এসএসসি উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি সমাধান
১। $y = \ln(4-x)$ ফাংশনটির ডোমেন নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা: লগারিদমিক ফাংশন $\ln(a)$ এর ক্ষেত্রে সর্বদা $a > 0$ হতে হয়।
এখানে, $4 - x > 0 \implies x < 4$। সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হবে $\{x \in \mathbb{R} : x < 4\}$।
২। $\sin\left(\frac{-29\pi}{6}\right)$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: আমরা জানি, $\sin(-\theta) = -\sin\theta$।
অতএব, $-\sin\left(\frac{29\pi}{6}\right) = -\sin\left(5\pi - \frac{\pi}{6}\right)$।
যেহেতু $5\pi - \frac{\pi}{6}$ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থিত, সেখানে $\sin$ ধনাত্মক, তাই মান হবে $-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$।
৩। $\sin\theta = \frac{1}{2}$ হলে—
i. $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
ii. $\theta = \frac{5\pi}{6}$ যখন $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
iii. $\theta = \frac{11\pi}{6}$ যখন $\pi < \theta < 2\pi$
i. $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
ii. $\theta = \frac{5\pi}{6}$ যখন $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
iii. $\theta = \frac{11\pi}{6}$ যখন $\pi < \theta < 2\pi$
ব্যাখ্যা: $\sin\theta = \frac{1}{2}$ হলে, ১ম চতুর্ভাগে $\cos\theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (i সঠিক)।
২য় চতুর্ভাগে (অর্থাৎ $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ শর্তে) $\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ (ii সঠিক)।
iii ভুল, কারণ ৩য় বা ৪র্থ চতুর্ভাগে $\sin\theta$ ঋণাত্মক হয়।
৪। $\tan\theta = \frac{3}{4}$ এবং $\cos\theta$ ঋণাত্মক হলে $\sin\theta$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: $\tan\theta$ ধনাত্মক এবং $\cos\theta$ ঋণাত্মক হওয়ার অর্থ হলো কোণটি ৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
৩য় চতুর্ভাগে $\sin\theta$ ঋণাত্মক হয়।
সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = ৩, ভূমি = ৪ হলে অতিভুজ = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$।
সুতরাং, $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = -\frac{3}{5}$।
$5y - 10x + 3 = 0$
৫। রেখাটির ঢাল কত?
ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণ: $5y - 10x + 3 = 0 \implies 5y = 10x - 3 \implies y = 2x - \frac{3}{5}$।
এটি $y = mx + c$ আকারের সমীকরণ, যেখানে ঢাল $m = 2$।
৬। $y$-অক্ষের ছেদক কত?
ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে প্রকাশ করলে পাই, $y = 2x - \frac{3}{5}$।
এখানে $y$-অক্ষের ছেদকাংশ $c = -\frac{3}{5}$।
৭। $A(3, 6)$ ও $B(5, 3)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রমকারী রেখার ঢাল কত?
ব্যাখ্যা: দুটি বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল নির্ণয়ের সূত্র $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$।
সুতরাং, ঢাল $m = \frac{3 - 6}{5 - 3} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$।
৮। $\left(P - \frac{x}{2}\right)^5 = k - rx + 20x^2 - \dots \dots$ হলে $P$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: দ্বিপদী বিস্তৃতি হতে তৃতীয় পদটি হলো: $\binom{5}{2} P^3 \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = 10 \cdot P^3 \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{5}{2} P^3 x^2$।
প্রশ্নমতে, $\frac{5}{2} P^3 = 20 \implies P^3 = \frac{40}{5} = 8 \implies P = 2$।
৯। $A(-3, -3)$ ও $B(3, 3)$ বিন্দুসমূহের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা: মধ্যবর্তী দূরত্ব $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$= \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ একক।
১০। চিত্রে, নিচের কোনটি সঠিক? (ত্রিভুজ $ABC$ এর ভেক্টর চিত্রানুযায়ী)
ব্যাখ্যা: ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে, যদি একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু একই ক্রমে দুটি ভেক্টর নির্দেশ করে, তবে তাদের লব্ধি হবে বিপরীত ক্রমে গৃহীত তৃতীয় বাহু। চিত্রে, $\vec{AB}$ এবং $\vec{BC}$ একই ক্রমে আছে, তাই তাদের যোগফল হবে বিপরীত ক্রমে থাকা $\vec{AC}$ এর সমান। অর্থাৎ, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$।
১১। একটি মুদ্রা 5 বার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু কয়টি?
ব্যাখ্যা: একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফল (নমুনা বিন্দু) হয় ২টি (Head বা Tail)।
সুতরাং, $n$ বার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দু হবে $2^n$।
এখানে মুদ্রাটি 5 বার নিক্ষেপ করা হয়েছে, তাই মোট নমুনা বিন্দু = $2^5 = 32$ টি।
১২। 40 থেকে 50 এর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে চয়ন করলে মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: 40 থেকে 50 এর মধ্যে মোট সংখ্যা আছে 11 টি (40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50)।
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: 41, 43 এবং 47। অর্থাৎ, অনুকূল ফলাফল 3 টি।
অতএব, সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল}} = \frac{3}{11}$।
১৩। $\frac{5x - 1}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}$ হলে $A$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: প্রদত্ত আংশিক ভগ্নাংশ থেকে পাই, $5x - 1 = A(x-2) + B(x+1)$।
$A$ এর মান নির্ণয় করার জন্য $x+1=0$ বা, $x = -1$ বসাই।
তাহলে, $5(-1) - 1 = A(-1-2) \implies -6 = -3A \implies A = 2$।
$P(x) = x^3 + 3x - ax$
১৪। $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x-2)$ হলে $a$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $P(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x-2)$ হলে, $P(2) = 0$ হবে।
সুতরাং, $P(2) = 2^3 + 3(2) - a(2) = 0 \implies 8 + 6 - 2a = 0 \implies 14 = 2a \implies a = 7$।
১৫। $P(x)$ কে $(x+1)$ এবং $(x-1)$ দ্বারা ভাগ করলে যদি একই ভাগশেষ থাকে তবে $a$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, ভাগশেষ দুটি যথাক্রমে $P(-1)$ এবং $P(1)$।
শর্তমতে, $P(-1) = P(1)$।
$P(-1) = (-1)^3 + 3(-1) - a(-1) = -1 - 3 + a = a - 4$।
$P(1) = 1^3 + 3(1) - a(1) = 1 + 3 - a = 4 - a$।
অতএব, $a - 4 = 4 - a \implies 2a = 8 \implies a = 4$।
১৬। $x = y + 6$ এবং $y = 3 - 2x$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু কোনটি?
ব্যাখ্যা: প্রথম সমীকরণে $y$ এর মান বসালে পাই: $x = (3 - 2x) + 6 \implies x = 9 - 2x \implies 3x = 9 \implies x = 3$।
এবার $x$ এর মান দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই: $y = 3 - 2(3) = 3 - 6 = -3$।
সুতরাং ছেদবিন্দু $(3, -3)$।
১৭। $P(x, y, z) = x^3y + y^3z + z^3x$ হলে—
i. $P(x, y, z)$ সমমাত্রিক বহুপদী
ii. $P(x, y, z)$ প্রতিসম রাশি
iii. $P(x, y, z)$ চক্রক্রমিক রাশি
i. $P(x, y, z)$ সমমাত্রিক বহুপদী
ii. $P(x, y, z)$ প্রতিসম রাশি
iii. $P(x, y, z)$ চক্রক্রমিক রাশি
ব্যাখ্যা:
i. বহুপদীর প্রতিটি পদের মাত্রা ৪ ($3+1=4$), তাই এটি সমমাত্রিক। (সঠিক)
ii. $x$ ও $y$ স্থান বিনিময় করলে রাশিটি হয় $y^3x + x^3z + z^3y$, যা পূর্বের রাশির সমান নয়, তাই প্রতিসম নয়। (ভুল)
iii. $x \to y, y \to z, z \to x$ বসালে রাশিটি হয় $y^3z + z^3x + x^3y$, যা মূল রাশির সমান, তাই এটি চক্রক্রমিক। (সঠিক)
ii. $x$ ও $y$ স্থান বিনিময় করলে রাশিটি হয় $y^3x + x^3z + z^3y$, যা পূর্বের রাশির সমান নয়, তাই প্রতিসম নয়। (ভুল)
iii. $x \to y, y \to z, z \to x$ বসালে রাশিটি হয় $y^3z + z^3x + x^3y$, যা মূল রাশির সমান, তাই এটি চক্রক্রমিক। (সঠিক)
১৮। $\log_x \sqrt{3} = 3$ হলে $x$ এর মান কত?
ব্যাখ্যা: সঠিক উত্তর অপশনে নেই। সমীকরণটি সমাধান করলে পাই:
$\log_x \sqrt{3} = 3 \implies x^3 = \sqrt{3} \implies x^3 = 3^{\frac{1}{2}} \implies x = (3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}}$।
যেহেতু $3^{\frac{1}{6}}$ কোনো অপশনে দেওয়া নেই, তাই সঠিক উত্তরটি এখানে অনুপস্থিত।
$\frac{1}{(4x-1)} + \frac{1}{(4x-1)^2} + \frac{1}{(4x-1)^3} + \dots \dots$
১৯। $x = 1$ হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা: $x = 1$ হলে ধারাটি হবে: $\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = \frac{1}{3}$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{3}$।
অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$।
২০। $x$ এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?
ব্যাখ্যা: গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত হলো $|r| < 1$।
এখানে সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1}{4x-1}$।
সুতরাং, $\left|\frac{1}{4x-1}\right| < 1 \implies |4x-1| > 1$।
হয় $4x-1 > 1 \implies 4x > 2 \implies x > \frac{1}{2}$।
অথবা $4x-1 < -1 \implies 4x < 0 \implies x < 0$।
অতএব নির্ণেয় শর্ত: $x < 0$ অথবা $x > \frac{1}{2}$।
২১। $x - \sqrt{3}y + 4 = 0$ রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?
ব্যাখ্যা: সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে প্রকাশ করলে পাই:
$\sqrt{3}y = x + 4 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{4}{\sqrt{3}}$।
এখানে ঢাল $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
আমরা জানি, $\tan\theta = m \implies \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^\circ$।
২২। চিত্রে $M$ ও $N$ যথাক্রমে $PQ$ ও $PR$ বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু হলে—
i. $\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{QR}$
ii. $MQRN$ ট্রাপিজিয়াম
iii. $2\vec{MN} = \vec{PR} - \vec{PQ}$
i. $\vec{MN} = \frac{1}{2} \vec{QR}$
ii. $MQRN$ ট্রাপিজিয়াম
iii. $2\vec{MN} = \vec{PR} - \vec{PQ}$
ব্যাখ্যা:
i. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক। তাই $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{QR}$। (সঠিক)
ii. যেহেতু $MN \parallel QR$, তাই $MQRN$ একটি ট্রাপিজিয়াম। (সঠিক)
iii. ভেক্টর বিয়োগ বিধি অনুযায়ী $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$। যেহেতু $2\vec{MN} = \vec{QR}$, তাই $2\vec{MN} = \vec{PR} - \vec{PQ}$। (সঠিক)
ii. যেহেতু $MN \parallel QR$, তাই $MQRN$ একটি ট্রাপিজিয়াম। (সঠিক)
iii. ভেক্টর বিয়োগ বিধি অনুযায়ী $\vec{QR} = \vec{PR} - \vec{PQ}$। যেহেতু $2\vec{MN} = \vec{QR}$, তাই $2\vec{MN} = \vec{PR} - \vec{PQ}$। (সঠিক)
২৩। $(1 - 3x + 3x^2 - x^3)^4$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কত?
ব্যাখ্যা: রাশিটির ভিতরের অংশটি $(1-x)^3$ এর সূত্র।
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি হলো $((1-x)^3)^4 = (1-x)^{12}$।
আমরা জানি, $(x+y)^n$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা $(n+1)$ হয়। তাই পদসংখ্যা হবে $12 + 1 = 13$ টি।
$\sqrt[3]{x} = \sqrt[4]{y} = \sqrt[5]{z}$
২৪। নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
ব্যাখ্যা: ধরি, $\sqrt[3]{x} = \sqrt[4]{y} = \sqrt[5]{z} = k$।
তাহলে, $x = k^3$, $y = k^4$, এবং $z = k^5$।
এখন সূচকের ঘাত মেলালে দেখা যায়:
$x^{20} = (k^3)^{20} = k^{60}$।
$y^{15} = (k^4)^{15} = k^{60}$।
$z^{12} = (k^5)^{12} = k^{60}$।
অর্থাৎ, $x^{20} = y^{15} = z^{12}$ সম্পর্কটি সঠিক।
২৫। $\log(xyz) = \text{কত?}$
ব্যাখ্যা: উপরের মানগুলো ব্যবহার করে পাই, $xyz = (k^3)(k^4)(k^5) = k^{3+4+5} = k^{12}$।
আবার, $y = k^4 \implies y^3 = (k^4)^3 = k^{12}$।
তাহলে, $xyz = y^3$।
অতএব, $\log(xyz) = \log(y^3) = 3\log y$।
){kind=link}
0 Comments