দিনাজপুর বোর্ড
বহুনির্বাচনি অভীক্ষা
গণিত
[২০২৬ সালের সিলেবাস অনুযায়ী]
সময়—৩০ মিনিট
বিষয় কোড: 1 0 9 | সেট: ক
[বিশেষ দ্রষ্টব্য: সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসম্বলিত বৃত্তসমূহ হতে সঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়েন্ট কলম দ্বারা সম্পূর্ণ ভরাট কর। সকল প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। প্রতিটি প্রশ্নের মান ১।]
প্রশ্নপত্রে কোনো প্রকার দাগ/চিহ্ন দেয়া যাবে না।
১। \(M = \{2, 3, 4\}\) হলে \(P(M)\) এর উপাদান সংখ্যা কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(M = \{2, 3, 4\}\)। এখানে \(M\) সেটের উপাদান সংখ্যা, \(n = 3\)।আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা \(n\) হলে, তার পাওয়ার সেটের উপাদান সংখ্যা হয় \(2^n\)।
সুতরাং, \(P(M)\) এর উপাদান সংখ্যা \(= 2^3 = 8\)।
২। \(a - \frac{1}{a} = 5\) হলে \(\frac{30a}{5a^2 + 5a - 5}\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a - \frac{1}{a} = 5 \Rightarrow \frac{a^2 - 1}{a} = 5 \Rightarrow a^2 - 1 = 5a\)উভয়পক্ষকে 5 দ্বারা গুণ করে পাই, \(5a^2 - 5 = 25a\)
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{30a}{5a^2 - 5 + 5a} = \frac{30a}{25a + 5a} = \frac{30a}{30a} = 1\)।
৩। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কনে কয়টি উপাত্ত প্রয়োজন?
সমাধান:
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকতে ন্যূনতম ২টি উপাত্তের প্রয়োজন। যেমন: ভূমির দৈর্ঘ্য এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, অথবা ভূমি এবং ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ।
৪। বর্গ অঙ্কন করা যাবে, যদি দেয়া থাকে—
i. পরিসীমা
ii. একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
iii. একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য
ii. একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
iii. একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
বর্গের ৪টি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ \(90^\circ\)।i. পরিসীমা দেওয়া থাকলে তাকে 4 দিয়ে ভাগ করে এক বাহুর দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়।
ii. এক বাহুর দৈর্ঘ্য জানলে সরাসরি বর্গ আঁকা যায়।
iii. কর্ণের দৈর্ঘ্য (\(a\sqrt{2}\)) জানা থাকলে সেখান থেকেও বাহুর দৈর্ঘ্য (\(a\)) বের করে বর্গ আঁকা সম্ভব। তাই তিনটি শর্তেই বর্গ আঁকা যাবে।
৫। নিচের কোনটি সঠিক? যখন \(\theta\) সূক্ষ্মকোণ—
সমাধান:
\(\theta\) সূক্ষ্মকোণ হলে \(0 < \sin\theta < 1\) এবং \(0 < \cos\theta < 1\)।যেহেতু \(\sin\theta\) এবং \(\cos\theta\) উভয়েই 1 এর চেয়ে ছোট ধনাত্মক সংখ্যা, তাই তাদের বর্গের মান তাদের মূল মানের চেয়ে ছোট হয়। অর্থাৎ, \(\sin\theta > \sin^2\theta\) এবং \(\cos\theta > \cos^2\theta\)।
যোগ করে পাই, \(\sin\theta + \cos\theta > \sin^2\theta + \cos^2\theta\)
আমরা জানি, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)। সুতরাং, \(\sin\theta + \cos\theta > 1\)।
৬। \(\tan\beta = 1\) হলে \(2\sin\beta \cos\beta\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(\tan\beta = 1 \Rightarrow \tan\beta = \tan 45^\circ \Rightarrow \beta = 45^\circ\)।প্রদত্ত রাশি \(= 2\sin\beta \cos\beta = 2 \sin 45^\circ \cos 45^\circ\)
\(= 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1\)।
৭। \(x : y = 3 : 2\) হলে \(5x : 7y =\) কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\)।আমাদের বের করতে হবে \(\frac{5x}{7y}\) এর মান।
\(\frac{5x}{7y} = \frac{5}{7} \times \frac{x}{y} = \frac{5}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{15}{14}\)।
সুতরাং, অনুপাতটি হবে \(15 : 14\)।
৮। \(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী এবং \(a = 4\), \(c = 16\) হলে \(b\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
\(a, b, c\) ক্রমিক সমানুপাতী হলে, \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \Rightarrow b^2 = ac\)।এখানে, \(a = 4\), \(c = 16\)।
সুতরাং, \(b^2 = 4 \times 16 = 64 \Rightarrow b = \sqrt{64} = 8\)।
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
সুষম অষ্টভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।
সুষম অষ্টভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.।
৯। বহুভুজটির প্রতিটি শীর্ষ কোণের মান কত?
সমাধান:
অষ্টভুজের বাহুর সংখ্যা, \(n = 8\)।সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষ কোণ বা অন্তঃস্থ কোণ \(= \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\)
\(= \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = \frac{6 \times 180^\circ}{8} = 135^\circ\)।
১০। বহুভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল \(= \frac{na^2}{4} \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\)।এখানে \(n = 8\) এবং বাহুর দৈর্ঘ্য \(a = 4\)।
ক্ষেত্রফল \(= \frac{8 \times 4^2}{4} \cot\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 32 \times \cot(22.5^\circ)\)।
\(\cot(22.5^\circ) \approx 2.4142\)।
ক্ষেত্রফল \(= 32 \times 2.4142 = 77.2544 \approx 77.25\) বর্গ সে.মি.।
১১। 7, 3, 4, 0, 2, 0, 5 উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?
সমাধান:
উপাত্তগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে পাই: \(0, 0, 2, 3, 4, 5, 7\)।এখানে মোট উপাত্তের সংখ্যা \(n = 7\) (বিজোড়)।
মধ্যক \(= \frac{n+1}{2}\) তম পদ \(= \frac{7+1}{2} = 4\)র্থ পদ।
এখানে ৪র্থ পদটি হলো 3।
১২। ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?
সমাধান:
ধরি, কোণ তিনটি যথাক্রমে \(2x, 3x\) এবং \(4x\)।ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(180^\circ\)।
\(2x + 3x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ\)।
বৃহত্তম কোণ \(= 4x = 4 \times 20^\circ = 80^\circ\)।
ক্ষুদ্রতম কোণ \(= 2x = 2 \times 20^\circ = 40^\circ\)।
পার্থক্য \(= 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ\)।
১৩। দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5। তাদের বর্গের সমষ্টি এবং বর্গের অন্তরের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি \(7x\) এবং \(5x\)।তাদের বর্গের সমষ্টি \(= (7x)^2 + (5x)^2 = 49x^2 + 25x^2 = 74x^2\)।
তাদের বর্গের অন্তর \(= (7x)^2 - (5x)^2 = 49x^2 - 25x^2 = 24x^2\)।
অনুপাত \(= 74x^2 : 24x^2 = 74 : 24 = 37 : 12\)।
১৪। কোন তিনটি বাহুর জন্য ত্রিভুজ আঁকা যাবে?
সমাধান:
আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। অর্থাৎ ছোট দুটি বাহুর যোগফল বড় বাহুটির চেয়ে বড় হতে হবে।(ক) 5 + 6 = 11 (সমান, ত্রিভুজ হবে না)
(খ) 6 + 7 = 13 < 15 (ছোট, ত্রিভুজ হবে না)
(গ) 9 + 7 = 16 (সমান, ত্রিভুজ হবে না)
(ঘ) 6 + 9 = 15 > 13 (বড়, তাই ত্রিভুজ আঁকা যাবে)।
১৫। \(a : b = 3 : 4\) এবং \(b : c = 5 : 6\) হলে \(a : c\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\) এবং \(\frac{b}{c} = \frac{5}{6}\)।এখন, \(\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}\)।
সুতরাং, \(a : c = 5 : 8\)।
১৬। একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যাবে?
সমাধান:
ত্রিভুজের তিনটি বাহু থাকে। যেকোনো এক বাহুকে স্পর্শ করে এবং অপর দুই বাহুর বর্ধিতাংশকে স্পর্শ করে ত্রিভুজের বাইরে বৃত্ত আঁকা যায়। যেহেতু বাহু ৩টি, তাই ৩টি বহির্বৃত্ত আঁকা সম্ভব।
১৭। একটি ঘড়ির মূল্য সংযোজন কর (VAT) 15%, ভ্যাটসহ ঘড়িটি 450 টাকায় ক্রয় করলে কত টাকা ভ্যাট দিতে হবে?
সমাধান:
ভ্যাটসহ ক্রয়মূল্য বলতে ঘড়ির আসল মূল্য (100%) + ভ্যাট (15%) = 115% বোঝায়।প্রশ্নমতে, 115% = 450 টাকা।
ভ্যাটের পরিমাণ (15%) = \(\frac{450 \times 15}{115} = \frac{6750}{115} \approx 58.695\) টাকা।
যা প্রায় 58.70 টাকার সমান।
উদ্দীপকের আলোকে ১৮ ও ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
\(p + q + r = 0\)
\(p + q + r = 0\)
১৮। \(p^3 + q^3 + r^3\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি, বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী \(p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr = (p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-qr-rp)\)।যেহেতু \(p+q+r = 0\), তাই ডানপক্ষ 0 হয়ে যায়।
অর্থাৎ, \(p^3 + q^3 + r^3 - 3pqr = 0 \Rightarrow p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr\)।
১৯। \(\frac{p^2}{qr} + \frac{q^2}{rp} + \frac{r^2}{pq}\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{p^2}{qr} + \frac{q^2}{rp} + \frac{r^2}{pq}\)লসাগু \(pqr\) নিলে, রাশিটি দাঁড়ায় \(= \frac{p \cdot p^2 + q \cdot q^2 + r \cdot r^2}{pqr} = \frac{p^3 + q^3 + r^3}{pqr}\)।
১৮ নং প্রশ্ন হতে আমরা পাই, \(p^3 + q^3 + r^3 = 3pqr\)।
মান বসালে, \(\frac{3pqr}{pqr} = 3\)।
চিত্রের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
চিত্রে, \(\angle BAD = 85^\circ, \angle ABC = 110^\circ\) এবং \(CD = DE\).
চিত্রে, \(\angle BAD = 85^\circ, \angle ABC = 110^\circ\) এবং \(CD = DE\).
২০। \(\angle BCD\) এর মান কত?
সমাধান:
\(ABCD\) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি \(180^\circ\) হয়।অর্থাৎ, \(\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ\)
\(\Rightarrow 85^\circ + \angle BCD = 180^\circ \Rightarrow \angle BCD = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ\)।
২১। \(\angle ECD\) এর মান কত?
সমাধান:
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ \(ABCD\) এর ক্ষেত্রে, \(\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle ADC + 110^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle ADC = 70^\circ\)।\(\triangle CDE\) এর বহিঃস্থ কোণ \(\angle ADC = \angle DCE + \angle DEC\)।
যেহেতু \(CD = DE\), তাই এদের বিপরীত কোণগুলোও সমান, অর্থাৎ \(\angle DCE = \angle DEC\)। (বি.দ্র. চিত্রে \(\angle ECD\) এবং \(\angle DCE\) একই কোণ)।
সুতরাং, \(\angle DCE + \angle DCE = 70^\circ \Rightarrow 2\angle DCE = 70^\circ \Rightarrow \angle DCE = 35^\circ\)।
২২। \(P(x) = x^3 + ax^2 - 6x\) হলে \(a\) এর কোন মানের জন্য \(P(-2) = 0\) হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(P(-2) = 0\)।\(\Rightarrow (-2)^3 + a(-2)^2 - 6(-2) = 0\)
\(\Rightarrow -8 + 4a + 12 = 0 \Rightarrow 4a + 4 = 0\)
\(\Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1\)।
২৩। \((3x+y, 0) = (7, y-1)\) হলে \(x\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
ক্রোমজোড়ের শর্তানুসারে, দ্বিতীয় পদগুলো সমান: \(0 = y - 1 \Rightarrow y = 1\)।এবং প্রথম পদগুলো সমান: \(3x + y = 7\)।
এখানে \(y = 1\) বসালে, \(3x + 1 = 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\)।
২৪। 10 সে.মি. এবং 6 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত সে.মি. হবে?
সমাধান:
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r_1 = \frac{10}{2} = 5\) সে.মি.।দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \(r_2 = \frac{6}{2} = 3\) সে.মি.।
দুটি বৃত্ত অন্তস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব তাদের ব্যাসার্ধের অন্তরের (বিয়োগফল) সমান হয়।
দূরত্ব \(= r_1 - r_2 = 5 - 3 = 2\) সে.মি.।
২৫। নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
সেট গঠন পদ্ধতিতে ছেদ সেটের (Intersection) সংজ্ঞা হলো: \(A \cap B = \{x : x \in A \text{ এবং } x \in B\}\)।(সংযোজক সেটের বা \(A \cup B\) এর ক্ষেত্রে 'এবং' এর জায়গায় 'অথবা' বসে)। তাই খ নং সঠিক।
২৬। চিত্রে, \(\angle APB + \angle AQB =\) কত?
সমাধান:
চিত্রে একই চাপ \(AB\) এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle AOB = 90^\circ\)।আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
তাই, \(\angle APB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\) এবং \(\angle AQB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\)।
অতএব, \(\angle APB + \angle AQB = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ\)।
২৭। যদি \(f(x)\) এর মাত্রা ধনাত্মক হয়, তবে \(f(x)\) কে \((2x+3)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কোনটি?
সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, \(f(x)\) কে \((ax+b)\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় \(f(-\frac{b}{a})\)।ভাজক \(2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাগশেষ হবে \(f\left(-\frac{3}{2}\right)\)।
২৮। চিত্রটি লক্ষ কর :
২৮। \(P \setminus Q =\) কত?
সমাধান:
\(P \setminus Q\) বলতে \(P\) সেটের সেই সকল উপাদানকে বোঝায় যেগুলো \(Q\) সেটের অন্তর্ভুক্ত নয় (অর্থাৎ শুধু \(P\) এর নিজস্ব অংশ)।ভেনচিত্রে দেখা যায়, শুধু \(P\) বৃত্তের ভেতরে আছে \(1\) এবং \(4\)। (\(2\) এবং \(5\) উভয় বৃত্তের মাঝে বা ছেদক অংশে)।
সুতরাং, \(P \setminus Q = \{1, 4\}\)।
২৯। একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(\pi\) বর্গ একক, বৃত্তটির পরিধি কত একক?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(= r\)।বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(= \pi r^2\)। শর্তমতে, \(\pi r^2 = \pi \Rightarrow r^2 = 1 \Rightarrow r = 1\)।
বৃত্তের পরিধি \(= 2\pi r = 2\pi(1) = 2\pi\) একক।
৩০। কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ কোনটি?
সমাধান:
জ্যামিতির উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তের উপচাপে (Minor arc) অন্তর্লিখিত কোণ সর্বদা স্থূলকোণ (Obtuse angle) অর্থাৎ \(90^\circ\) অপেক্ষা বড় হয়।অপশনগুলোর মধ্যে একমাত্র \(150^\circ\) হলো স্থূলকোণ। (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ \(90^\circ\) এবং অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ)।
 ){kind=link}
0 Comments