x + 1/x = 1 হলে (x - 1/x)^2 = কত?

সঠিক উত্তর: -3. ব্যাখ্যা: (x - 1/x)^2 = (x + 1/x)^2 - 4.x.1/x = 1^2 - 4 = -3

m^2 - 2m + 1 = 0 হলে m + 1/m = কত?

সঠিক উত্তর: 2. ব্যাখ্যা: m^2 - 2m + 1 = 0 বা, (m-1)^2 = 0 বা, m = 1. সুতরাং, 1 + 1/1 = 2

এসএসসি সাধারন গণিত _ অধ্যায়ঃ ৩.১ _ বহু নির্বাচনী প্রশ্ন ও উত্তর

বীজগাণিতিক রাশি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন ও সমাধান | জাহিদুল সাদ ক্লাসরুম

১। \( a+b=4 \), \( a^2+b^2=10 \) হলে \( ab = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \)
বা, \( 4^2 = 10 + 2ab \)
বা, \( 16 = 10 + 2ab \)
বা, \( 2ab = 16 - 10 = 6 \)
∴ \( ab = 3 \)

২। \( a^2+2ab+b^2 = \sqrt[3]{125} \) হলে \( a+b = \) কত?

(ক) 5
(খ) \( \sqrt{5} \)
(গ) \( \sqrt[3]{5} \)
(ঘ) \( (\sqrt{5})^{\frac{1}{3}} \)

ব্যাখ্যা: \( a^2+2ab+b^2 = \sqrt[3]{125} \)
বা, \( (a+b)^2 = (5^3)^{\frac{1}{3}} \)
বা, \( (a+b)^2 = 5 \)
∴ \( a+b = \sqrt{5} \)

৩। \( a+b=3 \), \( ab=0 \) হলে \( a^2+b^2 = \) কত?

(ক) 3
(খ) 6
(গ) 9
(ঘ) 12

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = a^2+b^2 \)
\( = (a+b)^2 - 2ab \)
\( = 3^2 - 2(0) \)
\( = 9 - 0 = 9 \)

৪। \( a^2+b^2=4 \), \( ab=2 \) হলে \( a+b = \) কত?

(ক) \( 2\sqrt{2} \)
(খ) \( 3\sqrt{2} \)
(গ) \( 4\sqrt{2} \)
(ঘ) \( 5\sqrt{2} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \)
\( = 4 + 2(2) = 4 + 4 = 8 \)
∴ \( a+b = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)

৫। \( a^2-b^2=6 \) এবং \( a+b=3 \) হলে \( a-b = \) কত?

(ক) 4
(খ) 3
(গ) 2
(ঘ) 1

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, \( a^2-b^2=6 \)
বা, \( (a+b)(a-b) = 6 \)
বা, \( 3(a-b) = 6 \)
∴ \( a-b = 2 \)

৬। \( a^2-b^2=10\sqrt{2} \) এবং \( a-b=4\sqrt{2} \) হলে \( a+b = \) কত?

(ক) \( \frac{5}{2} \)
(খ) \( \frac{2}{5} \)
(গ) \( \frac{2}{3} \)
(ঘ) \( \frac{3}{2} \)

ব্যাখ্যা: \( a^2-b^2 = 10\sqrt{2} \)
বা, \( (a+b)(a-b) = 10\sqrt{2} \)
বা, \( (a+b) \times 4\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)
∴ \( a+b = \frac{10\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

৭। \( x=2 \), \( y=3 \) হলে \( x^2-6xy+9y^2 = \) কত?

(ক) 25
(খ) 36
(গ) 49
(ঘ) 64

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3y + (3y)^2 \)
\( = (x-3y)^2 \)
মান বসিয়ে পাই, \( (2 - 3 \times 3)^2 = (2 - 9)^2 = (-7)^2 = 49 \)

৮। \( p=4 \), \( q=3 \) হলে \( p^2+pq+q^2 = \) কত?

(ক) 35
(খ) 37
(গ) 39
(ঘ) 41

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশিতে সরাসরি মান বসিয়ে পাই,
\( = 4^2 + (4 \times 3) + 3^2 \)
\( = 16 + 12 + 9 = 37 \)

৯। \( a-b=5 \), \( ab=\frac{1}{2} \) হলে \( a^2+b^2 = \) কত?

(ক) 26
(খ) 27
(গ) 28
(ঘ) 29

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = a^2+b^2 \)
\( = (a-b)^2 + 2ab \)
\( = 5^2 + 2(\frac{1}{2}) \)
\( = 25 + 1 = 26 \)

১০। \( a+b=\sqrt{5} \), \( a-b=\sqrt{2} \) হলে \( ab = \) কত?

(ক) 1
(খ) \( \frac{3}{4} \)
(গ) \( \frac{1}{4} \)
(ঘ) \( \frac{1}{8} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} \)
\( = \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}{4} \)
\( = \frac{5 - 2}{4} = \frac{3}{4} \)

১১। \( a+b=\sqrt{6} \), \( ab=1 \) হলে \( a-b = \) কত?

(ক) \( \sqrt{2} \)
(খ) \( \sqrt{3} \)
(গ) \( \sqrt{5} \)
(ঘ) \( \sqrt{7} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \)
\( = (\sqrt{6})^2 - 4(1) \)
\( = 6 - 4 = 2 \)
∴ \( a-b = \sqrt{2} \)

১২। \( 4ab=2 \), \( a+b=\sqrt{8} \) হলে \( a-b = \) কত?

(ক) \( \sqrt{10} \)
(খ) \( \sqrt{8} \)
(গ) \( \sqrt{6} \)
(ঘ) \( \sqrt{2} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab \)
\( = (\sqrt{8})^2 - 2 \)
\( = 8 - 2 = 6 \)
∴ \( a-b = \sqrt{6} \)

১৩। \( 4ab=4 \) এবং \( a-b=\sqrt{3} \) হলে \( a+b = \) কত?

(ক) 1
(খ) \( \sqrt{2} \)
(গ) \( \sqrt{5} \)
(ঘ) \( \sqrt{7} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab \)
\( = (\sqrt{3})^2 + 4 \)
\( = 3 + 4 = 7 \)
∴ \( a+b = \sqrt{7} \)

১৪। \( a=4, b=3 \) হলে \( 16a^2 - 24ab + 9b^2 = \) কত?

(ক) 49
(খ) 36
(গ) 25
(ঘ) 16

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (4a)^2 - 2 \cdot (4a) \cdot (3b) + (3b)^2 \)
\( = (4a - 3b)^2 \)
মান বসিয়ে পাই, \( (4 \times 4 - 3 \times 3)^2 \)
\( = (16 - 9)^2 = 7^2 = 49 \)

১৫। \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \) হলে \( x + \frac{1}{x} = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \)
উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই, \( (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 0^2 \)
বা, \( (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 0 \)
বা, \( x - 2 + \frac{1}{x} = 0 \)
∴ \( x + \frac{1}{x} = 2 \)

১৬। \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \) হলে \( x - \frac{1}{x} = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: দেওয়া আছে, \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 2 \)
বর্গ করে পাই, \( (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 4 \Rightarrow x + \frac{1}{x} + 2 = 4 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = 2 \)
আবার, \( (x - \frac{1}{x})^2 = (x + \frac{1}{x})^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2^2 - 4 = 0 \)
∴ \( x - \frac{1}{x} = 0 \)

১৭। \( x - \frac{1}{x} = 0 \) হলে \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: \( x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{x} \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \) (ধনাত্মক মান ধরে)।
প্রদত্ত রাশি = \( \sqrt{1} - \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 - 1 = 0 \)

১৮। \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \) হলে \( x + \frac{1}{x} = \) কত?

(ক) 0
(খ) 2
(গ) 4
(ঘ) 6

ব্যাখ্যা: \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \)
বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2 \)
বা, \( (x + \frac{1}{x})^2 = 2 + 2 = 4 \)
∴ \( x + \frac{1}{x} = 2 \)

১৯। \( a^4 - a^2 + 1 = 0 \) হলে \( a^2 + \frac{1}{a^2} = \) কত?

(ক) 4
(খ) 3
(গ) 2
(ঘ) 1

ব্যাখ্যা: \( a^4 - a^2 + 1 = 0 \)
উভয়পক্ষকে \( a^2 \) দ্বারা ভাগ করে পাই,
\( a^2 - 1 + \frac{1}{a^2} = 0 \)
∴ \( a^2 + \frac{1}{a^2} = 1 \)

২০। \( a + \frac{1}{a} = 1 \) হলে \( a^2 + \frac{1}{a^2} = \) কত?

(ক) -1
(খ) 0
(গ) 1
(ঘ) 2

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \)
\( = (1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \)

২১। \( x = \sqrt{2} + 1 \) হলে \( x + \frac{1}{x} = \) কত?

(ক) 2
(খ) \( 2\sqrt{2} \)
(গ) \( 3\sqrt{2} \)
(ঘ) \( 4\sqrt{2} \)

ব্যাখ্যা: \( x = \sqrt{2} + 1 \) হলে \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} - 1 \)
∴ \( x + \frac{1}{x} = (\sqrt{2} + 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} \)

২২। \( a + b = 20, a - b = 4 \) হলে \( 2(a^2 + b^2) = \) কত?

(ক) 380
(খ) 382
(গ) 416
(ঘ) 386

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( 2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2 \)
\( = (20)^2 + (4)^2 = 400 + 16 = 416 \)

২৩। \( a + b = \sqrt{3}, a - b = \sqrt{2} \) হলে \( 4ab = \) কত?

(ক) 1
(খ) 3
(গ) 5
(ঘ) 7

ব্যাখ্যা: সূত্রানুসারে, \( 4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2 \)
\( = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 \)

২৪। \( m + \frac{1}{m} = 0 \) হলে \( (\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m}}) = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) \( \sqrt{2} \)
(ঘ) \( \sqrt{3} \)

ব্যাখ্যা: \( (\sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m}})^2 = (\sqrt{m})^2 + 2 \cdot \sqrt{m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} + (\frac{1}{\sqrt{m}})^2 \)
\( = m + 2 + \frac{1}{m} = (m + \frac{1}{m}) + 2 = 0 + 2 = 2 \)
∴ \( \sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m}} = \sqrt{2} \)

২৫। \( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 4 \) হলে \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \) কত?

(ক) \( \sqrt{16} \)
(খ) \( \sqrt{14} \)
(গ) \( \sqrt{12} \)
(ঘ) \( \sqrt{10} \)

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \)
\( (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 - 4 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \)
\( = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12 \)
∴ \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{12} \)

২৬। \( a + \frac{1}{a} = 3 \) হলে \( a^2 + \frac{1}{a^2} = \) কত?

(ক) 11
(খ) 9
(গ) 7
(ঘ) 5

ব্যাখ্যা: এখানে, \( a^2 + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \)
\( = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \)

২৭। \( a = 1, b = -1 \) হলে \( 25a^2 + 70ab + 49b^2 = \) কত?

(ক) 0
(খ) 2
(গ) 4
(ঘ) 6

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot 7b + (7b)^2 = (5a + 7b)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (5(1) + 7(-1))^2 = (5 - 7)^2 = (-2)^2 = 4 \)

২৮। \( x = 2, y = 1 \) হলে \( 49x^2 - 126xy + 81y^2 = \) কত?

(ক) 20
(খ) 25
(গ) 30
(ঘ) 35

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 9y + (9y)^2 = (7x - 9y)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (7(2) - 9(1))^2 = (14 - 9)^2 = 5^2 = 25 \)

২৯। \( x = 3 \) হলে \( x^4 - 6x^2 + 9 = \) কত?

(ক) 0
(খ) 9
(গ) 18
(ঘ) 36

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 - 3)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (3^2 - 3)^2 = (9 - 3)^2 = 6^2 = 36 \)

৩০। \( x = 0, y = 1 \) হলে \( x^6 + 2x^4y + x^2y^2 = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: যেহেতু প্রতিটি পদে \( x \) গুণ আকারে আছে এবং \( x = 0 \), তাই সম্পূর্ণ রাশিটির মান 0 হবে।

৩১। \( a = 2, b = 1 \) হলে \( 121a^2 - 264ab + 144b^2 = \) কত?

(ক) 49
(খ) 64
(গ) 81
(ঘ) 100

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (11a)^2 - 2 \cdot 11a \cdot 12b + (12b)^2 = (11a - 12b)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (11 \times 2 - 12 \times 1)^2 = (22 - 12)^2 = 10^2 = 100 \)

৩২। \( (a + b)^2 - 2(a + b)(b - a) + (b - a)^2 = \) কত?

(ক) \( 2a^2 \)
(খ) \( 4a^2 \)
(গ) \( 2b^2 \)
(ঘ) \( 4b^2 \)

ব্যাখ্যা: ধরি, \( (a+b) = x \) এবং \( (b-a) = y \)
প্রদত্ত রাশি \( = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \)
মান বসিয়ে, \( ((a+b) - (b-a))^2 = (a+b-b+a)^2 = (2a)^2 = 4a^2 \)

৩৩। \( x + \frac{1}{x} = 2 \) হলে \( x = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: \( x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 + 1 = 2x \)
বা, \( x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

৩৪। \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1 \) হলে \( \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = \) কত?

(ক) -1
(খ) 0
(গ) 1
(ঘ) 2

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} \)
\( = 1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \)

৩৫। \( \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} = 2 \) হলে \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \) কত?

(ক) 0
(খ) 2
(গ) 4
(ঘ) 6

ব্যাখ্যা: \( (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})^2 = (\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}) + 2 = 2 + 2 = 4 \)
∴ \( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2 \) (ধনাত্মক মান ধরে)

৩৬। \( (x + y)^2 - 2(x + y)(x - y) + (x - y)^2 = \) কত?

(ক) \( 2x^2 \)
(খ) \( 2y^2 \)
(গ) \( 4x^2 \)
(ঘ) \( 4y^2 \)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = ((x + y) - (x - y))^2 = (x + y - x + y)^2 = (2y)^2 = 4y^2 \)

৩৭। \( (a + b)^2 + 2(a + b)(a - b) + (a - b)^2 = \) কত?

(ক) \( 2a^2 \)
(খ) \( 2b^2 \)
(গ) \( 4a^2 \)
(ঘ) \( 4b^2 \)

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = ((a + b) + (a - b))^2 = (a + b + a - b)^2 = (2a)^2 = 4a^2 \)

৩৮। \( a = \frac{1}{6}, b = -3 \) হলে \( 36a^2 - 12ab + b^2 = \) কত?

(ক) 4
(খ) 8
(গ) 12
(ঘ) 16

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot b + b^2 = (6a - b)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (6(\frac{1}{6}) - (-3))^2 = (1 + 3)^2 = 4^2 = 16 \)

৩৯। \( x = 2, y = -3 \) হলে \( 4x^2 + 4xy + y^2 = \) কত?

(ক) 1
(খ) 2
(গ) 3
(ঘ) 4

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = (2x + y)^2 \)
মান বসিয়ে, \( (2(2) + (-3))^2 = (4 - 3)^2 = 1^2 = 1 \)

৪০। \( p \) এর মান কত হলে \( 4x^2 - pxy + 25y^2 \) একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

(ক) 5
(খ) 10
(গ) 15
(ঘ) 20

ব্যাখ্যা: রাশিটিকে পূর্ণ বর্গ হতে হলে, \( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5y + (5y)^2 \) ফর্মে থাকতে হবে।
এখানে মধ্যপদ \( 2 \cdot 2x \cdot 5y = 20xy \)। সুতরাং \( pxy = 20xy \Rightarrow p = 20 \)।

৪১। \( m \) এর মান কত হলে \( x^2 + x - m \) একটি পূর্ণ বর্গ রাশি হবে?

(ক) -1
(খ) 0
(গ) \( \frac{1}{4} \)
(ঘ) \( -\frac{1}{4} \)

ব্যাখ্যা: রাশিটিকে পূর্ণ বর্গ আকারে সাজাই: \( x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 \)
\( = x^2 + x + \frac{1}{4} \)
অতএব, \( -m = \frac{1}{4} \Rightarrow m = -\frac{1}{4} \)

৪২। \( a + b = \sqrt{9}, a - b = \sqrt{5} \) হয় তবে \( 2(a^2 + b^2) = \) কত?

(ক) 14
(খ) 10
(গ) 4
(ঘ) 0

ব্যাখ্যা: সূত্র, \( 2(a^2 + b^2) = (a + b)^2 + (a - b)^2 \)
\( = (\sqrt{9})^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14 \)

৪৩। \( 5x + \frac{1}{x} = 6 \) হলে \( 25x^2 + \frac{1}{x^2} = \) কত?

(ক) 34
(খ) 30
(গ) 26
(ঘ) 22

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (5x)^2 + (\frac{1}{x})^2 = (5x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot 5x \cdot \frac{1}{x} \)
\( = 6^2 - 10 = 36 - 10 = 26 \)

৪৪। \( a^2 + b^2 = 5, a^2b^2 = 3 \) হলে \( a^4 + b^4 = \) কত?

(ক) 15
(খ) 17
(গ) 19
(ঘ) 21

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (a^2)^2 + (b^2)^2 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 \)
মান বসিয়ে, \( (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19 \)

৪৫। \( x + y = 3, x - y = 1 \) হলে \( xy = \) কত?

(ক) 0
(খ) 2
(গ) 4
(ঘ) 6

ব্যাখ্যা: \( xy = \frac{(x + y)^2 - (x - y)^2}{4} \)
\( = \frac{3^2 - 1^2}{4} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

৪৬। \( x = -1, y = -2 \) হলে \( x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = \) কত?

(ক) 25
(খ) 36
(গ) 49
(ঘ) 84

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = (x^2 + y^2)^2 \)
মান বসিয়ে, \( ((-1)^2 + (-2)^2)^2 = (1 + 4)^2 = 5^2 = 25 \)

৪৭। \( x^2 + y^2 + z^2 = 64 \) এবং \( (xy + yz + zx) = 18 \) হলে \( x + y + z = \) কত?

(ক) 5
(খ) 10
(গ) 15
(ঘ) 20

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \)
\( = 64 + 2(18) = 64 + 36 = 100 \)
∴ \( x + y + z = \sqrt{100} = 10 \) (ধনাত্মক মান ধরে)

৪৮। \( b - a = 4, ab = -2 \) হলে \( a^2 + b^2 = \) কত?

(ক) 4
(খ) 8
(গ) 12
(ঘ) 16

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত রাশি \( = a^2 + b^2 = (b - a)^2 + 2ab \)
\( = 4^2 + 2(-2) = 16 - 4 = 12 \)

৪৯। \( 2x + \frac{2}{x} = 3 \) হলে \( 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) = \) কত?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: \( 2x + \frac{2}{x} = 3 \Rightarrow 2(x + \frac{1}{x}) = 3 \)
বর্গ করে, \( 4(x + \frac{1}{x})^2 = 9 \Rightarrow 4(x^2 + \frac{1}{x^2} + 2) = 9 \)
বা, \( 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 8 = 9 \Rightarrow 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 9 - 8 = 1 \)

৫০। \( (a - b)^2 \) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল \( (a + b)^2 \) হবে?

(ক) ab
(খ) 2ab
(গ) 3ab
(ঘ) 4ab

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab \)। সুতরাং 4ab যোগ করতে হবে।

৫১। \( (a + b)^2 \) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল \( (a - b)^2 \) হবে?

(ক) -4ab
(খ) 4ab
(গ) -6ab
(ঘ) 6ab

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, \( (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab \)। সুতরাং -4ab যোগ করতে হবে।

৫২। \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 3

ব্যাখ্যা: \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) এর সাথে 2 যোগ করলে রাশিটি হয় \( a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = (a + \frac{1}{a})^2 \), যা একটি পূর্ণ বর্গ।

৫৩। \( x + \frac{1}{x} = 1 \) হলে-

i) \( (x - \frac{1}{x})^2 = -3 \)
ii) \( x^2 - 2x + 1 = 0 \)
iii) \( x^2 + \frac{1}{x^2} = -1 \)