কুমিল্লা বোর্ড - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি সমাধান
১। $(0, 0)$ ও $(\cos\theta, 1)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান:
দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্রানুযায়ী,
$d = \sqrt{(\cos\theta - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{\cos^2\theta + 1}$
আমরা জানি, $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$
সুতরাং, $d = \sqrt{(1 - \sin^2\theta) + 1} = \sqrt{2 - \sin^2\theta}$।
$d = \sqrt{(\cos\theta - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{\cos^2\theta + 1}$
আমরা জানি, $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$
সুতরাং, $d = \sqrt{(1 - \sin^2\theta) + 1} = \sqrt{2 - \sin^2\theta}$।
নিচের তথ্যের আলোকে ২ নং ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$A(0, -3), B(4, -2)$ এবং $C(16, a)$ তিনটি বিন্দু।
$A(0, -3), B(4, -2)$ এবং $C(16, a)$ তিনটি বিন্দু।
২। $AB$ রেখার ঢাল কত?
সমাধান:
দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখার ঢাল, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
এখানে $A(0, -3)$ এবং $B(4, -2)$।
সুতরাং, $m = \frac{-2 - (-3)}{4 - 0} = \frac{-2 + 3}{4} = \frac{1}{4}$।
এখানে $A(0, -3)$ এবং $B(4, -2)$।
সুতরাং, $m = \frac{-2 - (-3)}{4 - 0} = \frac{-2 + 3}{4} = \frac{1}{4}$।
৩। $AB$ রেখার সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
একবিন্দুগামী এবং নির্দিষ্ট ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ, $y - y_1 = m(x - x_1)$
এখানে $m = \frac{1}{4}$ এবং বিন্দু $A(0, -3)$ ব্যবহার করে পাই:
$y - (-3) = \frac{1}{4}(x - 0) \Rightarrow 4(y + 3) = x \Rightarrow 4y + 12 = x \Rightarrow x - 4y = 12$।
এখানে $m = \frac{1}{4}$ এবং বিন্দু $A(0, -3)$ ব্যবহার করে পাই:
$y - (-3) = \frac{1}{4}(x - 0) \Rightarrow 4(y + 3) = x \Rightarrow 4y + 12 = x \Rightarrow x - 4y = 12$।
৪। $\sqrt[15]{x^{10}\sqrt{x^8\sqrt{x^4}}}$ এর সরল মান কোনটি?
সমাধান:
ভিতর থেকে রুট মুক্ত করতে হবে:
১. $\sqrt{x^4} = x^2$
২. এরপর, $\sqrt{x^8 \cdot x^2} = \sqrt{x^{10}} = x^5$
৩. সবশেষে, $\sqrt[15]{x^{10} \cdot x^5} = \sqrt[15]{x^{15}} = (x^{15})^{\frac{1}{15}} = x$।
১. $\sqrt{x^4} = x^2$
২. এরপর, $\sqrt{x^8 \cdot x^2} = \sqrt{x^{10}} = x^5$
৩. সবশেষে, $\sqrt[15]{x^{10} \cdot x^5} = \sqrt[15]{x^{15}} = (x^{15})^{\frac{1}{15}} = x$।
৫। $P(2, -2), Q(-4, 2)$ ও $R(5, t)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, $t$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, $PQ$ রেখার ঢাল = $QR$ রেখার ঢাল।
$m_{PQ} = \frac{2 - (-2)}{-4 - 2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
$m_{QR} = \frac{t - 2}{5 - (-4)} = \frac{t - 2}{9}$
শর্তমতে, $-\frac{2}{3} = \frac{t - 2}{9} \Rightarrow -18 = 3(t - 2) \Rightarrow -6 = t - 2 \Rightarrow t = -4$।
$m_{PQ} = \frac{2 - (-2)}{-4 - 2} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
$m_{QR} = \frac{t - 2}{5 - (-4)} = \frac{t - 2}{9}$
শর্তমতে, $-\frac{2}{3} = \frac{t - 2}{9} \Rightarrow -18 = 3(t - 2) \Rightarrow -6 = t - 2 \Rightarrow t = -4$।
৬। $8x^3 + 4x + k$ এর একটি উৎপাদক $2x - 1$ হলে $k$ এর মান কত?
সমাধান:
ধরি, $f(x) = 8x^3 + 4x + k$
উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ বসালে $f(x)$ এর মান $0$ হবে।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{2}\right) + k = 0$
$\Rightarrow 8\left(\frac{1}{8}\right) + 2 + k = 0 \Rightarrow 1 + 2 + k = 0 \Rightarrow k = -3$।
উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ বসালে $f(x)$ এর মান $0$ হবে।
$f\left(\frac{1}{2}\right) = 8\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 4\left(\frac{1}{2}\right) + k = 0$
$\Rightarrow 8\left(\frac{1}{8}\right) + 2 + k = 0 \Rightarrow 1 + 2 + k = 0 \Rightarrow k = -3$।
৭। $\text{cosec}\left(-\frac{\pi}{3}\right)$ এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, $\text{cosec}(-\theta) = -\text{cosec}\theta$
সুতরাং, $\text{cosec}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{cosec}(60^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$।
সুতরাং, $\text{cosec}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{cosec}(60^\circ) = -\frac{2}{\sqrt{3}}$।
৮। $p^x = y$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
সূচকীয় রাশিকে লগারিদমে প্রকাশের নিয়ম অনুযায়ী, $a^x = N$ হলে $x = \log_a N$ হয়।
এখানে, $p^x = y$ হওয়ায় $x = \log_p y$ হবে।
এখানে, $p^x = y$ হওয়ায় $x = \log_p y$ হবে।
৯। $\tan\theta = -\sqrt{3}, \pi < \theta < 2\pi$ হলে, $\theta$ এর মান কত?
সমাধান:
$\tan\theta$ এর মান ঋণাত্মক, সুতরাং $\theta$ হয় ২য় নতুবা ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত।
শর্ত দেওয়া আছে $\pi < \theta < 2\pi$ (অর্থাৎ ৩য় বা ৪র্থ চতুর্ভাগ)।
তাহলে কোণটি ৪র্থ চতুর্ভাগেই হতে হবে।
আমরা জানি, $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$।
৪র্থ চতুর্ভাগের জন্য, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$।
শর্ত দেওয়া আছে $\pi < \theta < 2\pi$ (অর্থাৎ ৩য় বা ৪র্থ চতুর্ভাগ)।
তাহলে কোণটি ৪র্থ চতুর্ভাগেই হতে হবে।
আমরা জানি, $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$।
৪র্থ চতুর্ভাগের জন্য, $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$।
১০। $\sin 120^\circ$ এর মান কত?
সমাধান:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$ (২য় চতুর্ভাগে সাইন ধনাত্মক)
আর $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
আর $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
১১। $\vec{BB}$ ভেক্টর হচ্ছে—
i. বিন্দু ভেক্টর
ii. একক ভেক্টর
iii. শূন্য ভেক্টর
নিচের কোনটি সঠিক?
i. বিন্দু ভেক্টর
ii. একক ভেক্টর
iii. শূন্য ভেক্টর
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
যে ভেক্টরের আদি বিন্দু ও প্রান্ত বিন্দু একই, তাকে শূন্য ভেক্টর (Zero Vector) বলে। এর মান শূন্য। জ্যামিতিকভাবে একে একটি বিন্দু দ্বারা সূচিত করা হয়, তাই একে বিন্দু ভেক্টরও (Point Vector) বলা যায়। কিন্তু এর মান ১ নয়, তাই এটি একক ভেক্টর নয়।
১২। 3 ঢালবিশিষ্ট এবং $(1, 2)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
সমীকরণ: $y - y_1 = m(x - x_1)$
মান বসালে পাই: $y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow y = 3x - 1$।
মান বসালে পাই: $y - 2 = 3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = 3x - 3 \Rightarrow y = 3x - 1$।
১৩। $p(x) = 36x^2 - 8x + 5$ কে $(x - 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, $(x - 1)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $p(1)$ এর সমান।
$p(1) = 36(1)^2 - 8(1) + 5 = 36 - 8 + 5 = 33$।
$p(1) = 36(1)^2 - 8(1) + 5 = 36 - 8 + 5 = 33$।
১৪। $\left(2y - \frac{1}{y^2}\right)^4$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?
সমাধান:
এখানে সূচক $n = 4$ (জোড় সংখ্যা)। তাই মধ্যপদ হবে $(\frac{4}{2} + 1)$ বা ৩য় পদ।
$T_3 = T_{2+1} = \binom{4}{2} (2y)^{4-2} \left(-\frac{1}{y^2}\right)^2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times (2y)^2 \times \frac{1}{y^4} = 6 \times 4y^2 \times \frac{1}{y^4} = \frac{24}{y^2}$।
$T_3 = T_{2+1} = \binom{4}{2} (2y)^{4-2} \left(-\frac{1}{y^2}\right)^2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times (2y)^2 \times \frac{1}{y^4} = 6 \times 4y^2 \times \frac{1}{y^4} = \frac{24}{y^2}$।
১৫। $1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \dots$ ধারাটির অষ্টম পদ নিচের কোনটি?
সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
অষ্টম পদ $T_8 = ar^{8-1} = ar^7 = 1 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^7 = \frac{1}{(\sqrt{3})^6 \times \sqrt{3}} = \frac{1}{27\sqrt{3}}$।
অষ্টম পদ $T_8 = ar^{8-1} = ar^7 = 1 \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^7 = \frac{1}{(\sqrt{3})^6 \times \sqrt{3}} = \frac{1}{27\sqrt{3}}$।
১৬। $2x - 3y = 11$ রেখার ঢাল কত?
সমাধান:
রেখার সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে সাজাই:
$3y = 2x - 11 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{11}{3}$।
সুতরাং, রেখাটির ঢাল $m = \frac{2}{3}$।
$3y = 2x - 11 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - \frac{11}{3}$।
সুতরাং, রেখাটির ঢাল $m = \frac{2}{3}$।
নিচের তথ্য হতে ১৭ নং ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
এক ব্যাগে লাল বল 12টি, সাদা বল 16টি এবং কালো বল 24টি। দৈবভাবে 1টি বল নেওয়া হলো—
এক ব্যাগে লাল বল 12টি, সাদা বল 16টি এবং কালো বল 24টি। দৈবভাবে 1টি বল নেওয়া হলো—
১৭। বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = $12 + 16 + 24 = 52$ টি।
সাদা বলের সংখ্যা = $16$ টি।
সম্ভাবনা = $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$।
সাদা বলের সংখ্যা = $16$ টি।
সম্ভাবনা = $\frac{16}{52} = \frac{4}{13}$।
১৮। বলটি লাল অথবা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
লাল এবং সাদা বল একত্রে মোট = $12 + 16 = 28$ টি।
সম্ভাবনা = $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$।
সম্ভাবনা = $\frac{28}{52} = \frac{7}{13}$।
১৯। $M$ ও $N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $(\underline{a} - \underline{b})$ ও $(\underline{a} + \underline{b})$ হলে $\vec{MN} =$ কত?
সমাধান:
$\vec{MN} = (N$ এর অবস্থান ভেক্টর$) - (M$ এর অবস্থান ভেক্টর$)$
$\vec{MN} = (\underline{a} + \underline{b}) - (\underline{a} - \underline{b}) = \underline{a} + \underline{b} - \underline{a} + \underline{b} = 2\underline{b}$।
$\vec{MN} = (\underline{a} + \underline{b}) - (\underline{a} - \underline{b}) = \underline{a} + \underline{b} - \underline{a} + \underline{b} = 2\underline{b}$।
২০। $(1 - 3x)^5$ বিস্তৃতির $x^2$ এর সহগ কত হবে?
সমাধান:
$(1 + y)^n$ এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$
এখানে $y = -3x$ এবং $n = 5$। $x^2$ পাওয়ার জন্য $r = 2$ নিতে হবে।
$T_3 = \binom{5}{2} (-3x)^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 9x^2 = 10 \times 9x^2 = 90x^2$
সুতরাং, সহগ হলো $90$।
এখানে $y = -3x$ এবং $n = 5$। $x^2$ পাওয়ার জন্য $r = 2$ নিতে হবে।
$T_3 = \binom{5}{2} (-3x)^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 9x^2 = 10 \times 9x^2 = 90x^2$
সুতরাং, সহগ হলো $90$।
২১। $\frac{2x^4 + 3x + 1}{3x^2 + 1}$ রাশিটির—
i. মুখ্য সহগ $\frac{2}{3}$
ii. ভাগশেষের মাত্রা 2
iii. ভাগফলের মাত্রা 2
নিচের কোনটি সঠিক?
i. মুখ্য সহগ $\frac{2}{3}$
ii. ভাগশেষের মাত্রা 2
iii. ভাগফলের মাত্রা 2
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. লবের মুখ্যপদ $2x^4$ এবং হরের মুখ্যপদ $3x^2$। ভাগফলের মুখ্যপদ হবে $\frac{2}{3}x^2$, যার সহগ $\frac{2}{3}$। (সঠিক)
ii. ভাজকের (হরের) মাত্রা ২ হওয়ায় ভাগশেষের মাত্রা অবশ্যই ২ এর চেয়ে ছোট (অর্থাৎ ১ বা ০) হবে। (ভুল)
iii. ভাগফলের মাত্রা = লবের মাত্রা - হরের মাত্রা = $4 - 2 = 2$। (সঠিক)
ii. ভাজকের (হরের) মাত্রা ২ হওয়ায় ভাগশেষের মাত্রা অবশ্যই ২ এর চেয়ে ছোট (অর্থাৎ ১ বা ০) হবে। (ভুল)
iii. ভাগফলের মাত্রা = লবের মাত্রা - হরের মাত্রা = $4 - 2 = 2$। (সঠিক)
২২। $1 + 0.1 + 0.01 + \dots$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যেখানে প্রথম পদ $a = 1$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = \frac{0.1}{1} = 0.1$
অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$।
অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.1} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$।
২৩। $\log_3(5 + \sqrt{3}x) = 2$ হলে $x$ এর মান কত?
সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী: $5 + \sqrt{3}x = 3^2$
$\Rightarrow 5 + \sqrt{3}x = 9 \Rightarrow \sqrt{3}x = 9 - 5 \Rightarrow \sqrt{3}x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
$\Rightarrow 5 + \sqrt{3}x = 9 \Rightarrow \sqrt{3}x = 9 - 5 \Rightarrow \sqrt{3}x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
২৪। নিচের কোনটি প্রতিসম?
সমাধান:
কোনো রাশিতে উপস্থিত চলকগুলোর যেকোনো দুটির স্থান বিনিময় করলে যদি রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে তাকে প্রতিসম রাশি বলে। (ঘ) অপশনে $x, y, z$ এর যেকোনো দুটির স্থান পরিবর্তন করলে মূল রাশি একই থাকে।
২৫। i. $\binom{5}{0} = 1$
ii. $\binom{5}{1} = 5$
iii. $^5C_2 = 10$
নিচের কোনটি সঠিক?
ii. $\binom{5}{1} = 5$
iii. $^5C_2 = 10$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. $\binom{5}{0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$ (সঠিক)
ii. $\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$ (সঠিক)
iii. $^5C_2 = \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ (সঠিক)
সুতরাং তিনটি বিবৃতিই সঠিক।
ii. $\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5$ (সঠিক)
iii. $^5C_2 = \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ (সঠিক)
সুতরাং তিনটি বিবৃতিই সঠিক।
){kind=link}
0 Comments