চট্টগ্রাম বোর্ড - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি (MCQ) সমাধান
১। $\frac{8x-13}{(x-1)(x-2)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ হলে $(A,B)$ এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $8x-13 = A(x-2) + B(x-1)$
$x=1$ বসিয়ে পাই: $8(1)-13 = A(1-2) \Rightarrow -5 = -A \Rightarrow A=5$
$x=2$ বসিয়ে পাই: $8(2)-13 = B(2-1) \Rightarrow 16-13 = B \Rightarrow B=3$
সুতরাং, $(A, B) = (5, 3)$।
$x=1$ বসিয়ে পাই: $8(1)-13 = A(1-2) \Rightarrow -5 = -A \Rightarrow A=5$
$x=2$ বসিয়ে পাই: $8(2)-13 = B(2-1) \Rightarrow 16-13 = B \Rightarrow B=3$
সুতরাং, $(A, B) = (5, 3)$।
২। $7^{\log_7 5^2}$ এর মান কত?
সমাধান:
লগারিদমের সূত্রানুযায়ী, $a^{\log_a x} = x$
এখানে $a = 7$ এবং $x = 5^2 = 25$
সুতরাং, $7^{\log_7 25} = 25$।
এখানে $a = 7$ এবং $x = 5^2 = 25$
সুতরাং, $7^{\log_7 25} = 25$।
৩। $(z^2 + z^{-2})^8$ এর বিস্তৃতিতে কততম পদ $z$ বর্জিত?
সমাধান:
সাধারণ পদ, $T_{r+1} = \binom{8}{r} (z^2)^{8-r} (z^{-2})^r = \binom{8}{r} z^{16-2r} \cdot z^{-2r} = \binom{8}{r} z^{16-4r}$
$z$ বর্জিত পদের জন্য, $z$ এর সূচক শূন্য হবে।
$16 - 4r = 0 \Rightarrow 4r = 16 \Rightarrow r = 4$
সুতরাং, পদটি হলো $(r+1) = (4+1) = 5$ বা পঞ্চম পদ।
$z$ বর্জিত পদের জন্য, $z$ এর সূচক শূন্য হবে।
$16 - 4r = 0 \Rightarrow 4r = 16 \Rightarrow r = 4$
সুতরাং, পদটি হলো $(r+1) = (4+1) = 5$ বা পঞ্চম পদ।
৪। নিচের কোনটি প্রতিসম রাশি?
সমাধান:
যে রাশিতে যেকোনো দুটি চলকের স্থান বিনিময় করলে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না, তাকে প্রতিসম রাশি বলে।
(ঘ) নম্বর রাশিতে $x, y, z$ এর যেকোনো দুটির স্থান পরিবর্তন করলেও মূল রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে।
(ঘ) নম্বর রাশিতে $x, y, z$ এর যেকোনো দুটির স্থান পরিবর্তন করলেও মূল রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে।
৫। $a^3 + 2a^2 - 5a - 6$ বহুপদীর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
ধরি, $f(a) = a^3 + 2a^2 - 5a - 6$
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $a = -3$ বসালে,
$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0$
যেহেতু $f(-3) = 0$, তাই $(a - (-3)) = (a + 3)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $a = -3$ বসালে,
$f(-3) = (-3)^3 + 2(-3)^2 - 5(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0$
যেহেতু $f(-3) = 0$, তাই $(a - (-3)) = (a + 3)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
৬। $5^{3x-6} = m$ সমীকরণে—
i. $m=1$ হলে, $x=2$
ii. $x=3$ হলে, $m=125$
iii. $x=2$ হলে, $m=0$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $m=1$ হলে, $x=2$
ii. $x=3$ হলে, $m=125$
iii. $x=2$ হলে, $m=0$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. $m=1$ হলে, $5^{3x-6} = 1 \Rightarrow 5^{3x-6} = 5^0 \Rightarrow 3x-6=0 \Rightarrow x=2$ (সঠিক)
ii. $x=3$ হলে, $m = 5^{3(3)-6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125$ (সঠিক)
iii. $x=2$ হলে, $m = 5^{3(2)-6} = 5^0 = 1 \neq 0$ (ভুল)
ii. $x=3$ হলে, $m = 5^{3(3)-6} = 5^{9-6} = 5^3 = 125$ (সঠিক)
iii. $x=2$ হলে, $m = 5^{3(2)-6} = 5^0 = 1 \neq 0$ (ভুল)
৭। $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^5} + \dots$ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, $a = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2} < 1$
অসীমতক সমষ্টি, $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।
প্রথম পদ, $a = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{2} < 1$
অসীমতক সমষ্টি, $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1/4}{1 - 1/2} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$।
৮। $2 \cdot 8^P = 4^{P+2}$ হলে, $P$ এর মান কত?
সমাধান:
$2 \cdot (2^3)^P = (2^2)^{P+2}$
$\Rightarrow 2^1 \cdot 2^{3P} = 2^{2P+4}$
$\Rightarrow 2^{3P+1} = 2^{2P+4}$
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাত সমান হবে: $3P + 1 = 2P + 4 \Rightarrow P = 3$।
$\Rightarrow 2^1 \cdot 2^{3P} = 2^{2P+4}$
$\Rightarrow 2^{3P+1} = 2^{2P+4}$
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাত সমান হবে: $3P + 1 = 2P + 4 \Rightarrow P = 3$।
৯। $P(x) = 4x^2 - 7x^3 - 5x^4 + 8 + 6x$ বহুপদীর মুখ্য সহগ কোনটি?
সমাধান:
কোনো বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাতযুক্ত পদকে মুখ্য পদ এবং তার সহগকে মুখ্য সহগ বলে।
এখানে সর্বোচ্চ ঘাতযুক্ত পদটি হলো $-5x^4$, তাই মুখ্য সহগ হলো $-5$।
এখানে সর্বোচ্চ ঘাতযুক্ত পদটি হলো $-5x^4$, তাই মুখ্য সহগ হলো $-5$।
১০। নিচের কোনটি $1.\dot{5}\dot{2}$ এর মূলদীয় ভগ্নাংশ?
সমাধান:
$1.\dot{5}\dot{2} = \frac{152 - 1}{99} = \frac{151}{99}$।
এখানে দশমিক বিন্দুর পর দুটি সংখ্যার ওপর পৌনঃপুনিক থাকায় হরে দুটি ৯ বসেছে এবং লবে সম্পূর্ণ সংখ্যা থেকে পৌনঃপুনিক ছাড়া অংশ বিয়োগ করা হয়েছে।
এখানে দশমিক বিন্দুর পর দুটি সংখ্যার ওপর পৌনঃপুনিক থাকায় হরে দুটি ৯ বসেছে এবং লবে সম্পূর্ণ সংখ্যা থেকে পৌনঃপুনিক ছাড়া অংশ বিয়োগ করা হয়েছে।
১১। $P(-6, 3)$ বিন্দু থেকে $y$ অক্ষের দূরত্ব এবং $Q(m, -3)$ বিন্দু থেকে মূলবিন্দুর দূরত্ব সমান হলে $m$ এর মান কত?
সমাধান:
$P(-6, 3)$ বিন্দু হতে $y$-অক্ষের দূরত্ব = $|-6| = 6$
$Q(m, -3)$ বিন্দু হতে মূলবিন্দু $(0,0)$ এর দূরত্ব = $\sqrt{m^2 + (-3)^2} = \sqrt{m^2 + 9}$
শর্তমতে, $\sqrt{m^2 + 9} = 6 \Rightarrow m^2 + 9 = 36 \Rightarrow m^2 = 27 \Rightarrow m = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।
$Q(m, -3)$ বিন্দু হতে মূলবিন্দু $(0,0)$ এর দূরত্ব = $\sqrt{m^2 + (-3)^2} = \sqrt{m^2 + 9}$
শর্তমতে, $\sqrt{m^2 + 9} = 6 \Rightarrow m^2 + 9 = 36 \Rightarrow m^2 = 27 \Rightarrow m = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$।
১২। $(1 + 2y)^6$ এর বিস্তৃতিতে $y^3$ এর সহগ কোনটি?
সমাধান:
$(1+x)^n$ এর বিস্তৃতিতে $T_{r+1} = \binom{n}{r} x^r$
এখানে $y^3$ পাওয়ার জন্য $r = 3$ হতে হবে।
$T_{3+1} = \binom{6}{3} (2y)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8y^3 = 20 \cdot 8y^3 = 160y^3$
সুতরাং, $y^3$ এর সহগ ১৬০।
এখানে $y^3$ পাওয়ার জন্য $r = 3$ হতে হবে।
$T_{3+1} = \binom{6}{3} (2y)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8y^3 = 20 \cdot 8y^3 = 160y^3$
সুতরাং, $y^3$ এর সহগ ১৬০।
১৩। $\theta$ সূক্ষ্মকোণ হলে, $(\frac{39\pi}{2} + \theta)$ কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?
সমাধান:
$\frac{39\pi}{2} = 19.5\pi = 18\pi + 1.5\pi$
$18\pi$ হলো $2\pi$ এর গুণিতক (৯ বার পূর্ণ ঘূর্ণন), তাই এটি আদি অবস্থানেই ফিরে আসে।
বাকি থাকে $1.5\pi$ বা $\frac{3\pi}{2}$ (২৭০°)। এর সাথে সূক্ষ্মকোণ $\theta$ যোগ করলে কোণটি ৪র্থ চতুর্ভাগে পড়বে।
$18\pi$ হলো $2\pi$ এর গুণিতক (৯ বার পূর্ণ ঘূর্ণন), তাই এটি আদি অবস্থানেই ফিরে আসে।
বাকি থাকে $1.5\pi$ বা $\frac{3\pi}{2}$ (২৭০°)। এর সাথে সূক্ষ্মকোণ $\theta$ যোগ করলে কোণটি ৪র্থ চতুর্ভাগে পড়বে।
১৪। $S$ এবং $T$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $4\underline{a} - 3\underline{b}$ এবং $3\underline{a} - 2\underline{b}$ হলে $\vec{ST} =$ কত?
সমাধান:
$\vec{ST} = (T$ এর অবস্থান ভেক্টর$) - (S$ এর অবস্থান ভেক্টর$)$
$\vec{ST} = (3\underline{a} - 2\underline{b}) - (4\underline{a} - 3\underline{b}) = 3\underline{a} - 2\underline{b} - 4\underline{a} + 3\underline{b} = -\underline{a} + \underline{b}$।
$\vec{ST} = (3\underline{a} - 2\underline{b}) - (4\underline{a} - 3\underline{b}) = 3\underline{a} - 2\underline{b} - 4\underline{a} + 3\underline{b} = -\underline{a} + \underline{b}$।
১৫। $\cot\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ হলে, $\theta$ এর মান কত?
সমাধান:
শর্ত অনুযায়ী $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত এবং সেখানে $\cot$ ধনাত্মক।
আমরা জানি, $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
তৃতীয় চতুর্ভাগের জন্য, $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$।
আমরা জানি, $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
তৃতীয় চতুর্ভাগের জন্য, $\theta = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$।
১৬। $f(x) = \ln(10-x)$ ফাংশনটির ডোমেন কোনটি?
সমাধান:
লগারিদমিক ফাংশন কেবল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।
তাই, $10 - x > 0 \Rightarrow 10 > x \Rightarrow x < 10$।
ডোমেন: $\{x \in \mathbb{R} : x < 10\}$।
তাই, $10 - x > 0 \Rightarrow 10 > x \Rightarrow x < 10$।
ডোমেন: $\{x \in \mathbb{R} : x < 10\}$।
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$M(7, 3)$ এবং $N(-2, -6)$ বিন্দুগামী রেখা $x$-অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
$M(7, 3)$ এবং $N(-2, -6)$ বিন্দুগামী রেখা $x$-অক্ষকে $A$ বিন্দুতে ছেদ করে।
১৭। রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধান:
রেখাটির ঢাল, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-6 - 3}{-2 - 7} = \frac{-9}{-9} = 1$
আমরা জানি, $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \tan\theta = \tan 45^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ$।
আমরা জানি, $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = 1 \Rightarrow \tan\theta = \tan 45^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ$।
১৮। $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
সমাধান:
সরলরেখার সমীকরণ: $y - y_1 = m(x - x_1) \Rightarrow y - 3 = 1(x - 7) \Rightarrow y = x - 4$
$x$-অক্ষকে ছেদ করলে $y = 0$ হয়।
$0 = x - 4 \Rightarrow x = 4$
সুতরাং, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 0)$।
$x$-অক্ষকে ছেদ করলে $y = 0$ হয়।
$0 = x - 4 \Rightarrow x = 4$
সুতরাং, $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(4, 0)$।
১৯। $\Delta PQR$ এর $PQ$ এবং $PR$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ এবং $N$ হলে $\vec{PM} + \vec{MN} =$ কত?
সমাধান:
ভেক্টরের ত্রিভুজ সূত্র অনুযায়ী, $\Delta PMN$-এ $\vec{PM} + \vec{MN} = \vec{PN}$
যেহেতু $N$ হলো $PR$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $\vec{PN} = \frac{1}{2}\vec{PR}$।
সুতরাং, $\vec{PM} + \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{PR}$।
যেহেতু $N$ হলো $PR$ এর মধ্যবিন্দু, তাই $\vec{PN} = \frac{1}{2}\vec{PR}$।
সুতরাং, $\vec{PM} + \vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{PR}$।
২০। $2x + y + 2 = 0$ এবং $cx - 2y + 4 = 0$ সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে, $c$ এর মান নিচের কোনটি হবে?
সমাধান:
প্রথম রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{x \text{ এর সহগ}}{y \text{ এর সহগ}} = -\frac{2}{1} = -2$
দ্বিতীয় রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{c}{-2} = \frac{c}{2}$
সমান্তরাল হওয়ার শর্তমতে ঢাল সমান হবে: $m_1 = m_2 \Rightarrow -2 = \frac{c}{2} \Rightarrow c = -4$।
দ্বিতীয় রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{c}{-2} = \frac{c}{2}$
সমান্তরাল হওয়ার শর্তমতে ঢাল সমান হবে: $m_1 = m_2 \Rightarrow -2 = \frac{c}{2} \Rightarrow c = -4$।
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হলো।
তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে একবার নিক্ষেপ করা হলো।
২১। কমপক্ষে 2H পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
তিনটি মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনা বিন্দুগুলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} (মোট ৮টি)
কমপক্ষে 2H (২ বা ততোধিক হেড) আছে এমন বিন্দুগুলো: {HHH, HHT, HTH, THH} (মোট ৪টি)
নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
কমপক্ষে 2H (২ বা ততোধিক হেড) আছে এমন বিন্দুগুলো: {HHH, HHT, HTH, THH} (মোট ৪টি)
নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।
২২। বড়জোর 1T আসার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
বড়জোর 1T এর অর্থ হলো সর্বোচ্চ একটি টেইল আসতে পারে (অর্থাৎ 0T বা 1T)।
0T (কোনো টেইল নেই): {HHH} (১টি)
1T (একটি টেইল): {HHT, HTH, THH} (৩টি)
মোট অনুকূল ফলাফল = ১ + ৩ = ৪টি।
সম্ভাবনা = $\frac{4}{8}$।
0T (কোনো টেইল নেই): {HHH} (১টি)
1T (একটি টেইল): {HHT, HTH, THH} (৩টি)
মোট অনুকূল ফলাফল = ১ + ৩ = ৪টি।
সম্ভাবনা = $\frac{4}{8}$।
২৩। $P(2, -3), Q(3, 0)$ এবং $R(0, 1)$ শীর্ষবিশিষ্ট $PQR$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি?
সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |2(0 - 1) + 3(1 - (-3)) + 0(-3 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |-2 + 3(4) + 0| = \frac{1}{2} |-2 + 12| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ বর্গ একক।
$= \frac{1}{2} |2(0 - 1) + 3(1 - (-3)) + 0(-3 - 0)|$
$= \frac{1}{2} |-2 + 3(4) + 0| = \frac{1}{2} |-2 + 12| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ বর্গ একক।
২৪। একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে—
i. বিজোড় এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{6}$
ii. জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$
iii. মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. বিজোড় এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{6}$
ii. জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$
iii. মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
নমুনা ক্ষেত্র $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (মোট ৬টি)
i. বিজোড় এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো শুধুমাত্র {3}। সম্ভাবনা = $\frac{1}{6}$ (সঠিক)
ii. জোড় সংখ্যাগুলো হলো {2, 4, 6}। সম্ভাবনা = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (সঠিক)
iii. মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো {2, 3, 5}। সম্ভাবনা = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (সঠিক)
i. বিজোড় এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো শুধুমাত্র {3}। সম্ভাবনা = $\frac{1}{6}$ (সঠিক)
ii. জোড় সংখ্যাগুলো হলো {2, 4, 6}। সম্ভাবনা = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (সঠিক)
iii. মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো {2, 3, 5}। সম্ভাবনা = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (সঠিক)
২৫। $A(-1, 1)$ বিন্দুগামী ও $\frac{1}{3}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?
সমাধান:
একবিন্দুগামী রেখার সমীকরণ: $y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - 1 = \frac{1}{3}(x - (-1))$
$\Rightarrow 3(y - 1) = x + 1$
$\Rightarrow 3y - 3 = x + 1$
$\Rightarrow x - 3y + 4 = 0$।
$y - 1 = \frac{1}{3}(x - (-1))$
$\Rightarrow 3(y - 1) = x + 1$
$\Rightarrow 3y - 3 = x + 1$
$\Rightarrow x - 3y + 4 = 0$।
){kind=link}
0 Comments