১। $(x^6 + \frac{1}{x^6} - 2)^6$ এর বিস্তৃতিতে পদসংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= ((x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^3} + (\frac{1}{x^3})^2)^6 = ((x^3 - \frac{1}{x^3})^2)^6 = (x^3 - \frac{1}{x^3})^{12}$।
আমরা জানি, বিস্তৃতির ঘাত $n$ হলে পদসংখ্যা হয় $n+1$।
সুতরাং, পদসংখ্যা $= 12 + 1 = 13$।
আমরা জানি, বিস্তৃতির ঘাত $n$ হলে পদসংখ্যা হয় $n+1$।
সুতরাং, পদসংখ্যা $= 12 + 1 = 13$।
২।
$C(3,0)$ এবং $D(0,-4)$ বিন্দুগামী $CD$ রেখার সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
অক্ষদ্বয়কে ছেদকারী রেখার সমীকরণ, $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
এখানে $X$ অক্ষের ছেদকাংশ $a = 3$ এবং $Y$ অক্ষের ছেদকাংশ $b = -4$।
সমীকরণ: $\frac{x}{3} + \frac{y}{-4} = 1 \Rightarrow \frac{4x - 3y}{12} = 1 \Rightarrow 4x - 3y = 12$।
এখানে $X$ অক্ষের ছেদকাংশ $a = 3$ এবং $Y$ অক্ষের ছেদকাংশ $b = -4$।
সমীকরণ: $\frac{x}{3} + \frac{y}{-4} = 1 \Rightarrow \frac{4x - 3y}{12} = 1 \Rightarrow 4x - 3y = 12$।
৩। $x + y = 5$ সরলরেখাটি $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত যে কোণ উৎপন্ন করে তার পরিমাণ কত?
সমাধান:
প্রদত্ত রেখা: $x + y = 5 \Rightarrow y = -x + 5$।
এখানে ঢাল, $m = -1$।
আমরা জানি, $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = -1 \Rightarrow \tan\theta = \tan(180^\circ - 45^\circ) = \tan 135^\circ$।
অতএব, $\theta = 135^\circ$।
এখানে ঢাল, $m = -1$।
আমরা জানি, $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = -1 \Rightarrow \tan\theta = \tan(180^\circ - 45^\circ) = \tan 135^\circ$।
অতএব, $\theta = 135^\circ$।
৪। $2x - \sqrt{5}y + 3 = 0$ রেখার ঢাল কত?
সমাধান:
সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে সাজিয়ে পাই: $\sqrt{5}y = 2x + 3 \Rightarrow y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{3}{\sqrt{5}}$।
সুতরাং ঢাল, $m = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
সুতরাং ঢাল, $m = \frac{2}{\sqrt{5}}$।
৫। $\tan\theta = \frac{4}{3}$ এবং $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ হলে $\sin\theta$ এর মান কত?
সমাধান:
$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$ শর্তমতে, $\theta$ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। তৃতীয় চতুর্ভাগে $\sin\theta$ ঋণাত্মক।
$\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{3}$। পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী অতিভুজ $= \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$।
অতএব, $\sin\theta = -\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = -\frac{4}{5}$।
$\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{4}{3}$। পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী অতিভুজ $= \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$।
অতএব, $\sin\theta = -\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = -\frac{4}{5}$।
৬।
$PQRS$ সামান্তরিকের দুইটি কর্ণ $PR$ এবং $QS$ হলে—
i. $\vec{CR} - \vec{CQ} = \vec{QR}$
ii. $\vec{QC} = \vec{CS} = \frac{1}{2}\vec{QS}$
iii. $\frac{1}{2}\vec{PS} = \frac{1}{2}\vec{PR} + \frac{1}{2}\vec{QS}$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\vec{CR} - \vec{CQ} = \vec{QR}$
ii. $\vec{QC} = \vec{CS} = \frac{1}{2}\vec{QS}$
iii. $\frac{1}{2}\vec{PS} = \frac{1}{2}\vec{PR} + \frac{1}{2}\vec{QS}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. ত্রিভুজ সূত্রানুযায়ী: $\vec{CQ} + \vec{QR} = \vec{CR} \Rightarrow \vec{QR} = \vec{CR} - \vec{CQ}$। (সঠিক)
ii. সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং দিক একই হওয়ায় $\vec{QC} = \vec{CS} = \frac{1}{2}\vec{QS}$। (সঠিক)
iii. সামান্তরিকের সূত্রানুসারে $\vec{PQ} + \vec{PS} = \vec{PR}$। তাই তিন নম্বর উক্তিটি ভুল।
ii. সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং দিক একই হওয়ায় $\vec{QC} = \vec{CS} = \frac{1}{2}\vec{QS}$। (সঠিক)
iii. সামান্তরিকের সূত্রানুসারে $\vec{PQ} + \vec{PS} = \vec{PR}$। তাই তিন নম্বর উক্তিটি ভুল।
৭। $M$ ও $N$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $2\underline{a} + 3\underline{b}$ এবং $3\underline{a} - 5\underline{b}$ হলে $\vec{MN} =$ কত?
সমাধান:
$\vec{MN} = (N$ এর অবস্থান ভেক্টর$) - (M$ এর অবস্থান ভেক্টর$)$
$= (3\underline{a} - 5\underline{b}) - (2\underline{a} + 3\underline{b}) = 3\underline{a} - 5\underline{b} - 2\underline{a} - 3\underline{b} = \underline{a} - 8\underline{b}$।
$= (3\underline{a} - 5\underline{b}) - (2\underline{a} + 3\underline{b}) = 3\underline{a} - 5\underline{b} - 2\underline{a} - 3\underline{b} = \underline{a} - 8\underline{b}$।
৮। $\sin(10\pi + \theta) =$ কত?
সমাধান:
$10\pi$ হলো $2\pi$ এর গুণিতক (অর্থাৎ ৫ বার পূর্ণ ঘূর্ণন)। তাই কোণটি প্রথম চতুর্ভাগেই অবস্থান করবে, যেখানে সাইন ধনাত্মক।
সুতরাং, $\sin(10\pi + \theta) = \sin\theta$।
সুতরাং, $\sin(10\pi + \theta) = \sin\theta$।
৯। $1 + \log_a(bc) = 0$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
আমরা জানি $1 = \log_a(a)$।
প্রদত্ত সমীকরণ: $\log_a(a) + \log_a(bc) = 0 \Rightarrow \log_a(abc) = 0$।
সূচকের নিয়মানুযায়ী, $abc = a^0 \Rightarrow abc = 1 \Rightarrow abc - 1 = 0$।
প্রদত্ত সমীকরণ: $\log_a(a) + \log_a(bc) = 0 \Rightarrow \log_a(abc) = 0$।
সূচকের নিয়মানুযায়ী, $abc = a^0 \Rightarrow abc = 1 \Rightarrow abc - 1 = 0$।
১০। $(1 - \frac{x}{3})^6$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?
সমাধান:
এখানে $n = 6$ (জোড়)। মধ্যপদ হবে $(\frac{6}{2} + 1)$ তম পদ = $4$র্থ পদ।
$T_{3+1} = \binom{6}{3} (1)^{6-3} (-\frac{x}{3})^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (-\frac{x^3}{27}) = 20 \times (-\frac{x^3}{27}) = -\frac{20x^3}{27}$।
$T_{3+1} = \binom{6}{3} (1)^{6-3} (-\frac{x}{3})^3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (-\frac{x^3}{27}) = 20 \times (-\frac{x^3}{27}) = -\frac{20x^3}{27}$।
১১। $x + y + 3 = 0$ সরলরেখাটির—
i. উপরস্থ একটি বিন্দু $(-2, -1)$
ii. ঢাল $-1$
iii. $y$ অক্ষের ছেদক $-3$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. উপরস্থ একটি বিন্দু $(-2, -1)$
ii. ঢাল $-1$
iii. $y$ অক্ষের ছেদক $-3$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. বিন্দুটি সমীকরণে বসালে: $-2 + (-1) + 3 = 0$। (সঠিক)
ii. রেখাটিকে সাজালে: $y = -x - 3$, যার ঢাল $-1$। (সঠিক)
iii. $Y$ অক্ষের ছেদকাংশ হলো ধ্রুবক পদ $c = -3$। (সঠিক)
ii. রেখাটিকে সাজালে: $y = -x - 3$, যার ঢাল $-1$। (সঠিক)
iii. $Y$ অক্ষের ছেদকাংশ হলো ধ্রুবক পদ $c = -3$। (সঠিক)
১২। সিলেট শহরে জুন মাসে 12 দিন বৃষ্টি হয়েছে। 15 জুন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
জুন মাস ৩০ দিনের। মোট সম্ভাব্য ফলাফল $n(S) = 30$।
অনুকূল ফলাফল (বৃষ্টির দিন) $n(A) = 12$।
নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$।
অনুকূল ফলাফল (বৃষ্টির দিন) $n(A) = 12$।
নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$।
১৩। জনির ঢাকা হতে সিলেট বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{5}{6}$ এবং সিলেট হতে রংপুর ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{5}{7}$।
জনির ঢাকা হতে সিলেট বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
জনির ঢাকা হতে সিলেট বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা $P(A) = \frac{5}{6}$।
বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$।
বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$।
১৪। জনির ঢাকা হতে সিলেট বাসে কিন্তু সিলেট হতে রংপুর ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা $= 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$।
উভয় স্বাধীন ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা $= \frac{5}{6} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$।
উভয় স্বাধীন ঘটনা একসাথে ঘটার সম্ভাবনা $= \frac{5}{6} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$।
১৫। $\frac{2x^3 + 3x^2 + 5x}{x}$ বহুপদীর ধ্রুবপদ কত?
সমাধান:
ভাগফলটি হলো: $\frac{x(2x^2 + 3x + 5)}{x} = 2x^2 + 3x + 5$।
এখানে ধ্রুবপদ বা $x$ বর্জিত পদটি হলো ৫।
এখানে ধ্রুবপদ বা $x$ বর্জিত পদটি হলো ৫।
১৬। $\frac{2x + 1}{x(x - 1)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ হলে, $(A, B)$ এর মান কত?
সমাধান:
অভ্যাদটি গুণ করলে: $2x + 1 = A(x - 1) + Bx$
$x = 0$ বসালে: $1 = -A \Rightarrow A = -1$
$x = 1$ বসালে: $3 = B \Rightarrow B = 3$
সুতরাং, $(A, B) = (-1, 3)$।
$x = 0$ বসালে: $1 = -A \Rightarrow A = -1$
$x = 1$ বসালে: $3 = B \Rightarrow B = 3$
সুতরাং, $(A, B) = (-1, 3)$।
১৭। নিচের কোনটি প্রতিসম রাশি—
সমাধান:
প্রতিসম রাশির ক্ষেত্রে যেকোনো দুটি চলকের স্থান বিনিময় করলে রাশির মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।
(খ) অপশনে $p, q, r$ এর যেকোনো দুটির স্থান বদল করলেও মান একই থাকে।
(খ) অপশনে $p, q, r$ এর যেকোনো দুটির স্থান বদল করলেও মান একই থাকে।
১৮। $3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + \dots$ ধারাটির 10 তম পদ কত?
সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = 3$, সাধারণ অনুপাত $r = \frac{0.3}{3} = 0.1 = 10^{-1}$।
১০ম পদ $= ar^{10-1} = 3 \times (10^{-1})^9 = 3 \times 10^{-9}$।
১০ম পদ $= ar^{10-1} = 3 \times (10^{-1})^9 = 3 \times 10^{-9}$।
১৯। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r}$ যেখানে $|r| < 1$।
$S_\infty = \frac{3}{1 - 0.1} = \frac{3}{0.9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$।
$S_\infty = \frac{3}{1 - 0.1} = \frac{3}{0.9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$।
২০। $0, 1, 0, 1, \dots$ অনুক্রমটির—
i. 12 তম পদ 1
ii. প্রথম 9 পদের সমষ্টি 5
iii. সাধারণ পদ $\frac{1 - (-1)^n}{2}$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. 12 তম পদ 1
ii. প্রথম 9 পদের সমষ্টি 5
iii. সাধারণ পদ $\frac{1 - (-1)^n}{2}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. জোড় পদগুলো 1, তাই 12 তম পদ 1 হবে। (সঠিক)
ii. প্রথম ৯টি পদের মধ্যে ৫টি '0' এবং ৪টি '1' থাকবে, তাই সমষ্টি হবে ৪। উক্তিটি ভুল।
iii. $n=1$ হলে $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, কিন্তু অনুক্রমটির প্রথম পদ 0. তবে প্রশ্নে প্রদত্ত চিত্রে সম্ভাব্য সাধারণ পদ $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ হলে তা $n=1$ এর জন্য 0 এবং $n=2$ এর জন্য 1 দেয়, যা সঠিক। বোর্ডের প্রশ্নে থাকা অপশন অনুযায়ী (খ) উত্তর।
ii. প্রথম ৯টি পদের মধ্যে ৫টি '0' এবং ৪টি '1' থাকবে, তাই সমষ্টি হবে ৪। উক্তিটি ভুল।
iii. $n=1$ হলে $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, কিন্তু অনুক্রমটির প্রথম পদ 0. তবে প্রশ্নে প্রদত্ত চিত্রে সম্ভাব্য সাধারণ পদ $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ হলে তা $n=1$ এর জন্য 0 এবং $n=2$ এর জন্য 1 দেয়, যা সঠিক। বোর্ডের প্রশ্নে থাকা অপশন অনুযায়ী (খ) উত্তর।
২১। $\cot^2\frac{\pi}{6} + \cos^2\frac{\pi}{6}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
$\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$ এবং $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
মান বসালে: $(\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 + \frac{3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$।
মান বসালে: $(\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 + \frac{3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$।
২২। $3^{x+3} + 3^{x+1} = 810$ হলে, $x = ?$
সমাধান:
$3^{x+1} \cdot 3^2 + 3^{x+1} = 810 \Rightarrow 3^{x+1}(9 + 1) = 810 \Rightarrow 3^{x+1} \cdot 10 = 810$
$3^{x+1} = 81 \Rightarrow 3^{x+1} = 3^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$।
$3^{x+1} = 81 \Rightarrow 3^{x+1} = 3^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$।
২৩। $\sqrt{x^5 \sqrt[3]{x^{12} \sqrt[3]{x^9}}}$ এর মান কত?
সমাধান:
ভিতর থেকে শুরু করলে, $\sqrt[3]{x^9} = x^{\frac{9}{3}} = x^3$।
এরপর, $\sqrt[3]{x^{12} \cdot x^3} = \sqrt[3]{x^{15}} = x^{\frac{15}{3}} = x^5$।
অবশেষে, $\sqrt{x^5 \cdot x^5} = \sqrt{x^{10}} = x^5$।
এরপর, $\sqrt[3]{x^{12} \cdot x^3} = \sqrt[3]{x^{15}} = x^{\frac{15}{3}} = x^5$।
অবশেষে, $\sqrt{x^5 \cdot x^5} = \sqrt{x^{10}} = x^5$।
২৪। $\log_{2\sqrt{3}} x = 2$ হলে, $x$ এর মান কত?
সমাধান:
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, $x = (2\sqrt{3})^2$
$x = 4 \times 3 = 12$।
$x = 4 \times 3 = 12$।
২৫। $(1 - \frac{x}{2})^8$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ কত?
সমাধান:
সাধারণ পদ $T_{r+1} = \binom{8}{r} (1)^{8-r} (-\frac{x}{2})^r$।
$x^3$ পেতে হলে $r = 3$ হতে হবে।
$T_4 = \binom{8}{3} (-\frac{x}{2})^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times (-\frac{x^3}{8}) = 56 \times (-\frac{x^3}{8}) = -7x^3$।
সুতরাং, $x^3$ এর সহগ হলো -7।
$x^3$ পেতে হলে $r = 3$ হতে হবে।
$T_4 = \binom{8}{3} (-\frac{x}{2})^3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times (-\frac{x^3}{8}) = 56 \times (-\frac{x^3}{8}) = -7x^3$।
সুতরাং, $x^3$ এর সহগ হলো -7।
){kind=link}
0 Comments