ঢাকা বোর্ড - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি সমাধান
১। $5 - 5 + 5 - 5 + \dots$ ধারাটির ১ম $4n^2$ ($n \in \mathbb{N}$) পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি পর্যায়বৃত্ত ধারা। এর জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি সবসময় 0 হয়।
যেহেতু $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($n \in \mathbb{N}$), সেহেতু $4n^2$ সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, প্রথম $4n^2$ পদের সমষ্টি হবে 0।
যেহেতু $n$ একটি স্বাভাবিক সংখ্যা ($n \in \mathbb{N}$), সেহেতু $4n^2$ সর্বদা একটি জোড় সংখ্যা।
সুতরাং, প্রথম $4n^2$ পদের সমষ্টি হবে 0।
নিচের তথ্যের আলোকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$p^x = q, q^y = r, r^z = p^2$ এবং $q^2 = pr$
$p^x = q, q^y = r, r^z = p^2$ এবং $q^2 = pr$
২। $xyz$ এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $r^z = p^2$
আবার, $r = q^y \implies (q^y)^z = p^2 \implies q^{yz} = p^2$
আবার, $q = p^x \implies (p^x)^{yz} = p^2 \implies p^{xyz} = p^2$
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাত সমান হবে। অতএব, $xyz = 2$।
আবার, $r = q^y \implies (q^y)^z = p^2 \implies q^{yz} = p^2$
আবার, $q = p^x \implies (p^x)^{yz} = p^2 \implies p^{xyz} = p^2$
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাত সমান হবে। অতএব, $xyz = 2$।
৩। $2x - xy$ এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $q^2 = pr$
$q$ এবং $r$ এর মান বসালে পাই: $(p^x)^2 = p \cdot (q^y)$
$p^{2x} = p \cdot (p^x)^y \implies p^{2x} = p^1 \cdot p^{xy} \implies p^{2x} = p^{1 + xy}$
ঘাত সমীকৃত করে পাই: $2x = 1 + xy \implies 2x - xy = 1$।
$q$ এবং $r$ এর মান বসালে পাই: $(p^x)^2 = p \cdot (q^y)$
$p^{2x} = p \cdot (p^x)^y \implies p^{2x} = p^1 \cdot p^{xy} \implies p^{2x} = p^{1 + xy}$
ঘাত সমীকৃত করে পাই: $2x = 1 + xy \implies 2x - xy = 1$।
৪। $\Delta OPQ$ এর $O$ বিন্দু সাপেক্ষে $P$ ও $Q$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underline{p}$ ও $\underline{q}$ হলে $\vec{QP} = ?$
সমাধান:
ভেক্টরের বিয়োগ বিধি অনুযায়ী, $\vec{QP} = (P$ এর অবস্থান ভেক্টর$) - (Q$ এর অবস্থান ভেক্টর$)$
$\vec{QP} = \vec{OP} - \vec{OQ} = \underline{p} - \underline{q}$।
$\vec{QP} = \vec{OP} - \vec{OQ} = \underline{p} - \underline{q}$।
৫। $x, y$ ও $z$ পরপর তিনটি ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হলে $\log(1 + xz) = ?$
সমাধান:
যেহেতু $x, y, z$ পরপর তিনটি ধনাত্মক অখণ্ড (ক্রমিক) সংখ্যা, তাই আমরা লিখতে পারি $y = x + 1$ এবং $z = x + 2$।
এখন, $1 + xz = 1 + x(x + 2) = 1 + x^2 + 2x = (x + 1)^2 = y^2$
সুতরাং, $\log(1 + xz) = \log(y^2) = 2 \log y$।
এখন, $1 + xz = 1 + x(x + 2) = 1 + x^2 + 2x = (x + 1)^2 = y^2$
সুতরাং, $\log(1 + xz) = \log(y^2) = 2 \log y$।
৬। $\text{cosec} A = -\frac{\sqrt{5}}{2} \left(\frac{3\pi}{2} < A < 2\pi\right)$ হলে—
i. $\cos A = \frac{1}{\sqrt{5}}$
ii. $\tan A = -2$
iii. $\sin A + \sec A = \frac{3}{\sqrt{5}}$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\cos A = \frac{1}{\sqrt{5}}$
ii. $\tan A = -2$
iii. $\sin A + \sec A = \frac{3}{\sqrt{5}}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
শর্ত অনুযায়ী $A$ চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থিত, যেখানে $\cos$ এবং $\sec$ ধনাত্মক এবং বাকি সব ঋণাত্মক।
$\sin A = \frac{1}{\text{cosec} A} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$।
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$। (i সঠিক)
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = -2$। (ii সঠিক)
$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \sqrt{5}$।
$\sin A + \sec A = -\frac{2}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{-2 + 5}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$। (iii সঠিক)
$\sin A = \frac{1}{\text{cosec} A} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$।
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$। (i সঠিক)
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = -2$। (ii সঠিক)
$\sec A = \frac{1}{\cos A} = \sqrt{5}$।
$\sin A + \sec A = -\frac{2}{\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \frac{-2 + 5}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$। (iii সঠিক)
৭। $P(-10, -5), Q(-5, 0), R(x, 5)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, $x$ এর মান কত?
সমাধান:
বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে $PQ$ এর ঢাল = $QR$ এর ঢাল হবে।
$m_{PQ} = \frac{0 - (-5)}{-5 - (-10)} = \frac{5}{5} = 1$
$m_{QR} = \frac{5 - 0}{x - (-5)} = \frac{5}{x + 5}$
শর্তমতে, $\frac{5}{x + 5} = 1 \implies x + 5 = 5 \implies x = 0$।
$m_{PQ} = \frac{0 - (-5)}{-5 - (-10)} = \frac{5}{5} = 1$
$m_{QR} = \frac{5 - 0}{x - (-5)} = \frac{5}{x + 5}$
শর্তমতে, $\frac{5}{x + 5} = 1 \implies x + 5 = 5 \implies x = 0$।
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$A = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^6$
$A = \left(1 - \frac{x}{2}\right)^6$
৮। $A$ এর বিস্তৃতিতে $x$ এর সহগ কত?
সমাধান:
দ্বিপদী বিস্তৃতির সূত্রানুযায়ী, $T_{r+1} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
এখানে $x$ এর সহগ বের করতে $r = 1$ ধরতে হবে।
$T_2 = \binom{6}{1} (1)^5 \left(-\frac{x}{2}\right)^1 = 6 \times \left(-\frac{x}{2}\right) = -3x$
সুতরাং $x$ এর সহগ -3।
এখানে $x$ এর সহগ বের করতে $r = 1$ ধরতে হবে।
$T_2 = \binom{6}{1} (1)^5 \left(-\frac{x}{2}\right)^1 = 6 \times \left(-\frac{x}{2}\right) = -3x$
সুতরাং $x$ এর সহগ -3।
৯। $A = (1.25)^6$ হলে, $A$ এর বিস্তৃতির ৩য় পদ পর্যন্ত আসন্ন মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $\left(1 - \frac{x}{2}\right)^6 = (1.25)^6 \implies 1 - \frac{x}{2} = 1.25 \implies \frac{x}{2} = -0.25$
বিস্তৃতির ১ম ৩টি পদ: $1 + \binom{6}{1}\left(-\frac{x}{2}\right) + \binom{6}{2}\left(-\frac{x}{2}\right)^2$
মান বসিয়ে পাই: $1 + 6(0.25) + 15(0.25)^2$
$= 1 + 1.5 + 15(0.0625) = 2.5 + 0.9375 = 3.4375$
আসন্ন মান হিসেবে এটি প্রায় 3.438 বা 3.439 নির্দেশ করে (বোর্ডের অপশনে খ দেওয়া আছে)।
বিস্তৃতির ১ম ৩টি পদ: $1 + \binom{6}{1}\left(-\frac{x}{2}\right) + \binom{6}{2}\left(-\frac{x}{2}\right)^2$
মান বসিয়ে পাই: $1 + 6(0.25) + 15(0.25)^2$
$= 1 + 1.5 + 15(0.0625) = 2.5 + 0.9375 = 3.4375$
আসন্ন মান হিসেবে এটি প্রায় 3.438 বা 3.439 নির্দেশ করে (বোর্ডের অপশনে খ দেওয়া আছে)।
১০। $3x - 5y = 6$ ও $6x + ky = 12$ রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে $k$ এর মান কত?
সমাধান:
দুটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে তাদের $x$ ও $y$ এর সহগের অনুপাত সমান হয়।
$\frac{3}{6} = \frac{-5}{k} \implies \frac{1}{2} = \frac{-5}{k} \implies k = -10$।
$\frac{3}{6} = \frac{-5}{k} \implies \frac{1}{2} = \frac{-5}{k} \implies k = -10$।
১১। $-5\underline{m} + 6\underline{n}$ ভেক্টরের সমান্তরাল ভেক্টর নিচের কোনটি?
সমাধান:
দুটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে একটি অপরটির স্কেলার গুণিতক হবে।
$-1 \times (-5\underline{m} + 6\underline{n}) = 5\underline{m} - 6\underline{n}$।
যেহেতু এটি একটি স্কেলার গুণিতক, তাই এটি প্রদত্ত ভেক্টরের সমান্তরাল।
$-1 \times (-5\underline{m} + 6\underline{n}) = 5\underline{m} - 6\underline{n}$।
যেহেতু এটি একটি স্কেলার গুণিতক, তাই এটি প্রদত্ত ভেক্টরের সমান্তরাল।
১২। $P(x) = 2x^2 + 1, Q(x) = 4x^3 + 4x + 1$ এবং $F(x) = P(x) \cdot Q(x)$ হলে, $F(x)$ এর মাত্রা কত?
সমাধান:
দুটি বহুপদী গুণ করলে গুণফলের মাত্রা হয় তাদের মাত্রার যোগফল।
এখানে $P(x)$ এর মাত্রা 2 এবং $Q(x)$ এর মাত্রা 3।
সুতরাং, $F(x)$ এর মাত্রা = $2 + 3 = 5$।
এখানে $P(x)$ এর মাত্রা 2 এবং $Q(x)$ এর মাত্রা 3।
সুতরাং, $F(x)$ এর মাত্রা = $2 + 3 = 5$।
১৩। $f(x) = \ln(9 - 5x)$ হলে—
i. $9 - 5x \ge 0$ এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত
ii. ডোমেন $(-\infty, \frac{9}{5})$
iii. রেঞ্জ $(-\infty, \infty)$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $9 - 5x \ge 0$ এর জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত
ii. ডোমেন $(-\infty, \frac{9}{5})$
iii. রেঞ্জ $(-\infty, \infty)$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. লগারিদম কেবল ধনাত্মক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। অর্থাৎ $9 - 5x > 0$ হতে হবে ($\ge$ নয়)। তাই i ভুল।
ii. $9 - 5x > 0 \implies 9 > 5x \implies x < \frac{9}{5}$। সুতরাং ডোমেন $(-\infty, \frac{9}{5})$। (ii সঠিক)
iii. লগারিদমিক ফাংশনের রেঞ্জ সর্বদা সকল বাস্তব সংখ্যার সেট $(-\infty, \infty)$। (iii সঠিক)
সঠিক উত্তর ii ও iii।
ii. $9 - 5x > 0 \implies 9 > 5x \implies x < \frac{9}{5}$। সুতরাং ডোমেন $(-\infty, \frac{9}{5})$। (ii সঠিক)
iii. লগারিদমিক ফাংশনের রেঞ্জ সর্বদা সকল বাস্তব সংখ্যার সেট $(-\infty, \infty)$। (iii সঠিক)
সঠিক উত্তর ii ও iii।
১৪। ২০২৭ সালের ১৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
২০২৭ সাল অধিবর্ষ (Leap year) নয়, তাই ফেব্রুয়ারি মাস ২৮ দিনের হবে।
১৪ ফেব্রুয়ারি মাসের নির্দিষ্ট একটি দিন।
মাসের যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{1}{28}$।
১৪ ফেব্রুয়ারি মাসের নির্দিষ্ট একটি দিন।
মাসের যেকোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{1}{28}$।
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
$3x - 5y = 30$ একটি সরল রেখার সমীকরণ
$3x - 5y = 30$ একটি সরল রেখার সমীকরণ
১৫। রেখাটির ঢাল ও $y$ অক্ষের ছেদকের যোগফল কত?
সমাধান:
সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে প্রকাশ করি: $5y = 3x - 30 \implies y = \frac{3}{5}x - 6$
এখানে ঢাল, $m = \frac{3}{5}$ এবং $Y$-অক্ষের ছেদক, $c = -6$
যোগফল = $\frac{3}{5} - 6 = \frac{3 - 30}{5} = -\frac{27}{5}$।
এখানে ঢাল, $m = \frac{3}{5}$ এবং $Y$-অক্ষের ছেদক, $c = -6$
যোগফল = $\frac{3}{5} - 6 = \frac{3 - 30}{5} = -\frac{27}{5}$।
১৬। রেখাটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
সমাধান:
সমীকরণটিকে $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ আকারে প্রকাশ করি:
$\frac{3x}{30} - \frac{5y}{30} = 1 \implies \frac{x}{10} + \frac{y}{-6} = 1$
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} |a \times b| = \frac{1}{2} |10 \times (-6)| = \frac{1}{2} \times 60 = 30$ বর্গ একক।
$\frac{3x}{30} - \frac{5y}{30} = 1 \implies \frac{x}{10} + \frac{y}{-6} = 1$
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} |a \times b| = \frac{1}{2} |10 \times (-6)| = \frac{1}{2} \times 60 = 30$ বর্গ একক।
১৭। $x^3 - 6x + 9$ কে $x + 2$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, ভাজক $x + 2 = 0 \implies x = -2$।
ভাগশেষ $f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 9 = -8 + 12 + 9 = 13$।
ভাগশেষ $f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 9 = -8 + 12 + 9 = 13$।
১৮। $\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}$ হলে, $\theta$ এর মান কত?
সমাধান:
উভয়পক্ষকে $\sqrt{2}$ দিয়ে ভাগ করে পাই: $\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = 1$
$\implies \sin\theta \cos\frac{\pi}{4} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{4} = 1$
$\implies \sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1$
যেহেতু $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, তাই $\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
$\implies \sin\theta \cos\frac{\pi}{4} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{4} = 1$
$\implies \sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 1$
যেহেতু $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, তাই $\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$।
১৯। $Q(x, y, z) = (x + y + z) \{(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2\}$ হলে—
i. রাশিটি প্রতিসম
ii. রাশিটি সমমাত্রিক
iii. $Q(2, 3, 4) = 54$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. রাশিটি প্রতিসম
ii. রাশিটি সমমাত্রিক
iii. $Q(2, 3, 4) = 54$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. যেকোনো দুটি চলকের স্থান বিনিময় করলেও রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি প্রতিসম। (সঠিক)
ii. রাশিটির প্রতিটি পদের মোট মাত্রা ৩ (১ম অংশে মাত্রা ১, ২য় অংশে মাত্রা ২; গুণফল মাত্রা ৩), তাই এটি সমমাত্রিক। (সঠিক)
iii. $Q(2, 3, 4) = (2+3+4) \{(2-3)^2 + (3-4)^2 + (4-2)^2\} = 9 \{1 + 1 + 4\} = 9 \times 6 = 54$। (সঠিক)
ii. রাশিটির প্রতিটি পদের মোট মাত্রা ৩ (১ম অংশে মাত্রা ১, ২য় অংশে মাত্রা ২; গুণফল মাত্রা ৩), তাই এটি সমমাত্রিক। (সঠিক)
iii. $Q(2, 3, 4) = (2+3+4) \{(2-3)^2 + (3-4)^2 + (4-2)^2\} = 9 \{1 + 1 + 4\} = 9 \times 6 = 54$। (সঠিক)
২০। $\sqrt{3}x - 3y = 12$ রেখাটি $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কোন ধরনের কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধান:
সমীকরণ: $3y = \sqrt{3}x - 12 \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 4 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 4$
এখানে ঢাল, $m = \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
যেহেতু $\tan\theta$ ধনাত্মক, সেহেতু উৎপন্ন কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ ($30^\circ$)।
এখানে ঢাল, $m = \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
যেহেতু $\tan\theta$ ধনাত্মক, সেহেতু উৎপন্ন কোণটি একটি সূক্ষ্মকোণ ($30^\circ$)।
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:
একটি ঝুড়িতে 10 টি কালো, 8 টি লাল ও 14 টি হলুদ বল আছে।
একটি ঝুড়িতে 10 টি কালো, 8 টি লাল ও 14 টি হলুদ বল আছে।
২১। ঝুড়ি হতে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে, বলটি কালো অথবা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
মোট বল = $10 + 8 + 14 = 32$ টি।
কালো এবং লাল বলের মোট সংখ্যা = $10 + 8 = 18$ টি।
নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{18}{32} = \frac{9}{16}$।
কালো এবং লাল বলের মোট সংখ্যা = $10 + 8 = 18$ টি।
নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{18}{32} = \frac{9}{16}$।
২২। প্রতিস্থাপন না করে ঝুড়ি হতে পরপর দুইটি বল তুলে নেওয়া হলে, বল দুইটি হলুদ রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
১ম বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{14}{32}$
যেহেতু বল প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই ২য় বল তোলার সময় মোট বল ৩১টি এবং হলুদ বল ১৩টি।
২য় বলটিও হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{13}{31}$
উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = $\frac{14}{32} \times \frac{13}{31} = \frac{7}{16} \times \frac{13}{31} = \frac{91}{496}$।
যেহেতু বল প্রতিস্থাপন করা হয়নি, তাই ২য় বল তোলার সময় মোট বল ৩১টি এবং হলুদ বল ১৩টি।
২য় বলটিও হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{13}{31}$
উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = $\frac{14}{32} \times \frac{13}{31} = \frac{7}{16} \times \frac{13}{31} = \frac{91}{496}$।
২৩। $(3 + 4x)(5x^2 - 2)$ বহুপদীর মাত্রা ও ধ্রুবপদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
বহুপদীটিকে গুণ করলে: $15x^2 - 6 + 20x^3 - 8x = 20x^3 + 15x^2 - 8x - 6$
বহুপদীটির মাত্রা (সর্বোচ্চ ঘাত) = 3 এবং ধ্রুবপদ = -6।
সমষ্টি = $3 + (-6) = -3$।
বহুপদীটির মাত্রা (সর্বোচ্চ ঘাত) = 3 এবং ধ্রুবপদ = -6।
সমষ্টি = $3 + (-6) = -3$।
২৪। $PQRS$ ট্রাপিজিয়ামের $PR$ ও $QS$ কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। $|\vec{PQ}| = 24$ সে.মি., $|\vec{RS}| = 6$ সে.মি. হলে $|\vec{MN}|$ এর মান কত সে.মি.?
সমাধান:
যেকোনো ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তরের অর্ধেক হয়।
$|\vec{MN}| = \frac{1}{2} \left| |\vec{PQ}| - |\vec{RS}| \right| = \frac{1}{2}(24 - 6) = \frac{18}{2} = 9$ সে.মি.।
$|\vec{MN}| = \frac{1}{2} \left| |\vec{PQ}| - |\vec{RS}| \right| = \frac{1}{2}(24 - 6) = \frac{18}{2} = 9$ সে.মি.।
২৫। $P(-2, 4)$ এবং $Q(5, 2)$ হলে, $PQ$ এর—
i. দৈর্ঘ্য $= \sqrt{53}$ একক
ii. ঢাল $= -\frac{2}{7}$
iii. সমীকরণ $2x + 7y = 24$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. দৈর্ঘ্য $= \sqrt{53}$ একক
ii. ঢাল $= -\frac{2}{7}$
iii. সমীকরণ $2x + 7y = 24$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. দৈর্ঘ্য $PQ = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$। (সঠিক)
ii. ঢাল $m = \frac{2 - 4}{5 - (-2)} = \frac{-2}{7}$। (সঠিক)
iii. সরলরেখার সমীকরণ: $y - 4 = -\frac{2}{7}(x - (-2)) \implies 7y - 28 = -2x - 4 \implies 2x + 7y = 24$। (সঠিক)
সুতরাং তিনটি উক্তিই সঠিক।
ii. ঢাল $m = \frac{2 - 4}{5 - (-2)} = \frac{-2}{7}$। (সঠিক)
iii. সরলরেখার সমীকরণ: $y - 4 = -\frac{2}{7}(x - (-2)) \implies 7y - 28 = -2x - 4 \implies 2x + 7y = 24$। (সঠিক)
সুতরাং তিনটি উক্তিই সঠিক।
){kind=link}
0 Comments