১. সার্বিক সেট U = {x : x ∈ N এবং x² < 53} A = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x < 10},
এবং C = {x ∈ N : x² > 7 এবং x³ < 136} A ও C সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
সার্বিক সেট $U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x^2 < 53\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x < 10\}$
$C = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 7 \text{ এবং } x^3 < 136\}$
A সেট: ১০ এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭।
সুতরাং, $A = \{2, 3, 5, 7\}$
C সেট: স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গ ৭ এর বড় এবং ঘন ১৩৬ এর ছোট হতে হবে।
$x = 1, 2$ হলে, $x^2 > 7$ শর্তটি মানে না।
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 > 7$ এবং $3^3 = 27 < 136$ (সত্য)
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 7$ এবং $4^3 = 64 < 136$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 7$ এবং $5^3 = 125 < 136$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^3 = 216 \nless 136$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $C = \{3, 4, 5\}$
দেওয়া আছে,
সার্বিক সেট $U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x^2 < 53\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x < 10\}$
$C = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 7 \text{ এবং } x^3 < 136\}$
A সেট: ১০ এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ২, ৩, ৫, ৭।
সুতরাং, $A = \{2, 3, 5, 7\}$
C সেট: স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর বর্গ ৭ এর বড় এবং ঘন ১৩৬ এর ছোট হতে হবে।
$x = 1, 2$ হলে, $x^2 > 7$ শর্তটি মানে না।
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 > 7$ এবং $3^3 = 27 < 136$ (সত্য)
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 7$ এবং $4^3 = 64 < 136$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 7$ এবং $5^3 = 125 < 136$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^3 = 216 \nless 136$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $C = \{3, 4, 5\}$
২. সার্বিক সেট U = {x : x ∈ N এবং 1 ≤ x < 8 } A = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 9}
সমাধান:
(শুধু সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হলো)
$U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } 1 \le x < 8\} \Rightarrow \mathbf{U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 9\} \Rightarrow \mathbf{A = \{2, 3, 5, 7\}}$
(শুধু সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হলো)
$U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } 1 \le x < 8\} \Rightarrow \mathbf{U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 9\} \Rightarrow \mathbf{A = \{2, 3, 5, 7\}}$
৩. P = { x ∈ N : x² + x - 72 = 0 } সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধান:
$P = \{x \in \mathbb{N} : x^2 + x - 72 = 0\}$
সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
$x^2 + x - 72 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 9x - 8x - 72 = 0$
$\Rightarrow x(x + 9) - 8(x + 9) = 0$
$\Rightarrow (x + 9)(x - 8) = 0$
হয় $x = -9$ অথবা $x = 8$।
যেহেতু $x \in \mathbb{N}$ (স্বাভাবিক সংখ্যা), তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। অর্থাৎ $x = 8$।
সুতরাং, $P = \{8\}$
$P = \{x \in \mathbb{N} : x^2 + x - 72 = 0\}$
সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
$x^2 + x - 72 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 9x - 8x - 72 = 0$
$\Rightarrow x(x + 9) - 8(x + 9) = 0$
$\Rightarrow (x + 9)(x - 8) = 0$
হয় $x = -9$ অথবা $x = 8$।
যেহেতু $x \in \mathbb{N}$ (স্বাভাবিক সংখ্যা), তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়। অর্থাৎ $x = 8$।
সুতরাং, $P = \{8\}$
৪. A = { x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 225 } A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধান:
$A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 225\}$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ এবং $4^3 = 64 < 225$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 15$ এবং $5^3 = 125 < 225$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^2 = 36 > 15$ এবং $6^3 = 216 < 225$ (সত্য)
$x = 7$ হলে, $7^3 = 343 \nless 225$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $A = \{4, 5, 6\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 225\}$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ এবং $4^3 = 64 < 225$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 15$ এবং $5^3 = 125 < 225$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^2 = 36 > 15$ এবং $6^3 = 216 < 225$ (সত্য)
$x = 7$ হলে, $7^3 = 343 \nless 225$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $A = \{4, 5, 6\}$
৫. A = { x : x ∈ N এবং x² - 5x + 6 = 0 } A সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে , দেখাও যে, P( A ) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ কে সমর্থন করে ।
সমাধান:
$A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x^2 - 5x + 6 = 0\}$
সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0$
সুতরাং, $A = \{2, 3\}$
এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা, $n = 2$
$A$ এর শক্তি সেট, $P(A) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}$
$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা = $4 = 2^2 = 2^n$
প্রমাণিত যে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে।
$A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x^2 - 5x + 6 = 0\}$
সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
$x^2 - 3x - 2x + 6 = 0 \Rightarrow x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 \Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0$
সুতরাং, $A = \{2, 3\}$
এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা, $n = 2$
$A$ এর শক্তি সেট, $P(A) = \{\emptyset, \{2\}, \{3\}, \{2, 3\}\}$
$P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা = $4 = 2^2 = 2^n$
প্রমাণিত যে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা $2^n$ কে সমর্থন করে।
৬. U= {x : x ∈ Nএবং x বিজোড় সংখ্যা }, A = { x: x ∈ N এবং 2 ≤ x ≤ 7} হলে, A´ নির্ণয় কর।
সমাধান:
$U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x \text{ বিজোড় সংখ্যা}\} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\}$
$A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } 2 \le x \le 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\} - \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$U$ এর যে উপাদানগুলো $A$ তে আছে তা বাদ দিলে পাওয়া যায়:
$A' = \{1, 9, 11, 13, 15, \dots\}$
$U = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } x \text{ বিজোড় সংখ্যা}\} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\}$
$A = \{x : x \in \mathbb{N} \text{ এবং } 2 \le x \le 7\} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$A' = U - A = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\} - \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$U$ এর যে উপাদানগুলো $A$ তে আছে তা বাদ দিলে পাওয়া যায়:
$A' = \{1, 9, 11, 13, 15, \dots\}$
৭. A ={ l, m, n } এর প্রকৃত শক্তি সেট নির্ণয় কর।
সমাধান:
$A = \{l, m, n\}$
কোনো সেটের প্রকৃত উপসেটগুলো নিয়ে গঠিত সেটকে প্রকৃত শক্তি সেট বলা যায়।
A এর উপসেটসমূহ: $\emptyset, \{l\}, \{m\}, \{n\}, \{l, m\}, \{l, n\}, \{m, n\}, \{l, m, n\}$
এর মধ্যে $\{l, m, n\}$ বাদে বাকি সবগুলো প্রকৃত উপসেট।
প্রকৃত শক্তি সেট = $\{\emptyset, \{l\}, \{m\}, \{n\}, \{l, m\}, \{l, n\}, \{m, n\}\}$
$A = \{l, m, n\}$
কোনো সেটের প্রকৃত উপসেটগুলো নিয়ে গঠিত সেটকে প্রকৃত শক্তি সেট বলা যায়।
A এর উপসেটসমূহ: $\emptyset, \{l\}, \{m\}, \{n\}, \{l, m\}, \{l, n\}, \{m, n\}, \{l, m, n\}$
এর মধ্যে $\{l, m, n\}$ বাদে বাকি সবগুলো প্রকৃত উপসেট।
প্রকৃত শক্তি সেট = $\{\emptyset, \{l\}, \{m\}, \{n\}, \{l, m\}, \{l, n\}, \{m, n\}\}$
৮. ( x + y , 2 ) = ( 6 , x - y ) হলে, (x , y ) নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $(x + y, 2) = (6, x - y)$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x + y = 6$ ........(i)
$x - y = 2$ ........(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 2)$
দেওয়া আছে, $(x + y, 2) = (6, x - y)$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x + y = 6$ ........(i)
$x - y = 2$ ........(ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
(i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 2)$
৯. A = { x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 36 } হলে, p(A) নির্ণয় কর।
সমাধান:
$A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 36\}$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ কিন্তু $4^3 = 64 \nless 36$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নেই যা উভয় শর্ত একসাথে পূরণ করে।
সুতরাং, $A = \emptyset$
অতএব, $P(A) = \{\emptyset\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 36\}$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ কিন্তু $4^3 = 64 \nless 36$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
এমন কোনো স্বাভাবিক সংখ্যা নেই যা উভয় শর্ত একসাথে পূরণ করে।
সুতরাং, $A = \emptyset$
অতএব, $P(A) = \{\emptyset\}$
১০. ( 3x - 5y , 7/2 ) = ( - 48 , x/2 + y/8 ) হলে, (x , y ) নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $(3x - 5y, \frac{7}{2}) = (-48, \frac{x}{2} + \frac{y}{8})$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$3x - 5y = -48$ ........(i)
$\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = \frac{7}{2}$
$\Rightarrow \frac{4x + y}{8} = \frac{7}{2} \Rightarrow 4x + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 4x$ ........(ii)
$y$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3x - 5(28 - 4x) = -48$
$\Rightarrow 3x - 140 + 20x = -48$
$\Rightarrow 23x = 140 - 48 = 92 \Rightarrow x = \frac{92}{23} = 4$
(ii) নং এ $x = 4$ বসিয়ে পাই: $y = 28 - 4(4) = 28 - 16 = 12$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 12)$
দেওয়া আছে, $(3x - 5y, \frac{7}{2}) = (-48, \frac{x}{2} + \frac{y}{8})$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$3x - 5y = -48$ ........(i)
$\frac{x}{2} + \frac{y}{8} = \frac{7}{2}$
$\Rightarrow \frac{4x + y}{8} = \frac{7}{2} \Rightarrow 4x + y = 28 \Rightarrow y = 28 - 4x$ ........(ii)
$y$-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$3x - 5(28 - 4x) = -48$
$\Rightarrow 3x - 140 + 20x = -48$
$\Rightarrow 23x = 140 - 48 = 92 \Rightarrow x = \frac{92}{23} = 4$
(ii) নং এ $x = 4$ বসিয়ে পাই: $y = 28 - 4(4) = 28 - 16 = 12$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 12)$
১১.S= {(6x - 1 , 3 ), ( 5, 2y + 2 )} অন্বয়টির ডোমেন এবং রেঞ্জ যথাক্রমে {11, 5} এবং {3, 8 } হলে, x এবং y এর মান কত?
সমাধান:
অন্বয় $S = \{(6x - 1, 3), (5, 2y + 2)\}$
ডোমেন = ক্রোমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানের সেট = $\{6x - 1, 5\}$
দেওয়া আছে, ডোমেন = $\{11, 5\}$। অতএব, $6x - 1 = 11 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
রেঞ্জ = ক্রোমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানের সেট = $\{3, 2y + 2\}$
দেওয়া আছে, রেঞ্জ = $\{3, 8\}$। অতএব, $2y + 2 = 8 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow \mathbf{y = 3}$
অন্বয় $S = \{(6x - 1, 3), (5, 2y + 2)\}$
ডোমেন = ক্রোমজোড়গুলোর প্রথম উপাদানের সেট = $\{6x - 1, 5\}$
দেওয়া আছে, ডোমেন = $\{11, 5\}$। অতএব, $6x - 1 = 11 \Rightarrow 6x = 12 \Rightarrow \mathbf{x = 2}$
রেঞ্জ = ক্রোমজোড়গুলোর দ্বিতীয় উপাদানের সেট = $\{3, 2y + 2\}$
দেওয়া আছে, রেঞ্জ = $\{3, 8\}$। অতএব, $2y + 2 = 8 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow \mathbf{y = 3}$
১২. f(x) = - x + 5 ফাংশনের লেখচিত্রের উপরিস্থ যে বিন্দুর ভুজ - 3, সেটি কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত ?
সমাধান:
$f(x) = -x + 5$
যে বিন্দুর ভুজ (x) = -3, তার কোটি (y) হবে:
$f(-3) = -(-3) + 5 = 3 + 5 = 8$
বিন্দুটি হলো $(-3, 8)$। এই বিন্দুর x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক হওয়ায় বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
$f(x) = -x + 5$
যে বিন্দুর ভুজ (x) = -3, তার কোটি (y) হবে:
$f(-3) = -(-3) + 5 = 3 + 5 = 8$
বিন্দুটি হলো $(-3, 8)$। এই বিন্দুর x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক হওয়ায় বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
১৩. f(y) = (3/y + 2) / (2 - y/3) হলে, (f(1/y) + 1) / (f(1/y) - 1) এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(y) = \frac{\frac{3}{y} + 2}{2 - \frac{y}{3}}$
$y$ এর স্থলে $\frac{1}{y}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{3y + 2}{2 - \frac{1}{3y}} = \frac{3y + 2}{\frac{6y-1}{3y}} = \frac{3y(3y+2)}{6y-1} = \frac{9y^2 + 6y}{6y - 1}$
প্রদত্ত রাশি = $\frac{f\left(\frac{1}{y}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{y}\right) - 1}$
$= \frac{\frac{9y^2 + 6y}{6y - 1} + 1}{\frac{9y^2 + 6y}{6y - 1} - 1}$
$= \frac{\frac{9y^2 + 6y + 6y - 1}{6y - 1}}{\frac{9y^2 + 6y - 6y + 1}{6y - 1}}$
$= \frac{9y^2 + 12y - 1}{9y^2 + 1}$
দেওয়া আছে, $f(y) = \frac{\frac{3}{y} + 2}{2 - \frac{y}{3}}$
$y$ এর স্থলে $\frac{1}{y}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{3y + 2}{2 - \frac{1}{3y}} = \frac{3y + 2}{\frac{6y-1}{3y}} = \frac{3y(3y+2)}{6y-1} = \frac{9y^2 + 6y}{6y - 1}$
প্রদত্ত রাশি = $\frac{f\left(\frac{1}{y}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{y}\right) - 1}$
$= \frac{\frac{9y^2 + 6y}{6y - 1} + 1}{\frac{9y^2 + 6y}{6y - 1} - 1}$
$= \frac{\frac{9y^2 + 6y + 6y - 1}{6y - 1}}{\frac{9y^2 + 6y - 6y + 1}{6y - 1}}$
$= \frac{9y^2 + 12y - 1}{9y^2 + 1}$
১৪. g(a) = (4a - 5) / (3a - 2) হলে, (f(a⁻¹) + 1) / (f(a⁻¹) - 1) = 2 এর জন্য a এর মান কত?
সমাধান:
$g(a) = \frac{4a - 5}{3a - 2}$
$g(a^{-1}) = g(\frac{1}{a}) = \frac{4(\frac{1}{a}) - 5}{3(\frac{1}{a}) - 2} = \frac{\frac{4 - 5a}{a}}{\frac{3 - 2a}{a}} = \frac{4 - 5a}{3 - 2a}$
দেওয়া আছে, $\frac{g(a^{-1}) + 1}{g(a^{-1}) - 1} = 2$
$\Rightarrow \frac{\frac{4 - 5a}{3 - 2a} + 1}{\frac{4 - 5a}{3 - 2a} - 1} = 2$
$\Rightarrow \frac{\frac{4 - 5a + 3 - 2a}{3 - 2a}}{\frac{4 - 5a - 3 + 2a}{3 - 2a}} = 2$
$\Rightarrow \frac{7 - 7a}{1 - 3a} = 2$
$\Rightarrow 7 - 7a = 2 - 6a$
$\Rightarrow 7 - 2 = -6a + 7a$
$\Rightarrow \mathbf{a = 5}$
$g(a) = \frac{4a - 5}{3a - 2}$
$g(a^{-1}) = g(\frac{1}{a}) = \frac{4(\frac{1}{a}) - 5}{3(\frac{1}{a}) - 2} = \frac{\frac{4 - 5a}{a}}{\frac{3 - 2a}{a}} = \frac{4 - 5a}{3 - 2a}$
দেওয়া আছে, $\frac{g(a^{-1}) + 1}{g(a^{-1}) - 1} = 2$
$\Rightarrow \frac{\frac{4 - 5a}{3 - 2a} + 1}{\frac{4 - 5a}{3 - 2a} - 1} = 2$
$\Rightarrow \frac{\frac{4 - 5a + 3 - 2a}{3 - 2a}}{\frac{4 - 5a - 3 + 2a}{3 - 2a}} = 2$
$\Rightarrow \frac{7 - 7a}{1 - 3a} = 2$
$\Rightarrow 7 - 7a = 2 - 6a$
$\Rightarrow 7 - 2 = -6a + 7a$
$\Rightarrow \mathbf{a = 5}$
১৫. f(y) = y² - 3y + 2 হলে, y -এর কোন মানের জন্য f(y) = 0 হবে?
সমাধান:
$f(y) = y^2 - 3y + 2$
$f(y) = 0$ হবে যদি $y^2 - 3y + 2 = 0$ হয়।
$\Rightarrow y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$\Rightarrow y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$\Rightarrow (y - 1)(y - 2) = 0$
অতএব, y এর মান 1 বা 2 এর জন্য $f(y) = 0$ হবে।
$f(y) = y^2 - 3y + 2$
$f(y) = 0$ হবে যদি $y^2 - 3y + 2 = 0$ হয়।
$\Rightarrow y^2 - 2y - y + 2 = 0$
$\Rightarrow y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$
$\Rightarrow (y - 1)(y - 2) = 0$
অতএব, y এর মান 1 বা 2 এর জন্য $f(y) = 0$ হবে।
১৬. যদি A ⊆ B হয়, তবে A \ B = কত ?
সমাধান:
যদি $A \subseteq B$ হয়, তার মানে A এর সকল উপাদান B তে বিদ্যমান।
সেক্ষেত্রে A থেকে B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে A তে কোনো উপাদানই অবশিষ্ট থাকবে না।
সুতরাং, $A \setminus B = \emptyset$
যদি $A \subseteq B$ হয়, তার মানে A এর সকল উপাদান B তে বিদ্যমান।
সেক্ষেত্রে A থেকে B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে A তে কোনো উপাদানই অবশিষ্ট থাকবে না।
সুতরাং, $A \setminus B = \emptyset$
১৭. A এবং B দুইটি যেকোন সেট হলে, (A - B) ∩ B = কত ?
সমাধান:
$(A - B)$ হলো সেই সেট যেখানে A এর উপাদানগুলো থাকে কিন্তু B এর কোনো উপাদান থাকে না।
এই সেটের সাথে B এর ইন্টারসেকশন ($\cap$) করলে কোনো সাধারণ (common) উপাদান পাওয়া যাবে না।
সুতরাং, $(A - B) \cap B = \emptyset$
$(A - B)$ হলো সেই সেট যেখানে A এর উপাদানগুলো থাকে কিন্তু B এর কোনো উপাদান থাকে না।
এই সেটের সাথে B এর ইন্টারসেকশন ($\cap$) করলে কোনো সাধারণ (common) উপাদান পাওয়া যাবে না।
সুতরাং, $(A - B) \cap B = \emptyset$
১৮. A এবং B দুইটি যেকোন সেট হলে, A ∩ (A U B) = ?
সমাধান:
$A \cup B$ সেটে A এবং B উভয়ের সকল উপাদান থাকে।
সুতরাং $A$ সেটটি সর্বদা $(A \cup B)$ এর একটি উপসেট।
অতএব, A এবং $(A \cup B)$ এর ইন্টারসেকশন বা সাধারণ অংশ হবে শুধু A।
সুতরাং, $A \cap (A \cup B) = A$
$A \cup B$ সেটে A এবং B উভয়ের সকল উপাদান থাকে।
সুতরাং $A$ সেটটি সর্বদা $(A \cup B)$ এর একটি উপসেট।
অতএব, A এবং $(A \cup B)$ এর ইন্টারসেকশন বা সাধারণ অংশ হবে শুধু A।
সুতরাং, $A \cap (A \cup B) = A$
১৯. A এবং B দুইটি যেকোন সেট হলে, A U (A ∩ B) = ?
সমাধান:
$(A \cap B)$ সেটে শুধুমাত্র A এবং B এর সাধারণ উপাদানগুলো থাকে।
অর্থাৎ $(A \cap B)$ সেটটি সর্বদা A এর একটি উপসেট।
অতএব, A এর সাথে $(A \cap B)$ এর ইউনিয়ন বা সংযোগ করলে পুরো A সেটটিই পাওয়া যাবে।
সুতরাং, $A \cup (A \cap B) = A$
$(A \cap B)$ সেটে শুধুমাত্র A এবং B এর সাধারণ উপাদানগুলো থাকে।
অর্থাৎ $(A \cap B)$ সেটটি সর্বদা A এর একটি উপসেট।
অতএব, A এর সাথে $(A \cap B)$ এর ইউনিয়ন বা সংযোগ করলে পুরো A সেটটিই পাওয়া যাবে।
সুতরাং, $A \cup (A \cap B) = A$
২০. 100 জনের একটি দলে 72 জন ইংরেজিতে কথা বলতে পারে এবং 43 জন ফরাসিতে কথা বলতে পারে। কতজন শুধুমাত্র ইংরেজিতে কথা বলতে পারে ?
সমাধান:
ধরি, মোট মানুষের সেট $U$, যারা ইংরেজিতে কথা বলতে পারে তাদের সেট $E$ এবং যারা ফরাসিতে কথা বলতে পারে তাদের সেট $F$।
দেওয়া আছে, $n(U) = n(E \cup F) = 100$ (ধরে নিচ্ছি প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে)
$n(E) = 72$
$n(F) = 43$
আমরা জানি, $n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F)$
$\Rightarrow 100 = 72 + 43 - n(E \cap F)$
$\Rightarrow 100 = 115 - n(E \cap F)$
$\Rightarrow n(E \cap F) = 15$ (উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে এমন মানুষ)
শুধুমাত্র ইংরেজিতে কথা বলতে পারে এমন মানুষের সংখ্যা = $n(E) - n(E \cap F)$
$= 72 - 15 = \mathbf{57}$ জন।
ধরি, মোট মানুষের সেট $U$, যারা ইংরেজিতে কথা বলতে পারে তাদের সেট $E$ এবং যারা ফরাসিতে কথা বলতে পারে তাদের সেট $F$।
দেওয়া আছে, $n(U) = n(E \cup F) = 100$ (ধরে নিচ্ছি প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে)
$n(E) = 72$
$n(F) = 43$
আমরা জানি, $n(E \cup F) = n(E) + n(F) - n(E \cap F)$
$\Rightarrow 100 = 72 + 43 - n(E \cap F)$
$\Rightarrow 100 = 115 - n(E \cap F)$
$\Rightarrow n(E \cap F) = 15$ (উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে এমন মানুষ)
শুধুমাত্র ইংরেজিতে কথা বলতে পারে এমন মানুষের সংখ্যা = $n(E) - n(E \cap F)$
$= 72 - 15 = \mathbf{57}$ জন।
২১. A = { a , b } , B = { 2 , 3 } এবং C = { 3 , 4 } হলে, (A × B ) ∩ (A×C) এর মান কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $A = \{a, b\}$, $B = \{2, 3\}$, $C = \{3, 4\}$
$A \times B = \{(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)\}$
$A \times C = \{(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)\}$
এখন, $(A \times B) \cap (A \times C)$ হলো উভয়ের মধ্যে থাকা সাধারণ (common) উপাদানগুলো।
সুতরাং, $(A \times B) \cap (A \times C) = \{(a, 3), (b, 3)\}$
(বিকল্প নিয়ম: $(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{3\} = \{(a, 3), (b, 3)\}$ )
দেওয়া আছে, $A = \{a, b\}$, $B = \{2, 3\}$, $C = \{3, 4\}$
$A \times B = \{(a, 2), (a, 3), (b, 2), (b, 3)\}$
$A \times C = \{(a, 3), (a, 4), (b, 3), (b, 4)\}$
এখন, $(A \times B) \cap (A \times C)$ হলো উভয়ের মধ্যে থাকা সাধারণ (common) উপাদানগুলো।
সুতরাং, $(A \times B) \cap (A \times C) = \{(a, 3), (b, 3)\}$
(বিকল্প নিয়ম: $(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C) = \{a, b\} \times \{3\} = \{(a, 3), (b, 3)\}$ )
২২. A = { a , b } এবং B = ∅ হলে, A × B = ?
সমাধান:
আমরা জানি, যেকোনো সেটের সাথে ফাঁকা সেটের কার্তেসীয় গুণজ সর্বদা ফাঁকা সেট হয়।
সুতরাং, $A \times B = \emptyset$
আমরা জানি, যেকোনো সেটের সাথে ফাঁকা সেটের কার্তেসীয় গুণজ সর্বদা ফাঁকা সেট হয়।
সুতরাং, $A \times B = \emptyset$
২৩. M = { 7 , 9 , { 1 , 2 } }সেটের সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা কত ?
সমাধান:
$M$ সেটের উপাদানগুলো হলো: $7$, $9$, এবং একটি সেট $\{1, 2\}$।
অর্থাৎ, $M$ সেটের মোট উপাদান সংখ্যা, $n = 3$
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার সূচক বা শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$
সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা = $2^3 = \mathbf{8}$ টি।
$M$ সেটের উপাদানগুলো হলো: $7$, $9$, এবং একটি সেট $\{1, 2\}$।
অর্থাৎ, $M$ সেটের মোট উপাদান সংখ্যা, $n = 3$
কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার সূচক বা শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হয় $2^n$
সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা = $2^3 = \mathbf{8}$ টি।
২৪. কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা 3n হলে, উপসেট সংখ্যা কত ?
সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সেটের সদস্য বা উপাদান সংখ্যা $x$ হলে, তার উপসেট সংখ্যা হয় $2^x$
যেহেতু সেটের সদস্য সংখ্যা $3n$, তাই উপসেট সংখ্যা হবে $2^{3n}$
আমরা জানি, কোনো সেটের সদস্য বা উপাদান সংখ্যা $x$ হলে, তার উপসেট সংখ্যা হয় $2^x$
যেহেতু সেটের সদস্য সংখ্যা $3n$, তাই উপসেট সংখ্যা হবে $2^{3n}$
২৫. f(x) = 2 / (x+1) হলে, f(x) এর ডোমেন কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{2}{x+1}$
ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি এর হর শূন্য না হয়।
অর্থাৎ, $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
সুতরাং, সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত, শুধু $x = -1$ বাদে।
অতএব, ডোমেন = $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{2}{x+1}$
ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি এর হর শূন্য না হয়।
অর্থাৎ, $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
সুতরাং, সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত, শুধু $x = -1$ বাদে।
অতএব, ডোমেন = $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$
২৬. ( x - 2y , 3x + 2y ) = ( 1 , 19 ) হলে, ( x , y ) এর মান কোনটি?
সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x - 2y = 1$ ........(i)
$3x + 2y = 19$ ........(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$4x = 20 \Rightarrow x = 5$
(i) নং সমীকরণে $x = 5$ বসিয়ে পাই:
$5 - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (5, 2)$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x - 2y = 1$ ........(i)
$3x + 2y = 19$ ........(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই:
$4x = 20 \Rightarrow x = 5$
(i) নং সমীকরণে $x = 5$ বসিয়ে পাই:
$5 - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (5, 2)$
২৭. ( x + y , 2 ) = ( 6 , x - y ) হলে, ( x , y ) নির্ণয় কর।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x + y = 6$ ........(i)
$x - y = 2$ ........(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 2)$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$x + y = 6$ ........(i)
$x - y = 2$ ........(ii)
সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই: $2x = 8 \Rightarrow x = 4$
সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই: $2y = 4 \Rightarrow y = 2$
সুতরাং, $(x, y) = (4, 2)$
২৮. ( cx - dy , cd ) = ( cd , dx - cy ) হলে, ( x , y ) নির্ণয় কর ।
সমাধান:
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$cx - dy = cd$ ........(i)
$dx - cy = cd$ ........(ii)
(i) নং কে $c$ দ্বারা এবং (ii) নং কে $d$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$c^2x - cdy = c^2d$
$d^2x - cdy = cd^2$
বিয়োগ করে পাই: $(c^2 - d^2)x = c^2d - cd^2 \Rightarrow x(c^2 - d^2) = cd(c - d)$
$\Rightarrow x(c+d)(c-d) = cd(c-d) \Rightarrow \mathbf{x = \frac{cd}{c+d}}$
আবার, (i) নং কে $d$ দ্বারা এবং (ii) নং কে $c$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$cdx - d^2y = cd^2$
$cdx - c^2y = c^2d$
বিয়োগ করে পাই: $(c^2 - d^2)y = c^2d - cd^2 \Rightarrow y(c^2 - d^2) = cd(c - d)$
$\Rightarrow y = \frac{-cd(c - d)}{-(c^2 - d^2)} = \frac{-cd(c - d)}{(c+d)(c-d)} \Rightarrow \mathbf{y = \frac{-cd}{c+d}}$
সুতরাং, $(x, y) = \left(\frac{cd}{c+d}, \frac{-cd}{c+d}\right)$
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
$cx - dy = cd$ ........(i)
$dx - cy = cd$ ........(ii)
(i) নং কে $c$ দ্বারা এবং (ii) নং কে $d$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$c^2x - cdy = c^2d$
$d^2x - cdy = cd^2$
বিয়োগ করে পাই: $(c^2 - d^2)x = c^2d - cd^2 \Rightarrow x(c^2 - d^2) = cd(c - d)$
$\Rightarrow x(c+d)(c-d) = cd(c-d) \Rightarrow \mathbf{x = \frac{cd}{c+d}}$
আবার, (i) নং কে $d$ দ্বারা এবং (ii) নং কে $c$ দ্বারা গুণ করে পাই:
$cdx - d^2y = cd^2$
$cdx - c^2y = c^2d$
বিয়োগ করে পাই: $(c^2 - d^2)y = c^2d - cd^2 \Rightarrow y(c^2 - d^2) = cd(c - d)$
$\Rightarrow y = \frac{-cd(c - d)}{-(c^2 - d^2)} = \frac{-cd(c - d)}{(c+d)(c-d)} \Rightarrow \mathbf{y = \frac{-cd}{c+d}}$
সুতরাং, $(x, y) = \left(\frac{cd}{c+d}, \frac{-cd}{c+d}\right)$
২৯. সার্বিক সেট U = { x : x∈ N এবং x বিজোড় সংখ্যা } ,
সমাধান:
প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ, তবে সার্বিক সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে:
$U = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\}$
প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ, তবে সার্বিক সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করলে হবে:
$U = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, \dots\}$
৩০. A = { x : x∈ N এবং 2 ≤ x ≤ 7}; A সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
সমাধান:
$A = \{x \in \mathbb{N} : 2 \le x \le 7\}$
স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে যারা ২ এর সমান বা বড় এবং ৭ এর সমান বা ছোট, তারা হলো: ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭।
সুতরাং, $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
$A = \{x \in \mathbb{N} : 2 \le x \le 7\}$
স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে যারা ২ এর সমান বা বড় এবং ৭ এর সমান বা ছোট, তারা হলো: ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭।
সুতরাং, $A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$
৩১. f(x) = (x - 1) / (x + 1) হলে, প্রমাণ কর যে, (f(x) - f(1/x²)) / (f(1/x²) + 1) = (x³ - 1) / (x + 1)
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$
অতএব, $f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{\frac{1-x^2}{x^2}}{\frac{1+x^2}{x^2}} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
L.H.S = $\frac{f(x) - f\left(\frac{1}{x^2}\right)}{f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}$
লব: $f(x) - f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x-1}{x+1} - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{(x-1)(1+x^2) - (1-x^2)(x+1)}{(x+1)(1+x^2)}$
$= \frac{(x + x^3 - 1 - x^2) - (x + 1 - x^3 - x^2)}{(x+1)(1+x^2)} = \frac{2x^3 - 2}{(x+1)(1+x^2)} = \frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)}$
হর: $f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1 = \frac{1-x^2}{1+x^2} + 1 = \frac{1-x^2 + 1+x^2}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$
মান বসিয়ে পাই,
L.H.S = $\frac{\frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)}}{\frac{2}{1+x^2}} = \frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)} \times \frac{1+x^2}{2} = \frac{x^3 - 1}{x + 1}$ = R.H.S
(প্রমাণিত)
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$
অতএব, $f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{\frac{1}{x^2}-1}{\frac{1}{x^2}+1} = \frac{\frac{1-x^2}{x^2}}{\frac{1+x^2}{x^2}} = \frac{1-x^2}{1+x^2}$
L.H.S = $\frac{f(x) - f\left(\frac{1}{x^2}\right)}{f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1}$
লব: $f(x) - f\left(\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x-1}{x+1} - \frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{(x-1)(1+x^2) - (1-x^2)(x+1)}{(x+1)(1+x^2)}$
$= \frac{(x + x^3 - 1 - x^2) - (x + 1 - x^3 - x^2)}{(x+1)(1+x^2)} = \frac{2x^3 - 2}{(x+1)(1+x^2)} = \frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)}$
হর: $f\left(\frac{1}{x^2}\right) + 1 = \frac{1-x^2}{1+x^2} + 1 = \frac{1-x^2 + 1+x^2}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$
মান বসিয়ে পাই,
L.H.S = $\frac{\frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)}}{\frac{2}{1+x^2}} = \frac{2(x^3-1)}{(x+1)(1+x^2)} \times \frac{1+x^2}{2} = \frac{x^3 - 1}{x + 1}$ = R.H.S
(প্রমাণিত)
৩২. C = { - 6 , - 4 , - 2 , 2 , 4 , 6 } কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।
সমাধান:
প্রদত্ত সেটটি আগে থেকেই তালিকা পদ্ধতিতে (Tabular Method) দেওয়া আছে।
সম্ভবত প্রশ্নটিতে 'সেট গঠন পদ্ধতিতে' প্রকাশ করতে বলা হয়েছিল। সেক্ষেত্রে উত্তরটি হবে:
$C = \{x \in \mathbb{Z} : x \text{ জোড় সংখ্যা, } x \neq 0 \text{ এবং } -6 \le x \le 6\}$
প্রদত্ত সেটটি আগে থেকেই তালিকা পদ্ধতিতে (Tabular Method) দেওয়া আছে।
সম্ভবত প্রশ্নটিতে 'সেট গঠন পদ্ধতিতে' প্রকাশ করতে বলা হয়েছিল। সেক্ষেত্রে উত্তরটি হবে:
$C = \{x \in \mathbb{Z} : x \text{ জোড় সংখ্যা, } x \neq 0 \text{ এবং } -6 \le x \le 6\}$
৩৩. S = {(x, y) : x ∈ A , y ∈ B এবং 2x - y = 0 } যেখানে , A = { -1,0,1} S অন্বয়কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে এর রেঞ্জ নির্ণয় কর ।
সমাধান:
প্রশ্নে B সেটের মান দেওয়া নেই। সাধারণত এধরনের ক্ষেত্রে $y \in A$ বিবেচনা করা হয়। ধরে নিচ্ছি $B = A$।
শর্ত: $2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$
$x \in A$ এর জন্য $y$ এর মানগুলো বের করি:
$x = -1$ হলে, $y = 2(-1) = -2$ (যা A তে নেই)
$x = 0$ হলে, $y = 2(0) = 0$ (যা A তে আছে)
$x = 1$ হলে, $y = 2(1) = 2$ (যা A তে নেই)
সুতরাং, শর্ত পূরণকারী একমাত্র জোড় হলো $(0, 0)$
অন্বয় $S = \{(0, 0)\}$
রেঞ্জ = $\{0\}$
প্রশ্নে B সেটের মান দেওয়া নেই। সাধারণত এধরনের ক্ষেত্রে $y \in A$ বিবেচনা করা হয়। ধরে নিচ্ছি $B = A$।
শর্ত: $2x - y = 0 \Rightarrow y = 2x$
$x \in A$ এর জন্য $y$ এর মানগুলো বের করি:
$x = -1$ হলে, $y = 2(-1) = -2$ (যা A তে নেই)
$x = 0$ হলে, $y = 2(0) = 0$ (যা A তে আছে)
$x = 1$ হলে, $y = 2(1) = 2$ (যা A তে নেই)
সুতরাং, শর্ত পূরণকারী একমাত্র জোড় হলো $(0, 0)$
অন্বয় $S = \{(0, 0)\}$
রেঞ্জ = $\{0\}$
৩৪. f(y) = ( 1 + y² + y⁴ ) ÷ y² হলে,প্রমাণ কর যে, f( p⁻² ) = f (p²)
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(y) = \frac{1 + y^2 + y^4}{y^2} = \frac{1}{y^2} + 1 + y^2 = y^{-2} + 1 + y^2$
L.H.S = $f(p^{-2}) = (p^{-2})^{-2} + 1 + (p^{-2})^2 = p^4 + 1 + p^{-4}$
R.H.S = $f(p^2) = (p^2)^{-2} + 1 + (p^2)^2 = p^{-4} + 1 + p^4$
দেখা যাচ্ছে, L.H.S = R.H.S
সুতরাং, $f(p^{-2}) = f(p^2)$ (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে, $f(y) = \frac{1 + y^2 + y^4}{y^2} = \frac{1}{y^2} + 1 + y^2 = y^{-2} + 1 + y^2$
L.H.S = $f(p^{-2}) = (p^{-2})^{-2} + 1 + (p^{-2})^2 = p^4 + 1 + p^{-4}$
R.H.S = $f(p^2) = (p^2)^{-2} + 1 + (p^2)^2 = p^{-4} + 1 + p^4$
দেখা যাচ্ছে, L.H.S = R.H.S
সুতরাং, $f(p^{-2}) = f(p^2)$ (প্রমাণিত)
৩৫. P = {x ∈ N: x² + x - 72 = 0} সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
সমাধান:
$x^2 + x - 72 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 9x - 8x - 72 = 0$
$\Rightarrow x(x + 9) - 8(x + 9) = 0$
$\Rightarrow (x + 9)(x - 8) = 0$
হয় $x = -9$ অথবা $x = 8$।
যেহেতু $x \in \mathbb{N}$ (স্বাভাবিক সংখ্যা), তাই $x = 8$
সুতরাং, $P = \{8\}$
$x^2 + x - 72 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 9x - 8x - 72 = 0$
$\Rightarrow x(x + 9) - 8(x + 9) = 0$
$\Rightarrow (x + 9)(x - 8) = 0$
হয় $x = -9$ অথবা $x = 8$।
যেহেতু $x \in \mathbb{N}$ (স্বাভাবিক সংখ্যা), তাই $x = 8$
সুতরাং, $P = \{8\}$
৩৬. A = { x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9 } , P( A ) নির্ণয় করে “ কোনো সেট A- এর উপাদান সংখ্যা n হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা 2ⁿ হবে “ উক্তিটির সত্যতা যাচাই কর ।
সমাধান:
$A = \{2, 4, 6, 8\}$
এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা, $n = 4$
$P(A) = \{ \emptyset, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{2, 8\}, \{4, 6\}, \{4, 8\}, \{6, 8\}, \{2, 4, 6\}, \{2, 4, 8\}, \{2, 6, 8\}, \{4, 6, 8\}, \{2, 4, 6, 8\} \}$
এখানে $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা গুনে দেখা যায় ১৬ টি।
এখন, $2^n = 2^4 = 16$
অতএব, উক্তিটির সত্যতা প্রমাণিত হলো।
$A = \{2, 4, 6, 8\}$
এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা, $n = 4$
$P(A) = \{ \emptyset, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \{2, 4\}, \{2, 6\}, \{2, 8\}, \{4, 6\}, \{4, 8\}, \{6, 8\}, \{2, 4, 6\}, \{2, 4, 8\}, \{2, 6, 8\}, \{4, 6, 8\}, \{2, 4, 6, 8\} \}$
এখানে $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা গুনে দেখা যায় ১৬ টি।
এখন, $2^n = 2^4 = 16$
অতএব, উক্তিটির সত্যতা প্রমাণিত হলো।
৩৭. F = {(x, y) : x ∈ C , y ∈ C এবং x - y = 2 } যেখানে , C = { - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 }, F কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
সমাধান:
শর্ত: $x - y = 2 \Rightarrow y = x - 2$
$x \in C$ এর জন্য $y$ এর মানগুলো বের করি:
$x = -2$ হলে, $y = -2 - 2 = -4$ (যা C তে নেই)
$x = 0$ হলে, $y = 0 - 2 = -2$ (যা C তে আছে)
$x = 2$ হলে, $y = 2 - 2 = 0$ (যা C তে আছে)
$x = 4$ হলে, $y = 4 - 2 = 2$ (যা C তে আছে)
$x = 6$ হলে, $y = 6 - 2 = 4$ (যা C তে আছে)
সুতরাং, শর্ত পূরণকারী জোড়গুলো হলো $(0, -2), (2, 0), (4, 2), (6, 4)$
অন্বয় $F = \{(0, -2), (2, 0), (4, 2), (6, 4)\}$
শর্ত: $x - y = 2 \Rightarrow y = x - 2$
$x \in C$ এর জন্য $y$ এর মানগুলো বের করি:
$x = -2$ হলে, $y = -2 - 2 = -4$ (যা C তে নেই)
$x = 0$ হলে, $y = 0 - 2 = -2$ (যা C তে আছে)
$x = 2$ হলে, $y = 2 - 2 = 0$ (যা C তে আছে)
$x = 4$ হলে, $y = 4 - 2 = 2$ (যা C তে আছে)
$x = 6$ হলে, $y = 6 - 2 = 4$ (যা C তে আছে)
সুতরাং, শর্ত পূরণকারী জোড়গুলো হলো $(0, -2), (2, 0), (4, 2), (6, 4)$
অন্বয় $F = \{(0, -2), (2, 0), (4, 2), (6, 4)\}$
৩৮. যদি f(t) = (t⁴ + t² + 1) / t² হয়, তবে f( - 1/3 ) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(t) = \frac{t^4 + t^2 + 1}{t^2}$
$t = -\frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)^4 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 1}{\left(-\frac{1}{3}\right)^2}$
$= \frac{\frac{1}{81} + \frac{1}{9} + 1}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{\frac{1 + 9 + 81}{81}}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{\frac{91}{81}}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{91}{81} \times 9$
$= \frac{91}{9}$
দেওয়া আছে, $f(t) = \frac{t^4 + t^2 + 1}{t^2}$
$t = -\frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{\left(-\frac{1}{3}\right)^4 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 1}{\left(-\frac{1}{3}\right)^2}$
$= \frac{\frac{1}{81} + \frac{1}{9} + 1}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{\frac{1 + 9 + 81}{81}}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{\frac{91}{81}}{\frac{1}{9}}$
$= \frac{91}{81} \times 9$
$= \frac{91}{9}$
৩৯. f(x) = (x² + 3) / (x² - 3) হলে, (f(1/y) + 1) / (f(1/y) - 1) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3}$
$x$ এর স্থলে $\frac{1}{y}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 3}{\left(\frac{1}{y}\right)^2 - 3} = \frac{\frac{1}{y^2} + 3}{\frac{1}{y^2} - 3} = \frac{\frac{1 + 3y^2}{y^2}}{\frac{1 - 3y^2}{y^2}} = \frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2}$
এখন, প্রদত্ত রাশি = $\frac{f\left(\frac{1}{y}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{y}\right) - 1}$
যোজন-বিয়োজন করে (অথবা সরাসরি মান বসিয়ে) পাই:
$= \frac{\frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2} + 1}{\frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2} - 1}$
$= \frac{\frac{1 + 3y^2 + 1 - 3y^2}{1 - 3y^2}}{\frac{1 + 3y^2 - (1 - 3y^2)}{1 - 3y^2}}$
$= \frac{2}{1 + 3y^2 - 1 + 3y^2}$
$= \frac{2}{6y^2}$
$= \frac{1}{3y^2}$
দেওয়া আছে, $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 3}$
$x$ এর স্থলে $\frac{1}{y}$ বসিয়ে পাই,
$f\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 3}{\left(\frac{1}{y}\right)^2 - 3} = \frac{\frac{1}{y^2} + 3}{\frac{1}{y^2} - 3} = \frac{\frac{1 + 3y^2}{y^2}}{\frac{1 - 3y^2}{y^2}} = \frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2}$
এখন, প্রদত্ত রাশি = $\frac{f\left(\frac{1}{y}\right) + 1}{f\left(\frac{1}{y}\right) - 1}$
যোজন-বিয়োজন করে (অথবা সরাসরি মান বসিয়ে) পাই:
$= \frac{\frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2} + 1}{\frac{1 + 3y^2}{1 - 3y^2} - 1}$
$= \frac{\frac{1 + 3y^2 + 1 - 3y^2}{1 - 3y^2}}{\frac{1 + 3y^2 - (1 - 3y^2)}{1 - 3y^2}}$
$= \frac{2}{1 + 3y^2 - 1 + 3y^2}$
$= \frac{2}{6y^2}$
$= \frac{1}{3y^2}$
৪০. S = { x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 225 } হলে, S কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর.
সমাধান:
$S = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 225\}$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ এবং $4^3 = 64 < 225$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 15$ এবং $5^3 = 125 < 225$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^2 = 36 > 15$ এবং $6^3 = 216 < 225$ (সত্য)
$x = 7$ হলে, $7^3 = 343 \nless 225$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $S = \{4, 5, 6\}$
$S = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 15 \text{ এবং } x^3 < 225\}$
$x = 3$ হলে, $3^2 = 9 \ngtr 15$
$x = 4$ হলে, $4^2 = 16 > 15$ এবং $4^3 = 64 < 225$ (সত্য)
$x = 5$ হলে, $5^2 = 25 > 15$ এবং $5^3 = 125 < 225$ (সত্য)
$x = 6$ হলে, $6^2 = 36 > 15$ এবং $6^3 = 216 < 225$ (সত্য)
$x = 7$ হলে, $7^3 = 343 \nless 225$ (শর্ত মানে না)
সুতরাং, $S = \{4, 5, 6\}$
41. f(a) = a³ + ka² - 8a - 24 হলে, k -এর কোন মানের জন্য f(-3) = 9 হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $f(a) = a^3 + ka^2 - 8a - 24$
শর্তমতে, $f(-3) = 9$
$\Rightarrow (-3)^3 + k(-3)^2 - 8(-3) - 24 = 9$
$\Rightarrow -27 + 9k + 24 - 24 = 9$
$\Rightarrow -27 + 9k = 9$
$\Rightarrow 9k = 9 + 27$
$\Rightarrow 9k = 36$
$\Rightarrow k = \frac{36}{9}$
$\Rightarrow k = 4$
দেওয়া আছে, $f(a) = a^3 + ka^2 - 8a - 24$
শর্তমতে, $f(-3) = 9$
$\Rightarrow (-3)^3 + k(-3)^2 - 8(-3) - 24 = 9$
$\Rightarrow -27 + 9k + 24 - 24 = 9$
$\Rightarrow -27 + 9k = 9$
$\Rightarrow 9k = 9 + 27$
$\Rightarrow 9k = 36$
$\Rightarrow k = \frac{36}{9}$
$\Rightarrow k = 4$
42. সার্বিক সেট U = { x : x∈ N এবং x ≤ 6 } এবং A = { x : মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 } হলে, Aᶜ এর মান নির্ণয় কর ।
সমাধান:
$U = \{x \in \mathbb{N} : x \le 6\}$
$\Rightarrow U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$A = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 5\}$
$\Rightarrow A = \{2, 3, 5\}$
$A^c = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 5\}$
সুতরাং, $A^c = \{1, 4, 6\}$
$U = \{x \in \mathbb{N} : x \le 6\}$
$\Rightarrow U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
$A = \{x : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 5\}$
$\Rightarrow A = \{2, 3, 5\}$
$A^c = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} - \{2, 3, 5\}$
সুতরাং, $A^c = \{1, 4, 6\}$
73. দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কি বলে?
সমাধান:
দুই সমকোণ ($১৮০^\circ$) অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ ($৩৬০^\circ$) অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে।
দুই সমকোণ ($১৮০^\circ$) অপেক্ষা বড় এবং চার সমকোণ ($৩৬০^\circ$) অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে।
74. সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত ?
সমাধান:
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ $৬০^\circ$।
এর যেকোনো একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি শীর্ষবিন্দুতে দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়।
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = $১৮০^\circ - ৬০^\circ = ১২০^\circ$
সুতরাং, উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = $১২০^\circ + ১২০^\circ =$ $২৪০^\circ$
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ $৬০^\circ$।
এর যেকোনো একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুটি শীর্ষবিন্দুতে দুটি বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়।
প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ = $১৮০^\circ - ৬০^\circ = ১২০^\circ$
সুতরাং, উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি = $১২০^\circ + ১২০^\circ =$ $২৪০^\circ$
75. রশ্মির প্রান্তবিন্দু কয়টি ?
সমাধান:
রশ্মির প্রান্তবিন্দু ১টি। (রশ্মি একদিক থেকে শুরু হয়ে অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত চলতে থাকে)।
রশ্মির প্রান্তবিন্দু ১টি। (রশ্মি একদিক থেকে শুরু হয়ে অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত চলতে থাকে)।
76. তলের মাত্রা কয়টি ?
সমাধান:
তলের মাত্রা ২টি (দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ)।
তলের মাত্রা ২টি (দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ)।
77. ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সে.মি. এককে দেওয়া হলো। নিচের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ?
ক. 5, 6, 18 খ. 6, 7 , 19 গ. 7, 8, 17 ঘ. 9, 6, 13
ক. 5, 6, 18 খ. 6, 7 , 19 গ. 7, 8, 17 ঘ. 9, 6, 13
সমাধান:
ত্রিভুজ আঁকার শর্ত হলো: "ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।"
ক. $5 + 6 = 11 \ngtr 18$ (সম্ভব নয়)
খ. $6 + 7 = 13 \ngtr 19$ (সম্ভব নয়)
গ. $7 + 8 = 15 \ngtr 17$ (সম্ভব নয়)
ঘ. $9 + 6 = 15 > 13$ (শর্ত মেনে চলে, তাই সম্ভব)
সঠিক উত্তর: ঘ. 9, 6, 13
ত্রিভুজ আঁকার শর্ত হলো: "ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।"
ক. $5 + 6 = 11 \ngtr 18$ (সম্ভব নয়)
খ. $6 + 7 = 13 \ngtr 19$ (সম্ভব নয়)
গ. $7 + 8 = 15 \ngtr 17$ (সম্ভব নয়)
ঘ. $9 + 6 = 15 > 13$ (শর্ত মেনে চলে, তাই সম্ভব)
সঠিক উত্তর: ঘ. 9, 6, 13
78. ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সে.মি. এককে দেওয়া হলো। নিচের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?
ক. 3, 4, 5 খ. 4, 5 , 10 গ. 4, 6, 8 ঘ. 8, 3, 9
ক. 3, 4, 5 খ. 4, 5 , 10 গ. 4, 6, 8 ঘ. 8, 3, 9
সমাধান:
ত্রিভুজ আঁকার শর্ত অনুযায়ী দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
খ নং অপশনে: $4 + 5 = 9$, যা তৃতীয় বাহু $10$ এর চেয়ে ছোট। তাই এটি দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
সঠিক উত্তর: খ. 4, 5, 10
ত্রিভুজ আঁকার শর্ত অনুযায়ী দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।
খ নং অপশনে: $4 + 5 = 9$, যা তৃতীয় বাহু $10$ এর চেয়ে ছোট। তাই এটি দিয়ে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
সঠিক উত্তর: খ. 4, 5, 10
79. কমপক্ষে কয়টি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে বিশেষ চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব ?
সমাধান:
বর্গ একটি বিশেষ ধরণের চতুর্ভুজ, যা আঁকতে শুধুমাত্র ১টি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়াই যথেষ্ট।
সুতরাং, কমপক্ষে ১টি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে বিশেষ চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব।
বর্গ একটি বিশেষ ধরণের চতুর্ভুজ, যা আঁকতে শুধুমাত্র ১টি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়াই যথেষ্ট।
সুতরাং, কমপক্ষে ১টি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে বিশেষ চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব।
80. একটি ত্রিভুজের কয়টি অঙ্গ?
সমাধান:
একটি ত্রিভুজের মোট অঙ্গ ৬টি (৩টি বাহু এবং ৩টি কোণ)।
একটি ত্রিভুজের মোট অঙ্গ ৬টি (৩টি বাহু এবং ৩টি কোণ)।
81. নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য কয়টি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন ?
সমাধান:
একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য ৫টি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন। (যেমন: ৪টি বাহু ও ১টি কোণ, অথবা ৩টি বাহু ও ২টি কর্ণ ইত্যাদি)।
একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ অঙ্কনের জন্য ৫টি স্বতন্ত্র উপাত্তের প্রয়োজন। (যেমন: ৪টি বাহু ও ১টি কোণ, অথবা ৩টি বাহু ও ২টি কর্ণ ইত্যাদি)।
82. ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b এবং c একক হলে , নিচের কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব ?
ক. a + b < c খ. a + b > c গ. a + b = c ঘ. a + c = b
ক. a + b < c খ. a + b > c গ. a + b = c ঘ. a + c = b
সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হয়।
সঠিক উত্তর: খ. a + b > c (ধরে নিই c বৃহত্তম বাহু)।
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হয়।
সঠিক উত্তর: খ. a + b > c (ধরে নিই c বৃহত্তম বাহু)।
83. নিচের কোন ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট ΔABC আঁকা সম্ভব ?
ক. AB =3cm , BC= 6cm এবং AC = 10cm খ. ∠A = 50° ,∠B = 30°এবং ∠C=100°
গ. AB = 5cm , BC = 10cm এবং AC = 6cm ঘ. ∠A = 60° , ∠B = 40° এবং ∠C = 80°
ক. AB =3cm , BC= 6cm এবং AC = 10cm খ. ∠A = 50° ,∠B = 30°এবং ∠C=100°
গ. AB = 5cm , BC = 10cm এবং AC = 6cm ঘ. ∠A = 60° , ∠B = 40° এবং ∠C = 80°
সমাধান:
• তিনটি কোণ (খ ও ঘ) দেওয়া থাকলে অসংখ্য সদৃশ ত্রিভুজ আঁকা যায়, কোনো নির্দিষ্ট (unique) ত্রিভুজ আঁকা যায় না।
• 'ক' নং এ: $3 + 6 = 9 < 10$, তাই ত্রিভুজ আঁকাই সম্ভব নয়।
• 'গ' নং এ: তিনটি বাহু দেওয়া আছে এবং $5 + 6 = 11 > 10$, শর্তটি পালিত হয়। তাই এটি দিয়ে একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
সঠিক উত্তর: গ. AB = 5cm , BC = 10cm এবং AC = 6cm
• তিনটি কোণ (খ ও ঘ) দেওয়া থাকলে অসংখ্য সদৃশ ত্রিভুজ আঁকা যায়, কোনো নির্দিষ্ট (unique) ত্রিভুজ আঁকা যায় না।
• 'ক' নং এ: $3 + 6 = 9 < 10$, তাই ত্রিভুজ আঁকাই সম্ভব নয়।
• 'গ' নং এ: তিনটি বাহু দেওয়া আছে এবং $5 + 6 = 11 > 10$, শর্তটি পালিত হয়। তাই এটি দিয়ে একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
সঠিক উত্তর: গ. AB = 5cm , BC = 10cm এবং AC = 6cm
84. ΔPQR এ ,∠Q= 60°,∠R=40° ,∠Q ও ∠R এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠QOR এর মান কত?
ক. 80° খ. 90° গ. 120° ঘ.130°
ক. 80° খ. 90° গ. 120° ঘ.130°
সমাধান:
যেহেতু O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় মিলিত হয়েছে, সেহেতু $\Delta QOR$ এ:
$\angle OQR = \frac{\angle Q}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle ORQ = \frac{\angle R}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$
$\angle QOR = 180^\circ - (\angle OQR + \angle ORQ)$
$\angle QOR = 180^\circ - (30^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
সঠিক উত্তর: ঘ. 130°
যেহেতু O বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় মিলিত হয়েছে, সেহেতু $\Delta QOR$ এ:
$\angle OQR = \frac{\angle Q}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle ORQ = \frac{\angle R}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$
$\angle QOR = 180^\circ - (\angle OQR + \angle ORQ)$
$\angle QOR = 180^\circ - (30^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$
সঠিক উত্তর: ঘ. 130°
85. ভূমিতে খাড়াভাবে দণ্ডায়মান কোনো গাছের শীর্ষ বিন্দুতে ঐ বিন্দু থেকে 68√3 মিটার দূরে ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ 60°। গাছটির উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, গাছের উচ্চতা $h$ মিটার। গাছের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূতলস্থ বিন্দুর দূরত্ব (অতিভুজ) = $68\sqrt{3}$ মিটার।
শীর্ষবিন্দুতে অবনতি কোণ $60^\circ$ হলে, ভূতলস্থ বিন্দুতে উন্নতি কোণও $60^\circ$ হবে।
আমরা জানি, $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \sin(60^\circ) = \frac{h}{68\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{68\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2h = 68\sqrt{3} \times \sqrt{3}$
$\Rightarrow 2h = 68 \times 3 = 204$
$\Rightarrow h = \frac{204}{2} = 102$
সুতরাং, গাছটির উচ্চতা 102 মিটার।
ধরি, গাছের উচ্চতা $h$ মিটার। গাছের শীর্ষবিন্দু থেকে ভূতলস্থ বিন্দুর দূরত্ব (অতিভুজ) = $68\sqrt{3}$ মিটার।
শীর্ষবিন্দুতে অবনতি কোণ $60^\circ$ হলে, ভূতলস্থ বিন্দুতে উন্নতি কোণও $60^\circ$ হবে।
আমরা জানি, $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \sin(60^\circ) = \frac{h}{68\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{68\sqrt{3}}$
$\Rightarrow 2h = 68\sqrt{3} \times \sqrt{3}$
$\Rightarrow 2h = 68 \times 3 = 204$
$\Rightarrow h = \frac{204}{2} = 102$
সুতরাং, গাছটির উচ্চতা 102 মিটার।
86. উন্নতি কোণ এবং অবনতি কোণ ব্যাখ্যা কর।
সমাধান:
উন্নতি কোণ (Angle of Elevation): ভূতলের সমান্তরাল রেখার উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে। অর্থাৎ, নিচে থেকে উপরের কোনো বস্তু দেখার সময় দৃষ্টিরেখা ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ তৈরি করে।
অবনতি কোণ (Angle of Depression): ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে। অর্থাৎ, উপর থেকে নিচের কোনো বস্তু দেখার সময় দৃষ্টিরেখা ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ তৈরি করে।
উন্নতি কোণ (Angle of Elevation): ভূতলের সমান্তরাল রেখার উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে। অর্থাৎ, নিচে থেকে উপরের কোনো বস্তু দেখার সময় দৃষ্টিরেখা ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ তৈরি করে।
অবনতি কোণ (Angle of Depression): ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে। অর্থাৎ, উপর থেকে নিচের কোনো বস্তু দেখার সময় দৃষ্টিরেখা ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ তৈরি করে।
87. একটি গাছের উচ্চতা ও ছায়ার অনুপাত √3 : 1 হলে, গাছের উন্নতি কোণ নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধরি, উন্নতি কোণ = $\theta$
দেওয়া আছে, $\frac{\text{গাছের উচ্চতা (লম্ব)}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য (ভূমি)}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$
আমরা জানি, $\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$
$\Rightarrow \tan\theta = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $\theta = 60^\circ$
ধরি, উন্নতি কোণ = $\theta$
দেওয়া আছে, $\frac{\text{গাছের উচ্চতা (লম্ব)}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য (ভূমি)}} = \frac{\sqrt{3}}{1}$
আমরা জানি, $\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$
$\Rightarrow \tan\theta = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $\theta = 60^\circ$
88. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমির অনুপাত 2 : √3 হলে, মধ্যবর্তী কোণ কত ?
সমাধান:
ধরি, ভূমি ও অতিভুজের মধ্যবর্তী কোণ = $\theta$
দেওয়া আছে, অতিভুজ : ভূমি = $2 : \sqrt{3}$
অর্থাৎ, $\frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
আমরা জানি, $\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow \cos\theta = \cos(30^\circ)$
সুতরাং, মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$
ধরি, ভূমি ও অতিভুজের মধ্যবর্তী কোণ = $\theta$
দেওয়া আছে, অতিভুজ : ভূমি = $2 : \sqrt{3}$
অর্থাৎ, $\frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
আমরা জানি, $\cos\theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\Rightarrow \cos\theta = \cos(30^\circ)$
সুতরাং, মধ্যবর্তী কোণ $30^\circ$
89. কোনো দণ্ডের ছায়ার দৈর্ঘ্য তার দৈর্ঘ্যের কত গুণ হলে উন্নতি কোণ 30° হবে?
সমাধান:
ধরি, দণ্ডের দৈর্ঘ্য = $h$ এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য = $x$
উন্নতি কোণ $\theta = 30^\circ$
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}$
$\Rightarrow x = \sqrt{3}h$
সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য দণ্ডের দৈর্ঘ্যের $\sqrt{3}$ গুণ হবে।
ধরি, দণ্ডের দৈর্ঘ্য = $h$ এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য = $x$
উন্নতি কোণ $\theta = 30^\circ$
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x}$
$\Rightarrow x = \sqrt{3}h$
সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য দণ্ডের দৈর্ঘ্যের $\sqrt{3}$ গুণ হবে।
90. 18 m দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে একটি দেওয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালের উচ্চতা কত?
সমাধান:
এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $18$ মি.
উন্নতি কোণ $\theta = 45^\circ$
ধরি, দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) = $h$
$\sin(45^\circ) = \frac{h}{18}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{18}$
$\Rightarrow h = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$
সুতরাং, দেয়ালের উচ্চতা $9\sqrt{2}$ মি.
এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $18$ মি.
উন্নতি কোণ $\theta = 45^\circ$
ধরি, দেয়ালের উচ্চতা (লম্ব) = $h$
$\sin(45^\circ) = \frac{h}{18}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{h}{18}$
$\Rightarrow h = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$
সুতরাং, দেয়ালের উচ্চতা $9\sqrt{2}$ মি.
91. একটি মিনারের উচ্চতা 20√3 মি: এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য 20 মি:। অবনতি কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, উন্নতি কোণ এবং অবনতি কোণ পরস্পর সমান হয়।
$\tan\theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
$\Rightarrow \theta = 60^\circ$
সুতরাং, অবনতি কোণের মান $60^\circ$
আমরা জানি, উন্নতি কোণ এবং অবনতি কোণ পরস্পর সমান হয়।
$\tan\theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{20\sqrt{3}}{20} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
$\Rightarrow \theta = 60^\circ$
সুতরাং, অবনতি কোণের মান $60^\circ$
92. কত ডিগ্রী অবনতি কোণের জন্য একটি খুঁটি এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সমান হবে ?
সমাধান:
খুঁটির উচ্চতা = ছায়ার দৈর্ঘ্য হলে, $\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = 1$
$\Rightarrow \tan\theta = 1$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(45^\circ)$
$\Rightarrow \theta = 45^\circ$
যেহেতু উন্নতি ও অবনতি কোণ সমান, তাই অবনতি কোণ 45° হবে।
খুঁটির উচ্চতা = ছায়ার দৈর্ঘ্য হলে, $\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = 1$
$\Rightarrow \tan\theta = 1$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(45^\circ)$
$\Rightarrow \theta = 45^\circ$
যেহেতু উন্নতি ও অবনতি কোণ সমান, তাই অবনতি কোণ 45° হবে।
93. মিনারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 45 মিটার এবং উচ্চতা 15√3 মিটার হলে উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:
$\tan\theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{15\sqrt{3}}{45} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(30^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $30^\circ$
$\tan\theta = \frac{\text{উচ্চতা}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}} = \frac{15\sqrt{3}}{45} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(30^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $30^\circ$
94. একটি গাছের দৈর্ঘ্য ও ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : √3 হলে উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:
$\tan\theta = \frac{\text{দৈর্ঘ্য}}{\text{ছায়া}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $60^\circ$
$\tan\theta = \frac{\text{দৈর্ঘ্য}}{\text{ছায়া}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \tan\theta = \tan(60^\circ)$
সুতরাং, উন্নতি কোণ $60^\circ$
95. একটি মিনারের পাদদেশ থেকে 12 মিটার দূরে ভূতলের কোনো বিন্দুতে মিনারের চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারের উচ্চতা কত?
সমাধান:
ধরি, উচ্চতা = $h$ মি.
ভূমি = $12$ মি. এবং উন্নতি কোণ $\theta = 30^\circ$
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{12}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12}$
$\Rightarrow h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
সুতরাং, মিনারের উচ্চতা $4\sqrt{3}$ মিটার।
ধরি, উচ্চতা = $h$ মি.
ভূমি = $12$ মি. এবং উন্নতি কোণ $\theta = 30^\circ$
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{12}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12}$
$\Rightarrow h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$
সুতরাং, মিনারের উচ্চতা $4\sqrt{3}$ মিটার।
96. সূর্যের উন্নতি কোণ 90° হলে কোনো দণ্ডের ছায়ার দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধান:
সূর্যের উন্নতি কোণ $90^\circ$ এর অর্থ হলো সূর্য ঠিক মাথার উপরে খাড়াভাবে কিরণ দিচ্ছে।
এমতাবস্থায় দণ্ডের কোনো ছায়া পড়বে না।
সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য 0 (শূন্য)।
সূর্যের উন্নতি কোণ $90^\circ$ এর অর্থ হলো সূর্য ঠিক মাথার উপরে খাড়াভাবে কিরণ দিচ্ছে।
এমতাবস্থায় দণ্ডের কোনো ছায়া পড়বে না।
সুতরাং, ছায়ার দৈর্ঘ্য 0 (শূন্য)।
97. 3 সেমি ও 11 সেমি উঁচু দুইটি খুঁটির শীর্ষদ্বয়ের দূরত্ব 10 সেমি হলে খুঁটি দ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত ?
সমাধান:
খুঁটি দুটির উচ্চতার পার্থক্য = $11 - 3 = 8$ সেমি। (এটি লম্ব)
শীর্ষদ্বয়ের দূরত্ব (অতিভুজ) = $10$ সেমি।
ধরি, মধ্যবর্তী দূরত্ব (ভূমি) = $x$ সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$x^2 + 8^2 = 10^2$
$\Rightarrow x^2 + 64 = 100$
$\Rightarrow x^2 = 100 - 64 = 36$
$\Rightarrow x = 6$
সুতরাং, খুঁটিদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 6 সেমি।
খুঁটি দুটির উচ্চতার পার্থক্য = $11 - 3 = 8$ সেমি। (এটি লম্ব)
শীর্ষদ্বয়ের দূরত্ব (অতিভুজ) = $10$ সেমি।
ধরি, মধ্যবর্তী দূরত্ব (ভূমি) = $x$ সেমি।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$x^2 + 8^2 = 10^2$
$\Rightarrow x^2 + 64 = 100$
$\Rightarrow x^2 = 100 - 64 = 36$
$\Rightarrow x = 6$
সুতরাং, খুঁটিদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 6 সেমি।
98. একটি গাছের ছায়া দৈর্ঘ্য 24 মি বেশি লম্বা হয় যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 60° থেকে 30° হয়। গাছের দৈর্ঘ্য কত ?
সমাধান:
ধরি, গাছের উচ্চতা = $h$ এবং শুরুতে ছায়ার দৈর্ঘ্য = $x$
১ম শর্তমতে ($60^\circ$ এর ক্ষেত্রে):
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$
২য় শর্তমতে ($30^\circ$ এর ক্ষেত্রে):
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x + 24}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 24}$
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
$\Rightarrow h\sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}} + 24$
$\Rightarrow h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = 24$
$\Rightarrow h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 24$
$\Rightarrow h\left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = 24$
$\Rightarrow h \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 24$
$\Rightarrow h = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$
সুতরাং, গাছের দৈর্ঘ্য $12\sqrt{3}$ মি।
ধরি, গাছের উচ্চতা = $h$ এবং শুরুতে ছায়ার দৈর্ঘ্য = $x$
১ম শর্তমতে ($60^\circ$ এর ক্ষেত্রে):
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$
২য় শর্তমতে ($30^\circ$ এর ক্ষেত্রে):
$\tan(30^\circ) = \frac{h}{x + 24}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{h}{\sqrt{3}} + 24}$
কোণাকুণি গুণ করে পাই:
$\Rightarrow h\sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}} + 24$
$\Rightarrow h\sqrt{3} - \frac{h}{\sqrt{3}} = 24$
$\Rightarrow h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 24$
$\Rightarrow h\left(\frac{3 - 1}{\sqrt{3}}\right) = 24$
$\Rightarrow h \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 24$
$\Rightarrow h = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$
সুতরাং, গাছের দৈর্ঘ্য $12\sqrt{3}$ মি।
99. (x³ + y³) / (x - y + z) = x ( x + y ) হলে দেখাও যে x , y ও z ক্রমিক সমানুপাতী।
সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{x^3 + y^3}{x - y + z} = x(x + y)$
$\Rightarrow \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x - y + z} = x(x + y)$
উভয়পক্ষ থেকে $(x + y)$ বাদ দিয়ে পাই, [ধরি $x+y \neq 0$]
$\Rightarrow \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y + z} = x$
$\Rightarrow x^2 - xy + y^2 = x(x - y + z)$
$\Rightarrow x^2 - xy + y^2 = x^2 - xy + xz$
উভয়পক্ষ থেকে $x^2 - xy$ বাদ দিয়ে পাই,
$\Rightarrow y^2 = xz$
অর্থাৎ, $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$
অতএব, x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)
দেওয়া আছে, $\frac{x^3 + y^3}{x - y + z} = x(x + y)$
$\Rightarrow \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x - y + z} = x(x + y)$
উভয়পক্ষ থেকে $(x + y)$ বাদ দিয়ে পাই, [ধরি $x+y \neq 0$]
$\Rightarrow \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y + z} = x$
$\Rightarrow x^2 - xy + y^2 = x(x - y + z)$
$\Rightarrow x^2 - xy + y^2 = x^2 - xy + xz$
উভয়পক্ষ থেকে $x^2 - xy$ বাদ দিয়ে পাই,
$\Rightarrow y^2 = xz$
অর্থাৎ, $\frac{x}{y} = \frac{y}{z}$
অতএব, x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী। (প্রমাণিত)
100. P : q = 3 : 4 এবং P ও q এর গ.সা.গু 5 হলে, p ও q এর ল.সা.গু কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $P : q = 3 : 4$
ধরি, $P = 3x$ এবং $q = 4x$
$3x$ ও $4x$ এর গ.সা.গু = $x$
প্রশ্নমতে, $x = 5$
এখন, $P$ ও $q$ এর ল.সা.গু = $3 \times 4 \times x = 12x$
$x$ এর মান বসিয়ে পাই, ল.সা.গু = $12 \times 5 = 60$
সুতরাং, ল.সা.গু 60
দেওয়া আছে, $P : q = 3 : 4$
ধরি, $P = 3x$ এবং $q = 4x$
$3x$ ও $4x$ এর গ.সা.গু = $x$
প্রশ্নমতে, $x = 5$
এখন, $P$ ও $q$ এর ল.সা.গু = $3 \times 4 \times x = 12x$
$x$ এর মান বসিয়ে পাই, ল.সা.গু = $12 \times 5 = 60$
সুতরাং, ল.সা.গু 60
101. একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমার অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$
বর্গের পরিসীমা = $4a$
অনুপাত = কর্ণের দৈর্ঘ্য : পরিসীমা
$= a\sqrt{2} : 4a$
$= \sqrt{2} : 4$
$= \sqrt{2} : (2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 1 : 2\sqrt{2}$
সুতরাং, অনুপাত $1 : 2\sqrt{2}$
ধরি, বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$
বর্গের পরিসীমা = $4a$
অনুপাত = কর্ণের দৈর্ঘ্য : পরিসীমা
$= a\sqrt{2} : 4a$
$= \sqrt{2} : 4$
$= \sqrt{2} : (2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= 1 : 2\sqrt{2}$
সুতরাং, অনুপাত $1 : 2\sqrt{2}$
0 Comments