🎓 Zahidul Saad Classroom
সাধারণ গণিত (অধ্যায়ঃ ৪.১)
✨ সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও বিস্তারিত সমাধান (১ - ২৮) ✨
📈 সূচক ফাংশনের লেখচিত্র: \( y = a^x \) (যখন \( a > 1 \))
প্রশ্ন ১
\(\displaystyle \frac{6^4 \times 6^2}{6^3 \times 6}\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{6^4 \times 6^2}{6^3 \times 6}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{4+2}}{6^{3+1}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^6}{6^4}\)
\(= 6^{6-4}\)
\(= 6^2\)
\(= 36\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(36\)
প্রশ্ন ২
সরল কর : \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{6} \times \sqrt[3]{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt[4]{6}}\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{\sqrt[5]{6} \times \sqrt[3]{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt[4]{6}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{1}{5}} \times 6^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{2}} \times 6^{\frac{1}{4}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{1}{5} + \frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{3+5}{15}}}{6^{\frac{2+1}{4}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{8}{15}}}{6^{\frac{3}{4}}}\)
\(= 6^{\frac{8}{15} - \frac{3}{4}}\)
\(= 6^{\frac{32-45}{60}}\)
\(= 6^{\frac{-13}{60}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{6^{\frac{13}{60}}}\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \(\displaystyle \frac{1}{6^{\frac{13}{60}}}\)
প্রশ্ন ৩
প্রমাণ কর যে, \(\displaystyle \frac{3^8 \cdot 9 \cdot 2^4}{3^7 \cdot 8} = 54\).
💡 সমাধান
বামপক্ষ \(= \displaystyle \frac{3^8 \cdot 9 \cdot 2^4}{3^7 \cdot 8}\)
\(= \displaystyle \frac{3^8 \cdot 3^2 \cdot 2^4}{3^7 \cdot 2^3}\)
\(= \displaystyle \frac{3^{8+2} \cdot 2^4}{3^7 \cdot 2^3}\)
\(= \displaystyle \frac{3^{10} \cdot 2^4}{3^7 \cdot 2^3}\)
\(= 3^{10-7} \cdot 2^{4-3}\)
\(= 3^3 \cdot 2^1\)
\(= 27 \times 2\)
\(= 54 =\) ডানপক্ষ
🎯 \(\therefore \displaystyle \frac{3^8 \cdot 9 \cdot 2^4}{3^7 \cdot 8} = 54\) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৪
\(\displaystyle \frac{5^{m+2} - 3 \cdot 5^{m+1}}{5^{m+2} \div 5}\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{5^{m+2} - 3 \cdot 5^{m+1}}{5^{m+2} \div 5}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{m+1+1} - 3 \cdot 5^{m+1}}{5^{m+2-1}}\)
\(= \displaystyle \frac{5 \cdot 5^{m+1} - 3 \cdot 5^{m+1}}{5^{m+1}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{m+1}(5-3)}{5^{m+1}}\)
\(= 2\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(2\)
প্রশ্ন ৫
\(\displaystyle \frac{5^3 \times 5^{-3}}{2^4 \times 2^{-2}}\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{5^3 \times 5^{-3}}{2^4 \times 2^{-2}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{3-3}}{2^{4-2}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^0}{2^2}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{4}\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)
প্রশ্ন ৬
\((3^{-2} + 6^{-1} + 2^{-3})\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= 3^{-2} + 6^{-1} + 2^{-3}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{3^2} + \frac{1}{6^1} + \frac{1}{2^3}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}\)
\(= \displaystyle \frac{8+12+9}{72}\)
\(= \displaystyle \frac{29}{72}\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(\displaystyle \frac{29}{72}\)
প্রশ্ন ৭
\(\displaystyle \frac{2^4 \times 2^2}{(2^3)^2}\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{2^4 \times 2^2}{(2^3)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{2^{4+2}}{2^6}\)
\(= \displaystyle \frac{2^6}{2^6}\)
\(= 2^{6-6}\)
\(= 2^0\)
\(= 1\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(1\)
প্রশ্ন ৮
সরল কর : \(\displaystyle \frac{5^3 \times 3^2 \times 2^4}{16 \times 25}\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{5^3 \times 3^2 \times 2^4}{16 \times 25}\)
\(= \displaystyle \frac{5^3 \times 3^2 \times 2^4}{2^4 \times 5^2}\)
\(= 5^{3-2} \cdot 3^2 \cdot 2^{4-4}\)
\(= 5^1 \cdot 9 \cdot 2^0\)
\(= 5 \cdot 9 \cdot 1\)
\(= 45\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \(45\)
প্রশ্ন ৯
দেখাও যে, \((p^a)^{b-c} \cdot (p^b)^{c-a} \cdot (p^c)^{a-b} = 1\)
💡 সমাধান
বামপক্ষ \(= (p^a)^{b-c} \cdot (p^b)^{c-a} \cdot (p^c)^{a-b}\)
\(= p^{a(b-c)} \cdot p^{b(c-a)} \cdot p^{c(a-b)}\)
\(= p^{ab-ac} \cdot p^{bc-ab} \cdot p^{ca-bc}\)
\(= p^{ab-ac+bc-ab+ca-bc}\)
\(= p^0\)
\(= 1 =\) ডানপক্ষ
🎯 \(\therefore (p^a)^{b-c} \cdot (p^b)^{c-a} \cdot (p^c)^{a-b} = 1\) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ১০
\((2a^{-1} + 3b^{-1})^{-1}\) এর সরলীকৃত মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= (2a^{-1} + 3b^{-1})^{-1}\)
\(= \displaystyle \left(\frac{2}{a} + \frac{3}{b}\right)^{-1}\)
\(= \displaystyle \left(\frac{2b+3a}{ab}\right)^{-1}\)
\(= \displaystyle \frac{ab}{3a+2b}\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(\displaystyle \frac{ab}{3a+2b}\)
প্রশ্ন ১১
সমাধান কর : \((\sqrt{7})^{5x-1} = (\sqrt[5]{7})^{2x-3}\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \((\sqrt{7})^{5x-1} = (\sqrt[5]{7})^{2x-3}\)
বা, \(7^{\frac{5x-1}{2}} = 7^{\frac{2x-3}{5}}\)
বা, \(\displaystyle \frac{5x-1}{2} = \frac{2x-3}{5}\)
বা, \(25x - 5 = 4x - 6\)
বা, \(25x - 4x = -6 + 5\)
বা, \(21x = -1\)
\(\therefore x = -\displaystyle \frac{1}{21}\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = -\displaystyle \frac{1}{21}\)
প্রশ্ন ১২
\(5^{2x+1} = (125)^{x-3}\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
এখানে, \(5^{2x+1} = (125)^{x-3}\)
বা, \(5^{2x+1} = (5^3)^{x-3}\)
বা, \(5^{2x+1} = 5^{3x-9}\)
বা, \(2x + 1 = 3x - 9\)
বা, \(2x - 3x = -9 - 1\)
বা, \(-x = -10\)
\(\therefore x = 10\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(x = 10\)
প্রশ্ন ১৩
\(4^{2p-1} = 512\) হলে, \(p\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(4^{2p-1} = 512\)
বা, \((2^2)^{2p-1} = 512\)
বা, \(2^{4p-2} = 2^9\)
বা, \(4p - 2 = 9\)
বা, \(4p = 9 + 2 = 11\)
বা, \(p = \displaystyle \frac{11}{4}\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(p = \displaystyle \frac{11}{4}\)
প্রশ্ন ১৪
সরল কর : \(3^3 \times \sqrt[3]{-27} \times \left(-\displaystyle \frac{1}{3^2 \cdot 2^3}\right)\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= 3^3 \times \sqrt[3]{-27} \times \left(-\displaystyle \frac{1}{3^2 \cdot 2^3}\right)\)
\(= 27 \times (-27)^{\frac{1}{3}} \times \left(-\displaystyle \frac{1}{9 \times 8}\right)\)
\(= 27 \times (-3^3)^{\frac{1}{3}} \times \left(-\displaystyle \frac{1}{72}\right)\)
\(= 27 \times (-3)^{3 \times \frac{1}{3}} \times \left(-\displaystyle \frac{1}{72}\right)\)
\(= 27 \times (-3)^1 \times \left(-\displaystyle \frac{1}{72}\right)\)
\(= -(27 \times 3) \times \left(-\displaystyle \frac{1}{72}\right)\)
\(= (-81) \times \left(-\displaystyle \frac{1}{72}\right)\)
\(= \displaystyle \frac{81}{72}\)
\(= \displaystyle \frac{9}{8}\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \(\displaystyle \frac{9}{8}\)
প্রশ্ন ১৫
সমাধান কর : \((\sqrt{2})^{x+3} = (\sqrt[3]{2})^{x-1}\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \((\sqrt{2})^{x+3} = (\sqrt[3]{2})^{x-1}\)
বা, \(\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{x+3} = \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{x-1}\)
বা, \(2^{\frac{x+3}{2}} = 2^{\frac{x-1}{3}}\)
বা, \(\displaystyle \frac{x+3}{2} = \frac{x-1}{3}\)
বা, \(3x + 9 = 2x - 2\)
বা, \(3x - 2x = -9 - 2\)
\(\therefore x = -11\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = -11\)
প্রশ্ন ১৬
সমাধান কর : \(4^{2x+4} = 1024\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(4^{2x+4} = 1024\)
বা, \(4^{2x+4} = 4^5\)
বা, \(2x + 4 = 5\)
বা, \(2x = 5 - 4\)
বা, \(2x = 1\)
\(\therefore x = \displaystyle \frac{1}{2}\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = \displaystyle \frac{1}{2}\)
প্রশ্ন ১৭
\(\displaystyle \frac{2^{n+4} - 4 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+2} \div \sqrt[3]{8}}\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{2^{n+4} - 4 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+2} \div \sqrt[3]{8}}\)
\(= \displaystyle \frac{2^{n+1}(2^3 - 4)}{2^{n+2} \div 2}\)
\(= \displaystyle \frac{2^{n+1}(8 - 4)}{2^{n+2-1}}\)
\(= \displaystyle \frac{4 \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1}}\)
\(= 4\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(4\)
প্রশ্ন ১৮
\(4^{2p+1} = 128\) হলে, \(p\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(4^{2p+1} = 128\)
বা, \((2^2)^{2p+1} = 2^7\)
বা, \(2^{4p+2} = 2^7\)
বা, \(4p + 2 = 7\)
বা, \(4p = 7 - 2 = 5\)
বা, \(p = \displaystyle \frac{5}{4}\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(p = \displaystyle \frac{5}{4}\)
প্রশ্ন ১৯
সরল কর : \(\sqrt{6} \times \sqrt[3]{24}\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \sqrt{6} \times \sqrt[3]{24}\)
\(= \sqrt{2 \times 3} \times \sqrt[3]{3 \times 8}\)
\(= (2 \times 3)^{\frac{1}{2}} \times (3 \times 2^3)^{\frac{1}{3}}\)
\(= 2^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 2^{3 \times \frac{1}{3}}\)
\(= 2^{\frac{1}{2}} \times 2^1 \times 3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}}\)
\(= 2^{\frac{1+2}{2}} \times 3^{\frac{3+2}{6}}\)
\(= 2^{\frac{3}{2}} \times 3^{\frac{5}{6}}\)
\(= (2^3)^{\frac{1}{2}} \times (3^5)^{\frac{1}{6}}\)
\(= (\sqrt{2})^3 \times (\sqrt[6]{3})^5\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \((\sqrt{2})^3 \times (\sqrt[6]{3})^5\)
প্রশ্ন ২০
সরল কর : \(\displaystyle \frac{6^{\frac{4}{3}} \times 6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{3}}}\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{6^{\frac{4}{3}} \times 6^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{3}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}{6^{\frac{1}{3}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{16+9}{12}}}{6^{\frac{4}{12}}}\)
\(= \displaystyle \frac{6^{\frac{25}{12}}}{6^{\frac{4}{12}}}\)
\(= 6^{\frac{25}{12} - \frac{4}{12}}\)
\(= 6^{\frac{21}{12}}\)
\(= 6^{\frac{7}{4}}\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \(6^{\frac{7}{4}}\)
প্রশ্ন ২১
দেখাও যে, \(\displaystyle \frac{3^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1} = (\sqrt{3})^n - 1\)
💡 সমাধান
বামপক্ষ \(= \displaystyle \frac{3^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \displaystyle \frac{((\sqrt{3})^2)^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \displaystyle \frac{\{(\sqrt{3})^n\}^2 - 1^2}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \displaystyle \frac{\{(\sqrt{3})^n + 1\}\{(\sqrt{3})^n - 1\}}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= (\sqrt{3})^n - 1 =\) ডানপক্ষ
🎯 \(\therefore \displaystyle \frac{3^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1} = (\sqrt{3})^n - 1\) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ২২
\((\sqrt{5})^{x+1} = (\sqrt[3]{5})^{2x-1}\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \((\sqrt{5})^{x+1} = (\sqrt[3]{5})^{2x-1}\)
বা, \(\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{x+1} = \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{2x-1}\)
বা, \(5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}\)
বা, \(\displaystyle \frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}\)
বা, \(3x + 3 = 4x - 2\)
বা, \(4x - 3x = 3 + 2\)
বা, \(x = 5\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(x = 5\)
প্রশ্ন ২৩
সমাধান কর : \(4^{x+1} = 32\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(4^{x+1} = 32\)
বা, \((2^2)^{x+1} = 2^5\)
বা, \(2^{2x+2} = 2^5\)
বা, \(2x + 2 = 5\)
বা, \(2x = 5 - 2\)
বা, \(2x = 3\)
\(\therefore x = \displaystyle \frac{3}{2}\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = \displaystyle \frac{3}{2}\)
প্রশ্ন ২৪
সমাধান কর : \(4^{x+3} = 2^{x-7}\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(4^{x+3} = 2^{x-7}\)
বা, \((2^2)^{x+3} = 2^{x-7}\)
বা, \(2^{2x+6} = 2^{x-7}\)
বা, \(2x + 6 = x - 7\)
বা, \(2x - x = -6 - 7\)
\(\therefore x = -13\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = -13\)
প্রশ্ন ২৫
\(8^{x+1} = 64\) হলে, \(x\) এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(8^{x+1} = 64\)
বা, \(8^{x+1} = 8^2\)
বা, \(x + 1 = 2\)
বা, \(x = 2 - 1\)
\(\therefore x = 1\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(x = 1\)
প্রশ্ন ২৬
সমাধান কর : \(9^{3x+2} = 27\)
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \(9^{3x+2} = 27\)
বা, \((3^2)^{3x+2} = 3^3\)
বা, \(3^{6x+4} = 3^3\)
বা, \(6x + 4 = 3\)
বা, \(6x = 3 - 4 = -1\)
\(\therefore x = -\displaystyle \frac{1}{6}\)
🎯 নির্ণেয় সমাধান : \(x = -\displaystyle \frac{1}{6}\)
প্রশ্ন ২৭
\((\sqrt{3})^x = 81\) হলে, \(x\)-এর মান নির্ণয় কর।
💡 সমাধান
দেওয়া আছে, \((\sqrt{3})^x = 81\)
বা, \((\sqrt{3})^x = (\sqrt{3})^8\)
\(\therefore x = 8\)
🎯 নির্ণেয় মান : \(x = 8\)
প্রশ্ন ২৮
সরল কর : \(\displaystyle \frac{\sqrt[5]{5} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt[3]{5}}\)
💡 সমাধান
প্রদত্ত রাশি \(= \displaystyle \frac{\sqrt[5]{5} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt[3]{5}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{\frac{1}{5}} \times 5^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{2}} \times 5^{\frac{1}{3}}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{\frac{4+5}{20}}}{5^{\frac{3+2}{6}}}\)
\(= \displaystyle \frac{5^{\frac{9}{20}}}{5^{\frac{5}{6}}}\)
\(= 5^{\frac{9}{20} - \frac{5}{6}}\)
\(= 5^{\frac{27-50}{60}}\)
\(= 5^{-\frac{23}{60}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{5^{\frac{23}{60}}}\)
🎯 নির্ণেয় সরলফল : \(\displaystyle \frac{1}{5^{\frac{23}{60}}}\)
