এসএসসি সাধারণ গণিত অধ্যায়: ৩ সকল সূত্র

তৃতীয় অধ্যায় ▶ বীজগাণিতিক রাশি

বহুনির্বাচনি অংশের জন্য গুরুত্বপূর্ণ তথ্য ও সূত্রাবলি

পূর্ণাঙ্গ সিলেবাস ও NCTB প্রদত্ত চূড়ান্ত মানবণ্টনের আলোকে টেস্ট ও এসএসসি পরীক্ষায় সেরা প্রস্তুতির নিশ্চয়তায় টপিকের ধারায় তথ্য ও সূত্রাবলি

📌 গুরুত্বপূর্ণ তথ্যাবলি

• বীজগাণিতিক রাশি : প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সংখ্যা নির্দেশক অক্ষর প্রতীক এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়। যেমন : $2a + 3b - 4c$ একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে $a, b, c, p, q, r, m, n, x, y, z, \dots\dots$ ইত্যাদি বর্ণমালার মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট।

• উৎপাদক : যদি একটি রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হয়, তাহলে শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলে।

• উৎপাদকে বিশ্লেষণ : কোন বীজগণিতীয় রাশির সবগুলো সম্ভাব্য উৎপাদক বের করে একে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়।

• উৎপাদক নির্ণয় করার পদ্ধতি :

• প্রথমে প্রদত্ত রাশিমালাটিকে পর্যবেক্ষণ করে দেখতে হয় সবগুলো পদে কোন সাধারণ উৎপাদক অর্থাৎ এক জাতীয় রাশি আছে কিনা। যদি থাকে তবে তা কমন নিতে হয়।
  যেমন : $2ax^2 - 2ay^2$ রাশিটিতে সাধারণ উৎপাদক $2a$. সুতরাং $2a$ কমন নিয়ে রাশিটিকে লেখা যায়, $2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2)$
• সাধারণ উৎপাদক কমন নেওয়ার পর প্রাপ্ত রাশিটিকে সূত্রের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হলে তা করতে হয়।
  যেমন : $2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2) = 2a(x + y)(x - y)$

• $x^2 + px + q$ আকারের রাশির উৎপাদক :

$$x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + ax + bx + ab = x(x + a) + b(x + a) = (x + a)(x + b)$$

এ থেকে দেখা যায় যে, $x^2 + px + q = (x + a)(x + b)$ হবে যদি $a$ ও $b$ এমন হয় যে, $q = ab$ এবং $p = a + b$. সুতরাং $x^2 + px + q$ রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য $x$ বর্জিত পদ $q$ কে এমন দুইটি সংখ্যা $a$ ও $b$ এর গুণফলরূপে প্রকাশ করা হয় যাদের (বীজগাণিতিক) যোগফল $a + b$, $x$ এর সহগের সমান হয়।

• $q > 0, p > 0$ হলে, $a$ ও $b$ উভয়ই ধনাত্মক হয়।
• $q > 0, p < 0$ হলে, $a$ ও $b$ উভয়ই ঋণাত্মক হয়।
• $q < 0, p > 0$ হলে, $a$ ও $b$ এর মধ্যে বড়টি ধনাত্মক ও ছোটটি ঋণাত্মক হয়।
• $q < 0, p < 0$ হলে, $a$ ও $b$ এর মধ্যে বড়টি ঋণাত্মক ও ছোটটি ধনাত্মক হয়।

• ভাগশেষ উপপাদ্য : কোনো বহুপদী ফাংশন $f(x)$-কে $(x - a)$ আকারে বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য।
যদি কোনো বহুপদী ফাংশন $f(x)$ এর মান $x$ এর কোন একটি নির্দিষ্ট মান $a$ এর জন্য শূন্য অর্থাৎ $f(a) = 0$ হয়, তবে $(x - a)$ হবে এর একটি উৎপাদক।

📐 বীজগাণিতিক সূত্রাবলি (হাইলাইটেড)

বর্গ সম্পর্কিত সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত

১ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

২ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

৩ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$

৪ $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$

৫ $(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$

৬ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$

৭ $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$

৮ $a^2 + b^2 = \dfrac{(a + b)^2 + (a - b)^2}{2}$

৯ $4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2$

১০ $ab = \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{a - b}{2}\right)^2$

১১ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

১২ $(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2(a^2 + b^2)$

১৩ $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$

১৪ $(x - a)(x + b) = x^2 + (b - a)x - ab$

১৫ $(x + a)(x - b) = x^2 + (a - b)x - ab$

১৬ $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

১৭ $2(ab + bc + ca) = (a + b + c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)$

১৮ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ca)$

বিশেষ সূত্র

১ $(a + b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab - 2bc - 2ac$

২ $(a - b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac$

৩ $(a - b - c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ac$

ঘন সম্পর্কিত সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত

১ $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$

২ $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$

৩ $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$

৪ $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$

৫ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

৬ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

উৎপাদক নির্ণয় সম্পর্কিত সূত্রাবলি

১ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

২ $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

৩ $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$

৪ $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$

৫ $a^6 - b^6 = (a - b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$

৬ $a^7 - b^7 = (a - b)(a^6 + a^5b + a^4b^2 + a^3b^3 + a^2b^4 + ab^5 + b^6)$

৭ $x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b)$

৮ $x^2 + (b - a)x - ab = (x - a)(x + b)$

৯ $x^2 + (a - b)x - ab = (x + a)(x - b)$

১০ $x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$

১১ $(rx + p)(sx + q) = rsx^2 + (rq + sp)x + pq$

🧮 বাস্তব সমস্যা সম্পর্কিত সূত্রাবলি

১. দেয় বা প্রাপ্য বিষয়ক

দেয় বা প্রাপ্য, $A = qn$ টাকা

যেখানে,
$q =$ জনপ্রতি দেয় বা প্রাপ্য টাকার পরিমাণ
$n =$ লোকের সংখ্যা

২. সময় ও কাজ বিষয়ক

কয়েকজন লোক একটি কাজ সম্পন্ন করলে,

কাজের পরিমাণ, $W = qnx$

যেখানে,
$q =$ প্রত্যেকে একক সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে
$n =$ কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা, $x =$ কাজের মোট সময়
$W = n$ জনে $x$ সময়ে কাজের যে অংশ সম্পন্ন করে

৩. সময় ও দূরত্ব বিষয়ক

নির্দিষ্ট সময়ে দূরত্ব, $d = vt$

যেখানে,
$v =$ প্রতি ঘণ্টায় গতিবেগ, $t =$ মোট সময়; $d =$ মোট দূরত্ব

৪. নল ও চৌবাচ্চা বিষয়ক

নির্দিষ্ট সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ, $Q(t) = Q_0 \pm qt$

যেখানে,
$Q_0 =$ নলের মুখ খুলে দেওয়ার সময় চৌবাচ্চায় জমা পানির পরিমাণ
$q =$ প্রতি একক সময়ে নল দিয়ে যে পানি প্রবেশ করে অথবা বের হয়
$t =$ অতিক্রান্ত সময়
$Q(t) = t$ সময়ে চৌবাচ্চায় পানির পরিমাণ (পানি প্রবেশ হওয়ার শর্তে চিহ্ন '$+$' এবং পানি বের হওয়ার শর্তে চিহ্ন '$-$' হবে)।

৫. শতকরা অংশ বিষয়ক

শতকরা অংশ, $p = br$

যেখানে,
$b =$ মোট রাশি
$r =$ শতকরা হার $= \dfrac{s}{100} = s\%$
$p =$ শতকরা অংশ $= b$ এর $s\%$

৬. লাভ-ক্ষতি বিষয়ক

মূল সূত্র : $S = C(1 \pm r)$

✓ লাভের ক্ষেত্রে, $S = C(1 + r)$

✗ ক্ষতির ক্ষেত্রে, $S = C(1 - r)$

যেখানে,
$S$ (টাকা) $=$ বিক্রয়মূল্য, $C$ (টাকা) $=$ ক্রয়মূল্য
$r =$ লাভ বা ক্ষতির শতকরা হার

৭. বিনিয়োগ-মুনাফা বিষয়ক

সরল মুনাফার ক্ষেত্রে :

মুনাফা, $I = Pnr$ টাকা
মুনাফাসহ মূলধন, $A = P + I = P + Pnr = P(1 + nr)$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে :

চক্রবৃদ্ধি মূলধন, $A = P(1 + r)^n$

যেখানে,
$I = n$ সময় পরে মুনাফা, $n =$ নির্দিষ্ট সময়
$P =$ মূলধন
$r =$ একক সময়ে একক মূলধনের মুনাফা
$A = n$ সময় পরে মুনাফাসহ মূলধন