এসএসসি সাধারন গণিত - অধ্যায়ঃ ৮ (২০২৬ সালের বোর্ড প্রশ্ন সমাধান ) // SSC General Math - Chapter: 8 (2026 board question Solution )

 

প্রশ্ন ১: ঢাকা বোর্ড ২০২৬

একটি ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন দুইটি কোণ $50^\circ$ ও $60^\circ$ এবং পরিসীমা $p = 12$ সে.মি.।

ক. 5 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিত্র আবশ্যক] (২)

খ. ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. $\frac{p}{3}$ এর সমান ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের দুইটি স্পর্শক আঁকো যেন তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $30^\circ$ হয়। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

১নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, ABCD বর্গের বাহু $AB = BC = CD = AD = a = 5$ সে.মি.
ABCD বর্গের অন্তর্বৃত্ত GHKL অঙ্কন করা হলো যার কেন্দ্র O।

খ. মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle x = 50^\circ$, $\angle y = 60^\circ$ এবং পরিসীমা $p = 12$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন: যেকোনো রশ্মি DF থেকে পরিসীমা p এর সমান করে DE অংশ কেটে নিই। D ও E বিন্দুতে DE রেখাংশের একই পাশে $\angle x$ এর সমান করে $\angle EDL$ এবং $\angle y$ এর সমান $\angle DEM$ আঁকি। কোণ দুইটির দ্বিখণ্ডক DG ও EH আঁকি। মনে করি, DG ও EH রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুতে $\angle ADE$ এর সমান $\angle DAB$ এবং $\angle AED$ এর সমান $\angle EAC$ আঁকি। AB এবং AC রশ্মিদ্বয় DE রেখাংশকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

গ. মনে করি, কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{p}{3} = \frac{12}{3} = 4$ সে. মি. দেওয়া আছে। বৃত্তটি অঙ্কন করে বৃত্তটিতে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $30^\circ$ হয়।

অঙ্কন:
১. যেকোনো বিন্দু O নিই। O কে কেন্দ্র করে r এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABD বৃত্ত অঙ্কন করি।
২. ABD বৃত্তে যেকোনো ব্যাসার্ধ OA = r নিই। OA এর O বিন্দুতে $\angle AOB = 150^\circ$ আঁকি। OB রেখাংশ বৃত্তটিকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. OA এর A বিন্দুতে AC এবং OB এর B বিন্দুতে BC লম্ব আঁকি। AC ও BC লম্বদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে মিলিত হয়।
তাহলে, AC ও BC-ই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয় যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ACB = 30^\circ$।

প্রশ্ন ২: ঢাকা বোর্ড ২০২৬

(i) O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ P বিন্দু হতে PQ ও PR দুইটি স্পর্শক। OP রেখাংশ QR কে M বিন্দুতে ছেদ করে।
(ii) DEFG চতুর্ভুজ-এ, $\angle DEF + \angle DGF = 180^\circ$।

ক. প্রমাণ করো যে, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ। (২)

খ. (i) হতে প্রমাণ করো যে, $QM = RM$ এবং $OM \perp QR$। (৪)

গ. (ii) হতে প্রমাণ করো যে, D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (৪)

২নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB একটি ব্যাস এবং $\angle ACB$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle ACB =$ এক সমকোণ।

অঙ্কন: AB এর যে পাশে C বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পাশে বৃত্তের উপর একটি বিন্দু D নিই।

প্রমাণ:
ধাপ-১: ADB চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle ACB = \frac{1}{2}$ (কেন্দ্রস্থ সরলকোণ $\angle AOB$)
[$\because$ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক]
ধাপ-২: কিন্তু সরলকোণ $\angle AOB =$ দুই সমকোণ।
$\therefore \angle ACB = \frac{1}{2}$ (দুই সমকোণ)
$\therefore \angle ACB =$ এক সমকোণ। (প্রমাণিত)

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P হতে PQ এবং PR দুইটি স্পর্শক। Q, R এবং O, P যোগ করি। OP রেখাংশ QR স্পর্শ জ্যাকে M বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, $QM = RM$ এবং $OM \perp QR$।

অঙ্কন: O, Q এবং O, R যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta OQP$ এবং $\Delta ORP$ এর মধ্যে
$OQ = OR$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$PQ = PR$ [বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর সমান]
এবং $OP = OP$ [সাধারণ বাহু]
$\therefore \Delta OQP \cong \Delta ORP$ [বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
$\therefore \angle QOP = \angle ROP$ অর্থাৎ $\angle QOM = \angle ROM$
ধাপ-২: $\Delta MOQ$ ও $\Delta MOR$-এ,
$OQ = OR$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OM = OM$ [সাধারণ বাহু]
এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle QOM =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle ROM$ [ধাপ (১) হতে]
$\therefore \Delta MOQ \cong \Delta MOR$ [বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা উপপাদ্য]
$\therefore MR = MQ$ এবং $\angle OMQ = \angle OMR$
কিন্তু এরা রৈখিক যুগল কোণ হওয়ায় প্রত্যেকেই সমকোণ।
$\because \angle OMQ = \angle OMR = 1$ সমকোণ $\therefore OM \perp QR$
অতএব, $QM = RM$ এবং $OM \perp QR$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, DEFG চতুর্ভুজে $\angle DEF + \angle DGF = 180^\circ$ প্রমাণ করতে হবে যে, D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

অঙ্কন: যেহেতু D, E, F বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি DG রেখাংশকে M বিন্দুতে ছেদ করে। F, M যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ ১: অঙ্কন অনুসারে DEFM বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
সুতরাং $\angle DEF + \angle DMF = 180^\circ$ [$\because$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা, $180^\circ$]
ধাপ ২: কিন্তু $\angle DEF + \angle DGF = 180^\circ$ [দেওয়া আছে]
$\therefore \angle DMF = \angle DGF$
কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ $\Delta FMG$ এর বহিঃস্থ $\angle DMF >$ বিপরীত অন্তঃস্থ $\angle DGF$
সুতরাং M এবং G বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না। M বিন্দু অবশ্যই G বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব D, E, F ও G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৩: রাজশাহী বোর্ড ২০২৬

ক. বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের $\angle A = 56^\circ$ এবং $\angle B = 115^\circ$ হলে, $\angle C$ ও $\angle D$ এর মান নির্ণয় করো। (২)

খ. চিত্র হতে প্রমাণ করো যে, $\angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, OR রেখা PQ জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (৪)

৩নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। ABCD চতুর্ভুজের $\angle A = 56^\circ$ এবং $\angle B = 115^\circ$

আমরা জানি, বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^\circ$।
অর্থাৎ, বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজে $\angle A + \angle C = 180^\circ$
বা, $56^\circ + \angle C = 180^\circ$ $\Rightarrow \angle C = 180^\circ - 56^\circ$
$\therefore \angle C = 124^\circ$
আবার, $\angle B + \angle D = 180^\circ$
বা, $115^\circ + \angle D = 180^\circ$ $\Rightarrow \angle D = 180^\circ - 115^\circ$
$\therefore \angle D = 65^\circ$
নির্ণেয় $\angle C = 124^\circ$ এবং $\angle D = 65^\circ$

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে উপচাপ QS এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle QPS$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle QOS$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$।

অঙ্কন: P বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ PD আঁকি।

প্রমাণ:
ধাপ ১: $\Delta POQ$ এর বহিঃস্থ কোণ $\angle QOD = \angle QPO + \angle PQO$
[$\because$ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ ২: $\Delta POQ$ এ $OP = OQ$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
অতএব, $\angle QPO = \angle PQO$ [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ ৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে $\angle QOD = 2\angle QPO$
ধাপ ৪: একইভাবে $\Delta POS$ থেকে $\angle SOD = 2\angle SPO$
ধাপ ৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে $\angle QOD + \angle SOD = 2\angle QPO + 2\angle SPO$
বা, $\angle QOS = 2\angle QPS$ [$\because \angle QOD + \angle SOD = \angle QOS$]
$\therefore \angle QPS = \frac{1}{2}\angle QOS$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ R বিন্দু হতে PR ও QR দুইটি স্পর্শক। PQ হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। OR রেখাংশ স্পর্শ জ্যা PQ কে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OR রেখাংশ PQ জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: O, P যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta OPR$ এবং $\Delta OQR$ এর মধ্যে
$OP = OQ$ [$\because$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $RP = RQ$ [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং $OR = OR$ [সাধারণ বাহু]
$\therefore \Delta OPR \cong \Delta OQR$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore \angle POR = \angle QOR$ অর্থাৎ, $\angle POT = \angle QOT$
ধাপ-২: এখন, $\Delta OPT$ ও $\Delta OQT$-এ,
$OP = OQ$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OT = OT$ [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle POT =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle QOT$
$\therefore \Delta OPT \cong \Delta OQT$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore PT = QT$ এবং $\angle PTO = \angle QTO$
ধাপ-৩: এখন, $\angle PTQ = 2$ সমকোণ [সরলকোণ বলে]
বা, $\angle PTO + \angle QTO = 2$ সমকোণ $\Rightarrow 2\angle PTO = 2$ সমকোণ
$\therefore \angle PTO = 1$ সমকোণ $\Rightarrow \angle QTO = \angle PTO = 1$ সমকোণ
$\therefore OT \perp PQ$ অর্থাৎ, $OR \perp PQ$
আবার, $PT = QT$
$\therefore OR, PQ$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, OR রেখাংশ PQ জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৪: যশোর বোর্ড ২০২৬

একটি ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle m = 45^\circ$ ও $\angle n = 55^\circ$ এবং পরিসীমা $p = 12$ সে.মি.।

ক. $\frac{p}{4}$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক] (২)

খ. ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. $\frac{p}{3}$ বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

৪নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ $OA = r = \frac{p}{4} = \frac{12}{4}$ সে.মি. = 3 সে.মি.। বৃত্তটির A বিন্দুতে AP স্পর্শক আঁকা হলো।

খ. মনে করি, কোনো ত্রিভুজের পরিসীমা $p = 12$ সে.মি. এবং ভূমিসংলগ্ন দুইটি কোণ $\angle m = 45^\circ$ ও $\angle n = 55^\circ$ দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
(১) যেকোনো রশ্মি DF থেকে পরিসীমা p এর সমান করে DE অংশ কেটে নিই।
(২) D ও E বিন্দুতে DE রেখাংশের একই পাশে $\angle m$ এর সমান করে $\angle EDL$ এবং $\angle n$ এর সমান $\angle DEM$ আঁকি।
(৩) কোণ দুইটির দ্বিখণ্ডক DG ও EH আঁকি। মনে করি, DG ও EH রশ্মিদ্বয় পরস্পরকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(৪) A বিন্দুতে $\angle ADE$ এর সমান $\angle DAB$ এবং $\angle AED$ এর সমান $\angle EAC$ আঁকি। AB এবং AC রশ্মিদ্বয় DE রেখাংশকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

গ. মনে করি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য $a = \frac{p}{3} = \frac{12}{3}$ সে.মি. = 4 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. যেকোনো রশ্মি BM থেকে $BC = a$ নিই।
২. B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. A, B ও A, C যোগ করি। ফলে $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ যার পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।
৪. AB ও AC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে EF ও GH আঁকি। এরা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. A, O যোগ করি। O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি A, B ও C বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\Delta ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত।

প্রশ্ন ৫: যশোর বোর্ড ২০২৬

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KLMN একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ এবং বৃত্তটির বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শক AK ও AM।

ক. প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (২)

খ. প্রমাণ করো যে, $\angle LKN + \angle LMN = 180^\circ$। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, OA রেখাংশ স্পর্শ জ্যা KM এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (৪)

৫নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। অর্থাৎ, $AB > CD$।

অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি।

প্রমাণ:
$OA = OB = OC = OD$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এখন, $\Delta OCD$-এ, $OC + OD > CD$ [$\because$ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা, $OA + OB > CD$ [$\because OA = OB = OC = OD$]
$\therefore AB > CD$
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KLMN চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত হয়েছে। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle LKN + \angle LMN = 180^\circ$।

অঙ্কন: O, L ও O, N যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ ১. একই চাপ LKN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle LON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle LMN$
$\therefore$ কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle LON = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle LMN)$ [একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ $\angle LON = 2\angle LMN$
ধাপ ২. আবার, একই চাপ LMN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle LON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle LKN$।
$\therefore$ কেন্দ্রস্থ $\angle LON = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle LKN)$
অর্থাৎ $\angle LON = 2\angle LKN$
$\therefore$ প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle LON + \angle LON = 2(\angle LMN + \angle LKN)$
কিন্তু প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle LON + \angle LON = 360^\circ$
$\therefore 2(\angle LMN + \angle LKN) = 360^\circ$
বা, $\angle LMN + \angle LKN = \frac{360^\circ}{2}$
$\therefore \angle LKN + \angle LMN = 180^\circ$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে বৃত্তে AK ও AE দুইটি স্পর্শক। K, E এবং O, A যোগ করি। KM হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। AO রেখাংশ KM জ্যাকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OA রেখাংশ KM স্পর্শ জ্যা-এর লম্বদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta OKA$ এবং $\Delta OMA$ এর মধ্যে
$OK = OM$ [$\because$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $AK = AM$ [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং $OA = OA$ [সাধারণ বাহু]
$\therefore \Delta OKA \cong \Delta OMA$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore \angle KOA = \angle MOA$ অর্থাৎ, $\angle KOT = \angle MOT$
ধাপ-২: এখন, $\Delta OKT$ ও $\Delta OMT$-এ,
$OK = OM$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OT = OT$ [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle KOT =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle MOT$
$\therefore \Delta OKT \cong \Delta OMT$
$\therefore KT = MT$ এবং $\angle KTO = \angle MTO$
ধাপ-৩: এখন, $\angle KTM = 2$ সমকোণ [সরলকোণ বলে]
বা, $\angle KTO + \angle MTO = 2$ সমকোণ $\Rightarrow 2\angle KTO = 2$ সমকোণ
$\therefore \angle KTO = 1$ সমকোণ $\Rightarrow \angle MTO = \angle KTO = 1$ সমকোণ
$\therefore OT \perp KM$ অর্থাৎ, $OA \perp KM$
আবার, $KT = MT$
$\therefore OA, KM$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, OA রেখাংশ স্পর্শ জ্যা KM এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৬: কুমিল্লা বোর্ড ২০২৬

PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ।

ক. এমন একটি বৃত্ত আঁকো যার পরিধি 22 সে.মি.। (২)

খ. দেখাও যে, P, Q, R এবং S শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (৪)

গ. যদি PR রেখা $\angle QRS$ এর সমদ্বিখণ্ডক হয় তবে প্রমাণ করো যে, $RS = QR$। (৪)

৬নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, বৃত্তের পরিধি 22 সে.মি.
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{22}{2\pi}$ সে.মি. $= \frac{11}{\pi}$ সে.মি. $= \frac{11}{3.1416}$ সে.মি. $= 3.5$ সে.মি. (প্রায়)
O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্ত আঁকা হলো যার ব্যাসার্ধ, $r = OA = 3.5$ সে.মি. (প্রায়) এবং পরিধি 22 সে.মি.।

খ. মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ। অর্থাৎ $\angle PQR + \angle PSR =$ দুই সমকোণ এবং $\angle QPS + \angle QRS =$ দুই সমকোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, P, Q, R ও S বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।

অঙ্কন: যেহেতু P, Q, R বিন্দু তিনটি সমরেখ নয়। সুতরাং, বিন্দু তিনটি দিয়ে যায় এরূপ একটি ও কেবল একটি বৃত্ত আছে। মনে করি, বৃত্তটি PS রেখাংশকে M বিন্দুতে ছেদ করে। R, M যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ ১: অঙ্কন অনুসারে PQRM বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
সুতরাং $\angle PQR + \angle PMR =$ দুই সমকোণ [$\because$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ]
ধাপ ২: কিন্তু $\angle PQR + \angle PSR =$ দুই সমকোণ [দেওয়া আছে]
$\therefore \angle PMR = \angle PSR$
কিন্তু তা অসম্ভব। কারণ $\Delta RMS$ এর বহিঃস্থ $\angle PMR >$ বিপরীত অন্তঃস্থ $\angle PSR$
সুতরাং M এবং S বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না। M বিন্দু অবশ্যই S বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব P, Q, R ও S বিন্দু চারটি সমবৃত্ত। (প্রমাণিত)

গ. বি.দ্র: প্রশ্নটি অসংগতিপূর্ণ। $\angle QRS$ এর পরিবর্তে $\angle QPS$ ধরে সমাধান করা হলো।
মনে করি, PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ অর্থাৎ PQRS একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ। PR রেখা, $\angle QPS$-এর সমদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করতে হবে যে, $RS = QR$।

প্রমাণ:
PR রেখা $\angle QPS$ এর সমদ্বিখণ্ডক হওয়ায় $\angle RPQ = \angle RPS$।
QR চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle RPQ$ এবং RS চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ $\angle RPS$ উভয়ই সমান হওয়ায় চাপ QR = চাপ RS
$\therefore QR = RS$ [চাপদ্বয় সমান হলে চাপের উপর অবস্থিত জ্যাগুলো পরস্পর সমান]
অতএব, $RS = QR$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৭: চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৬

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং $OS = OT$।

ক. প্রমাণ করো যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (২)

খ. প্রমাণ করো যে, $PQ = MN$। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, $\angle PRM = \frac{1}{2}\angle POM$। (৪)

৭নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABDC একটি বৃত্ত। AB ব্যাস এবং CD ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। অর্থাৎ, $AB > CD$।

অঙ্কন: O, C এবং O, D যোগ করি।

প্রমাণ:
$OA = OB = OC = OD$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এখন, $\Delta OCD$-এ, $OC + OD > CD$ [$\because$ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]
বা, $OA + OB > CD$ [$\because OA = OB = OC = OD$]
$\therefore AB > CD$
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQ ও MN দুইটি জ্যা। O থেকে PQ ও MN এর উপর যথাক্রমে OS ও OT লম্ব এবং $OS = OT$। প্রমাণ করতে হবে যে, $PQ = MN$।

প্রমাণ:
ধাপ ১. যেহেতু $OS \perp PQ$ এবং $OT \perp MN$।
সুতরাং, $\angle OSP = \angle OTM =$ এক সমকোণ [$\because$ প্রত্যেকে সমকোণ]
ধাপ ২. এখন, $\Delta OPS$ এবং $\Delta OMT$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে অতিভুজ OP = অতিভুজ OM [উভয়ে একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
এবং $OS = OT$ [কল্পনা]
$\therefore \Delta OPS \cong \Delta OMT$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু-সর্বসমতা উপপাদ্য]
$\therefore PS = MT$।
ধাপ ৩. $PS = \frac{1}{2} PQ$ এবং $MT = \frac{1}{2} MN$ [কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
ধাপ ৪. সুতরাং $\frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} MN$
$\therefore PQ = MN$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একই উপচাপ PM এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $\angle PRM$ এবং কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POM$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle PRM = \frac{1}{2}\angle POM$।

অঙ্কন: R বিন্দু দিয়ে কেন্দ্রগামী রেখাংশ RX আঁকি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta ROP$ এর বহিঃস্থ $\angle POX =$ অন্তঃস্থ বিপরীত ($\angle PRO + \angle RPO$)
[$\because$ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ-২: $\Delta ROP$-এ, $OR = OP$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\therefore \angle RPO = \angle PRO$ [$\because$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ-৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই, $\angle POX = 2\angle PRO$
ধাপ-৪: একইভাবে $\Delta ROM$ থেকে পাই, $\angle MOX = 2\angle MRO$
ধাপ-৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই,
$\angle POX + \angle MOX = 2\angle PRO + 2\angle MRO$ [যোগ করে]
বা, $\angle POM = 2(\angle PRO + \angle MRO)$ [$\because \angle POX + \angle MOX = \angle POM$]
বা, $\angle POM = 2\angle PRM$ [$\because \angle PRO + \angle MRO = \angle PRM$]
বা, $2\angle PRM = \angle POM$
$\therefore \angle PRM = \frac{1}{2}\angle POM$ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৮: সিলেট বোর্ড ২০২৬

কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a = 5.5$ সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2.5$ সে.মি.।

ক. কোনো বৃত্তের P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করো। (২)

খ. উদ্দীপকের আলোকে ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. a এর সমান বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো। (৪)

৮নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের P বিন্দুতে PM স্পর্শক আঁকা হলো।

খ. মনে করি, কোনো ত্রিভুজের ভূমি $a = 5.5$ সে.মি., ভূমিসংলগ্ন সূক্ষ্মকোণ $\angle x = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $d = 2.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. যেকোনো একটি রশ্মি BE থেকে ভূমি a এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই।
২. BC রেখাংশের B বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান $\angle CBF$ আঁকি।
৩. BF রশ্মি থেকে d এর সমান BD অংশ কাটি।
৪. C, D যোগ করি।
৫. DC রেখাংশের যে পাশে F বিন্দু আছে সেই পাশে C বিন্দুতে $\angle FDC$ এর সমান $\angle DCA$ আঁকি। CA রশ্মি BF রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

গ. মনে করি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের বাহু $a = 5.5$ সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. যেকোনো রশ্মি AG থেকে $AB = a$ নিই।
২. A ও B কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. A, C এবং B, C যোগ করি। তাহলে, $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ। যার অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে।
৪. $\angle CAB$ এবং $\angle CBA$ এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে AL এবং BM আঁকি। এরা পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. O হতে AB এর উপর OD লম্ব আঁকি যা AB কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
৬. O কে কেন্দ্র করে OD এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি যা ত্রিভুজটির বাহু তিনটিকে D, E ও F বিন্দুতে স্পর্শ করে।
তাহলে, DEF বৃত্তই ABC সমবাহু ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত।

প্রশ্ন ৯: সিলেট বোর্ড ২০২৬

O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN বৃত্তের উপচাপ MN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle MON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle MLN$ এবং M ও N বিন্দুতে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক পরস্পরকে বৃত্তের বাইরে A বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক. কোনো বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $(x + 25)^\circ$ ও $(2x - 15)^\circ$ হলে, x এর মান নির্ণয় করো। (২)

খ. প্রমাণ করো যে, $AM = AN$। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, $\angle MON = 2\angle MLN$। (৪)

৯নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. দেওয়া আছে, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ $(x + 25)^\circ$ ও $(2x - 15)^\circ$।
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
অর্থাৎ, $(x + 25)^\circ = (2x - 15)^\circ$
বা, $x + 25 = 2x - 15$
বা, $2x - 15 = x + 25$
বা, $2x - x = 25 + 15$
$\therefore x = 40$
নির্ণেয় মান : $x = 40$।

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN বৃত্তের M ও N বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AM ও AN পরস্পর বৃত্তের বাইরে A বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, $AM = AN$।

অঙ্কন: O, M ও O, N এবং O, A যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ ১: যেহেতু AM স্পর্শক, OM স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
সুতরাং, $AM \perp OM$ [$\because$ স্পর্শক, স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]
$\therefore \angle AMO =$ এক সমকোণ, অনুরূপভাবে, $\angle ANO =$ এক সমকোণ
অর্থাৎ, $\Delta AMO$ ও $\Delta ANO$ সমকোণী ত্রিভুজ।
ধাপ ২: $\Delta AMO$ ও $\Delta ANO$ সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে,
অতিভুজ AO = অতিভুজ AO [সাধারণ বাহু]
$OM = ON$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\therefore \Delta AMO \cong \Delta ANO$ [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]
$\therefore AM = AN$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN বৃত্তে উপচাপ MN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle MON$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle MLN$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle MON = 2\angle MLN$

অঙ্কন: L বিন্দু দিয়ে O কেন্দ্রগামী রেখাংশ LP আঁকি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta LOM$-এর বহিঃস্থ $\angle MOP = \angle MLO + \angle LMO$
[$\because$ ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
ধাপ-২: $\Delta LOM$-এ, $OL = OM$ [$\because$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
$\therefore \angle LMO = \angle MLO$ [$\because$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ দুইটি সমান]
ধাপ-৩: ধাপ (১) ও (২) থেকে পাই,
$\angle MOP = \angle MLO + \angle MLO \Rightarrow \angle MOP = 2\angle MLO$
ধাপ-৪: একইভাবে, $\Delta LON$ থেকে পাই, $\angle NOP = 2\angle NLO$
ধাপ-৫: ধাপ (৩) ও (৪) থেকে পাই,
$\angle MOP + \angle NOP = 2\angle MLO + 2\angle NLO$ [যোগ করে]
বা, $\angle MON = 2(\angle MLO + \angle NLO)$
$\therefore \angle MON = 2\angle MLN$। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১০: বরিশাল বোর্ড ২০২৬

একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে p = 6 সে.মি. এবং q = 4 সে.মি.।

ক. p ও q কে কর্ণ ধরে একটি রম্বস অঙ্কন করো। (২)

খ. ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. p কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকো যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $70^\circ$ হয়। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

১০নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. ABCD রম্বস আঁকা হলো যার কর্ণদ্বয় BD = p = 6 সে.মি. এবং AC = q = 4 সে.মি.।

[ক এর চিত্র এখানে বসাবেন]

খ. মনে করি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ p = 6 সে.মি. এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য q = 4 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
(১) যেকোনো রশ্মি BX থেকে $BC = q$ নিই। BC রেখাংশের B বিন্দুতে BY লম্ব আঁকি। C কেন্দ্র করে p এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপটি BY কে A বিন্দুতে ছেদ করে। A, C যোগ করি। ফলে $\Delta ABC$ পাওয়া যাবে যার পরিবৃত্ত অঙ্কন করতে হবে।
(২) AB ও AC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক EF ও GH আঁকি। এরা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
(৩) O কে কেন্দ্র করে OA বা OC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি A, B ও C বিন্দুগামী হবে এবং এই বৃত্তটিই $\Delta ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত।

[খ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

গ. মনে করি, বৃত্তের ব্যাস p = 6 সে. মি. দেওয়া আছে। বৃত্তটি অঙ্কন করে বৃত্তটিতে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $70^\circ$ হয়।

অঙ্কন:
১. যেকোনো বিন্দু O নিই। O কে কেন্দ্র করে $\frac{p}{2}$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি।
২. এখন অঙ্কিত বৃত্তে যেকোনো ব্যাসার্ধ $OA = \frac{p}{2}$ নিই। OA এর O বিন্দুতে $\angle AOB = 110^\circ$ আঁকি। OB রেখাংশ বৃত্তটিকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. OA এর A বিন্দুতে AC এবং OB এর B বিন্দুতে BC লম্ব আঁকি। AC ও BC লম্বদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে মিলিত হয়।
তাহলে, AC ও BC-ই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয় যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ACB = 70^\circ$।

[গ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

প্রশ্ন ১১: বরিশাল বোর্ড ২০২৬

M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।

ক. একটি বৃত্তের ব্যাস 11 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? (২)

খ. প্রমাণ করো যে, $\angle SPQ + \angle SRQ = 180^\circ$। (৪)

গ. PR ও QS কর্ণদ্বয় N বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করো যে, $\angle PMQ + \angle RMS = 2\angle PNQ$। (৪)

১১নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, বৃত্তের ব্যাস = 11 সে.মি.
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{11}{2}$ সে.মি. = 5.5 সে.মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2 = 3.1416 \times (5.5)^2$ বর্গ সে.মি.
$= 3.1416 \times 30.25$ বর্গ সে.মি. $= 95.033$ বর্গ সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল 95.033 বর্গ সে.মি. (প্রায়)।

খ. মনে করি, M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle SPQ + \angle SRQ = 180^\circ$।

অঙ্কন: M, Q ও M, S যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ ১: একই চাপ QRS এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle QMS = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle QPS)$
[বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ $\angle QMS = 2\angle SPQ$
ধাপ ২: আবার একই চাপ QPS এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ $\angle QMS = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle SRQ)$
অর্থাৎ প্রবৃদ্ধ $\angle QMS = 2\angle SRQ$
$\therefore \angle QMS + \text{প্রবৃদ্ধ কোণ } \angle QMS = 2(\angle SPQ + \angle SRQ)$
কিন্তু $\angle QMS + \text{প্রবৃদ্ধ কোণ } \angle QMS = 360^\circ$
$\therefore 2(\angle SPQ + \angle SRQ) = 360^\circ$
বা, $\angle SPQ + \angle SRQ = \frac{360^\circ}{2}$
$\therefore \angle SPQ + \angle SRQ = 180^\circ$। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে PQRS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS কর্ণদ্বয় পরস্পর N বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, M; Q, M; R, M এবং S, M যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle PMQ + \angle RMS = 2\angle PNQ$।

প্রমাণ:
ধাপ ১: একই চাপ PQ এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle PMQ$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle PSQ$।
$\therefore \angle PMQ = 2 \angle PSQ$ [$\because$ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
ধাপ ২: আবার, একই চাপ RS এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle RMS$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle SPR$।
$\therefore \angle RMS = 2 \angle SPR$ [$\because$ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
ধাপ ৩: $\Delta PNS$-এর বহিঃস্থ $\angle PNQ = \text{অন্তঃস্থ বিপরীত } (\angle PSN + \angle SPN)$
ধাপ ৪: এখন, $\angle PMQ + \angle RMS = 2(\angle PSQ + \angle SPR)$ [ধাপ (১) ও (২) হতে]
$= 2(\angle PSN + \angle SPN) = 2 \angle PNQ$ [ধাপ (৩) হতে]
$\therefore \angle PMQ + \angle RMS = 2\angle PNQ$। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১২: দিনাজপুর বোর্ড ২০২৬

একটি ত্রিভুজের ভূমি b = 5 সে.মি. ভূমিসংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d = 3 সে.মি.।

ক. b এর সমান বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গ অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন আবশ্যক] (২)

খ. ত্রিভুজটি অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. b এর সমান বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করে এর পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

১২নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. ABCD বর্গ আঁকা হলো যার বাহু AB = BC = CD = AD = b = 5 সে.মি.।

[ক এর চিত্র এখানে বসাবেন]

খ. মনে করি, একটি ত্রিভুজের ভূমি b = 5 সে.মি., ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ $\angle x = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d = 3 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. যেকোনো রশ্মি BF থেকে ভূমি b এর সমান করে BC রেখাংশ কেটে নিই। BC রেখাংশের B বিন্দুতে $\angle x$ এর সমান করে $\angle CBE$ আঁকি।
২. BE রশ্মি থেকে d এর সমান করে BD অংশ কেটে নিই।
৩. C, D যোগ করি। DC রেখাংশের যে পাশে E বিন্দু আছে সেই পাশে C বিন্দুতে $\angle EDC = \angle DCA$ আঁকি।
৪. CA রশ্মি BE রশ্মিকে A বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।

[খ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

গ. মনে করি, একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য b = 5 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি অঙ্কন করে এর পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. যেকোনো রশ্মি BM থেকে $BC = b$ নিই।
২. B ও C বিন্দুকে কেন্দ্র করে b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে BC এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপদ্বয় পরস্পর A বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. A, B ও A, C যোগ করি। ফলে $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ যার পরিবৃত্ত আঁকতে হবে।
৪. AB ও AC এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে EF ও GH আঁকি। এরা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
৫. A, O যোগ করি। O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি। তাহলে, বৃত্তটি A, B ও C বিন্দুগামী হবে।
তাহলে এই বৃত্তটিই $\Delta ABC$ এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত।

[গ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

প্রশ্ন ১৩: দিনাজপুর বোর্ড ২০২৬

নিচের চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3.5 সে.মি., LP = 4 সে.মি. এবং PM, $\angle LMN$ এর সমদ্বিখণ্ডক।

ক. LM এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। (২)

খ. দেখাও যে, $\angle LMN + \angle LPN = 180^\circ$। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, CO রেখাংশ স্পর্শ জ্যা PN এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (৪)

১৩নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাস MP, ব্যাসভিন্ন জ্যা LP = 4 সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ OP = OM = 3.5 সে.মি.।
$\therefore$ ব্যাস MP $= 2 \times OP = 2 \times 3.5$ সে.মি. = 7 সে.মি.।
MP ব্যাস হওয়ায় $\angle MLP$ একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
$\therefore \angle MLP =$ সমকোণ [$\because$ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ]
MLP সমকোণী ত্রিভুজে, $LM^2 + LP^2 = MP^2$
বা, $LM^2 = MP^2 - LP^2 = 7^2 - 4^2 = 49 - 16 = 33$
$\therefore LM = \sqrt{33}$ সে.মি. $= 5.74$ সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় LM এর দৈর্ঘ্য 5.74 সে.মি. (প্রায়)

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে LMNP চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle LMN + \angle LPN = 180^\circ$

অঙ্কন: O, N যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: একই চাপ LPN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle LON$ এবং বৃত্তস্থ $\angle LMN$।
$\therefore \angle LON = 2\angle LMN$ [$\because$ বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
ধাপ-২: একই চাপ LMN এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle LON$ এবং বৃত্তস্থ $\angle LPN$।
$\therefore \text{প্রবৃদ্ধ } \angle LON = 2\angle LPN$ [একই কারণে]
ধাপ-৩: এখন, $\angle LON + \text{প্রবৃদ্ধ } \angle LON = 2\angle LMN + 2\angle LPN$ [ধাপ (১) ও (২) হতে]
বা, $2(\angle LMN + \angle LPN) = 360^\circ$ [$\because \angle LON + \text{প্রবৃদ্ধ } \angle LON = 360^\circ$]
বা, $\angle LMN + \angle LPN = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
$\therefore \angle LMN + \angle LPN = 180^\circ$। (দেখানো হলো)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে বৃত্তে CP ও CN দুইটি স্পর্শক। P, N এবং O, C যোগ করি। PN হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। CO রেখাংশ PN জ্যাকে T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, CO রেখাংশ স্পর্শ জ্যা PN এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta OPC$ এবং $\Delta ONC$ এর মধ্যে
$OP = ON$ [$\because$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $CP = CN$ [বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান] এবং $CO = CO$ [সাধারণ বাহু]
$\therefore \Delta OPC \cong \Delta ONC$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore \angle POC = \angle NOC$ অর্থাৎ, $\angle POT = \angle NOT$
ধাপ-২: এখন, $\Delta OPT$ ও $\Delta ONT$-এ,
$OP = ON$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OT = OT$ [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle POT = \text{অন্তর্ভুক্ত } \angle NOT$ [ধাপ (১) হতে]
$\therefore \Delta OPT \cong \Delta ONT$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore PT = NT$ এবং $\angle PTO = \angle NTO$
ধাপ-৩: কিন্তু $\angle PTN = 2$ সমকোণ [সরলকোণ বলে]
বা, $\angle PTO + \angle NTO = 2$ সমকোণ $\Rightarrow 2\angle PTO = 2$ সমকোণ
$\therefore \angle PTO = 1$ সমকোণ $\Rightarrow \angle NTO = \angle PTO = 1$ সমকোণ
$\therefore TO \perp PN$ অর্থাৎ, $CO \perp PN$
আবার, $PT = NT$
$\therefore CO, PN$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, CO রেখাংশ স্পর্শ জ্যা PN এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ১৪: ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৬

$P=7.5$ সে.মি., $Q=5$ সে.মি. এবং $\angle x = 55^\circ$।

ক. 10 সে.মি. পরিসীমাবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ আঁকো। (২)

খ. সামান্তরিকের দুটি কর্ণ P ও Q এবং একটি বাহু R = 5.5 সে.মি. হলে, সামান্তরিকটি অঙ্কন করো। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

গ. 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে এমন দুটি স্পর্শক আঁকো যেন তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x$ এর সমান হয়। [অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক] (৪)

১৪নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. মনে করি, কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা s = 10 সে.মি. দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. প্রথমে পরিসীমা s-কে সমত্রিখণ্ডিত করি।
২. এবার, AE যেকোনো রশ্মি থেকে $AB = \frac{s}{3}$ কাটি।
৩. A ও B কে কেন্দ্র করে $\frac{s}{3}$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি, যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. A, C এবং B, C যোগ করি।
তাহলে, $\Delta ABC$-ই উদ্দিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজ।

[ক এর চিত্র এখানে বসাবেন]

খ. মনে করি, সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ P = 7.5 সে.মি., Q = 5 সে.মি. এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য R = 5.5 সে.মি. দেওয়া আছে। সামান্তরিকটি আঁকতে হবে।

অঙ্কন:
১. P ও Q কর্ণদ্বয়কে সমান দুইভাগে বিভক্ত করি।
২. যেকোনো রশ্মি AX থেকে R এর সমান করে AB কেটে নিই।
৩. A ও B বিন্দুকে কেন্দ্র করে যথাক্রমে $\frac{P}{2}$ ও $\frac{Q}{2}$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AB এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। মনে করি, বৃত্তচাপ দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
৪. A, O এবং B, O যোগ করি।
৫. AO কে AE বরাবর এবং BO কে BF বরাবর বর্ধিত করি।
৬. OE থেকে $OC = \frac{P}{2}$ এবং OF থেকে $OD = \frac{Q}{2}$ অংশ কেটে নিই।
৭. A, D; D, C এবং B, C যোগ করি।
তাহলে ABCD-ই উদ্দিষ্ট সামান্তরিক।

[খ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

গ. মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ a = 3 সে. মি. দেওয়া আছে। বৃত্তটিতে এমন দুইটি স্পর্শক আঁকতে হবে যেন এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle x$ এর সমান হয় অর্থাৎ $55^\circ$ হয়।

অঙ্কন:
১. যেকোনো বিন্দু O নিই। O কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি।
২. বৃত্তের যেকোনো ব্যাসার্ধ OA = a নিই। OA এর O বিন্দুতে $\angle AOB = 125^\circ$ আঁকি। OB রেখাংশ বৃত্তটিকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
৩. OA এর A বিন্দুতে AC এবং OB এর B বিন্দুতে BC লম্ব আঁকি। AC ও BC লম্বদ্বয় পরস্পর C বিন্দুতে মিলিত হয়।
তাহলে, AC ও BC-ই নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয় যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle ACB = 55^\circ$।

[গ এর চিত্র এখানে বসাবেন]

প্রশ্ন ১৫: ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৬

চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং MN ও SN দুটি সমান স্পর্শক।

ক. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 25 বর্গ সে.মি.। বৃত্তটির পরিধি নির্ণয় করো। (২)

খ. প্রমাণ করো যে, $\angle STM + \angle SKM =$ দুই সমকোণ। (৪)

গ. প্রমাণ করো যে, ON সরলরেখা স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (৪)

১৫নং প্রশ্নের সমাধান:

ক. মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
$\therefore$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ বর্গ একক
শর্তমতে, $\pi r^2 = 25$
বা, $r^2 = \frac{25}{\pi}$
বা, $r^2 = \frac{25}{3.1416}$
বা, $r^2 = 7.9577$
বা, $r = \sqrt{7.9577}$ $\therefore r = 2.8209$ (প্রায়)
$\therefore$ বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$ একক
$= 2 \times 3.1416 \times 2.8209$ সে.মি.
$= 17.724$ সে.মি. (প্রায়)
নির্ণেয় বৃত্তের পরিধি 17.724 সে.মি. (প্রায়)।

খ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে KMTS চতুর্ভুজটি অন্তর্লিখিত। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle STM + \angle SKM = 2$ সমকোণ

অঙ্কন: O, M ও O, S যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: একই চাপ SKM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ $\angle SOM = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle STM)$
[বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
অর্থাৎ $\angle SOM = 2\angle STM$।
ধাপ-২: আবার, একই চাপ STM এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ $\angle SOM = 2(\text{বৃত্তস্থ } \angle SKM)$ অর্থাৎ, প্রবৃদ্ধ $\angle SOM = 2\angle SKM$
[বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ]
কিন্তু, $\angle SOM + \text{প্রবৃদ্ধ } \angle SOM = 360^\circ$
বা, $2\angle STM + 2\angle SKM = 360^\circ$
বা, $2(\angle STM + \angle SKM) = 360^\circ$
বা, $\angle STM + \angle SKM = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
$\therefore \angle STM + \angle SKM = 2$ সমকোণ। (প্রমাণিত)

গ. মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ N বিন্দু থেকে বৃত্তে MN এবং SN দুইটি সমান স্পর্শক। MS হচ্ছে স্পর্শ জ্যা। ON রেখাংশ MS কে F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্ব দ্বিখণ্ডক।

অঙ্কন: O, M এবং O, S যোগ করি।

প্রমাণ:
ধাপ-১: $\Delta OMN$ এবং $\Delta OSN$ এর মধ্যে
$OM = OS$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $MN = SN$ [দেওয়া আছে] এবং $ON = ON$ [সাধারণ বাহু]
$\therefore \Delta OMN \cong \Delta OSN$ [বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore \angle MON = \angle SON$ অর্থাৎ, $\angle MOF = \angle SOF$
ধাপ-২: এখন, $\Delta OMF$ ও $\Delta OSF$-এ,
$OM = OS$ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], $OF = OF$ [সাধারণ বাহু] এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle MOF =$ অন্তর্ভুক্ত $\angle SOF$ [ধাপ (১) হতে]
$\therefore \Delta OMF \cong \Delta OSF$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]
$\therefore MF = SF$ এবং $\angle MFO = \angle SFO$
ধাপ-৩: কিন্তু $\angle MFS = 2$ সমকোণ [সরলকোণ বলে]
বা, $\angle MFO + \angle SFO = 2$ সমকোণ
বা, $2\angle MFO = 2$ সমকোণ [ধাপ (২) হতে]
$\therefore \angle MFO = 1$ সমকোণ $\Rightarrow \angle SFO = \angle MFO = 1$ সমকোণ
$\therefore OF \perp MS$ অর্থাৎ, $ON \perp MS$
আবার, $MF = SF$
$\therefore ON, MS$ কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
অতএব, ON রেখাংশ স্পর্শ জ্যা MS এর লম্বদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)