sqrt{3}\) হলে—
i. \(xy = \frac{1}{2}\)
ii. \(x^2 + y^2 = 4\)
iii. \(x^3 + y^3 = \frac{13\sqrt{5}}{2}\)
ii. \(x^2 + y^2 = 4\)
iii. \(x^3 + y^3 = \frac{13\sqrt{5}}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. \(xy = \frac{(x+y)^2 - (x-y)^2}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) (সঠিক)।ii. \(x^2 + y^2 = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{2} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\) (সঠিক)।
iii. \(x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = \sqrt{5} (4 - \frac{1}{2}) = \sqrt{5} (\frac{7}{2}) = \frac{7\sqrt{5}}{2}\) (ভুল)।
২৩। \(A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 \le 100 \text{ এবং } x \text{ মৌলিক সংখ্যা}\}\) হলে A এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)শর্ত হলো \(x^2 \le 100\), অর্থাৎ সংখ্যাটির বর্গ 100 এর চেয়ে ছোট বা সমান হবে।
\(2^2 = 4, 3^2 = 9, 5^2 = 25, 7^2 = 49, 11^2 = 121\) (গ্রহণযোগ্য নয়)।
সুতরাং, \(A = \{2, 3, 5, 7\}\)।
২৪। \((3x + 2y, 2x - 3y) = (5, 2)\) হলে \(x\) এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
ক্রোমজোড়ের শর্তানুসারে, \(3x + 2y = 5 \dots\) (i) এবং \(2x - 3y = 2 \dots\) (ii)(i) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা গুণ করে যোগ করি:
\(9x + 6y = 15\)
\(4x - 6y = 4\)
----------------
\(13x = 19 \Rightarrow x = \frac{19}{13}\)।
২৫। একটি আয়ত আঁকতে কমপক্ষে কয়টি উপাত্তের প্রয়োজন?
সমাধান:
একটি আয়ত আঁকতে কমপক্ষে ২টি উপাত্তের (যেমন: দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ) প্রয়োজন। আয়তের প্রতিটি কোণ \(90^\circ\), যা আগে থেকেই জানা থাকে।
প্রদত্ত উদ্দীপকের আলোকে ২৬ ও ২৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
২৬। \(\angle BAC =\) কত?
সমাধান:
চিত্র হতে, \(\angle BAC = x\) (বৃত্তস্থ কোণ) এবং \(\angle BOC = x + 70^\circ\) (কেন্দ্রস্থ কোণ)।আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অর্থাৎ, \(\angle BOC = 2 \angle BAC\)
\(\Rightarrow x + 70^\circ = 2x \Rightarrow x = 70^\circ\)।
সুতরাং, \(\angle BAC = 70^\circ\)।
২৭। প্রবৃদ্ধ কোণ \(\angle BOC\) এর মান কত?
সমাধান:
\(\angle BOC = x + 70^\circ = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ\)।প্রবৃদ্ধ কোণ \(\angle BOC = 360^\circ - \text{কেন্দ্রস্থ } \angle BOC\)
\(= 360^\circ - 140^\circ = 220^\circ\)।
২৮। বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে কয়গুলো স্পর্শক আঁকা যায়?
সমাধান:
বৃত্তের পরিধিস্থ যে কোনো একটি বিন্দুতে কেবল একটি মাত্র স্পর্শক আঁকা সম্ভব।
২৯। 8 সে.মি. ও 10 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত সে.মি.?
সমাধান:
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r_1 = \frac{10}{2} = 5\) সে.মি.।দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r_2 = \frac{8}{2} = 4\) সে.মি.।
দুটি বৃত্ত অন্তস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান হয়।
দূরত্ব \(= r_1 - r_2 = 5 - 4 = 1\) সে.মি.।
৩০। ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি., 6 সে.মি. ও 9 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?
সমাধান:
ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, \(s = \frac{4 + 6 + 9}{2} = \frac{19}{2} = 9.5\) সে.মি.।ক্ষেত্রফল \(= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(= \sqrt{9.5(9.5 - 4)(9.5 - 6)(9.5 - 9)}\)
\(= \sqrt{9.5 \times 5.5 \times 3.5 \times 0.5} = \sqrt{91.4375} \approx 9.562\) বর্গ সে.মি.।
 ){kind=link}
0 Comments