যশোর বোর্ড - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি সমাধান
১। $(y^4 - 2 + y^{-4})^4$ এর বিস্তৃতিতে পদ সংখ্যা কয়টি?
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি $= ((y^2)^2 - 2 \cdot y^2 \cdot y^{-2} + (y^{-2})^2)^4 = ((y^2 - y^{-2})^2)^4 = (y^2 - y^{-2})^8$।
আমরা জানি, বিস্তৃতির ঘাত $n$ হলে পদসংখ্যা হয় $n+1$।
সুতরাং, পদসংখ্যা $= 8 + 1 = 9$।
আমরা জানি, বিস্তৃতির ঘাত $n$ হলে পদসংখ্যা হয় $n+1$।
সুতরাং, পদসংখ্যা $= 8 + 1 = 9$।
২। $1.1\dot{4}\dot{5} =$ কত?
সমাধান:
পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে:
$1.1\dot{4}\dot{5} = \frac{1145 - 11}{990} = \frac{1134}{990}$।
লব ও হরকে 18 দ্বারা ভাগ করলে পাই $\frac{63}{55}$।
লব ও হরকে 18 দ্বারা ভাগ করলে পাই $\frac{63}{55}$।
৩। কোনো অনুক্রমের $n$ তম পদ $U_n = \frac{1}{n}$ এবং $U_n < \frac{1}{5^{-3}}$ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
দেওয়া আছে, $U_n < \frac{1}{5^{-3}}$
$\Rightarrow \frac{1}{n} < 5^3 \Rightarrow \frac{1}{n} < 125$
ব্যস্তকরণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়: $n > \frac{1}{125}$।
$\Rightarrow \frac{1}{n} < 5^3 \Rightarrow \frac{1}{n} < 125$
ব্যস্তকরণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তন হয়: $n > \frac{1}{125}$।
৪। $f(x) = \ln x$ এর ডোমেইন কোনটি?
সমাধান:
লগারিদমিক ফাংশন কেবল ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়। তাই $x > 0$ হতে হবে।
সুতরাং ডোমেইন হবে $(0, \infty)$।
সুতরাং ডোমেইন হবে $(0, \infty)$।
৫। $p^x = q, q^y = r$ এবং $r^z = p^3$ হলে, $xyz$ এর মান কত?
সমাধান:
$p^3 = r^z = (q^y)^z = q^{yz} = (p^x)^{yz} = p^{xyz}$
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাতগুলোও সমান হবে। অতএব, $xyz = 3$।
ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাতগুলোও সমান হবে। অতএব, $xyz = 3$।
৬। যদি $m, n, p > 0$ এবং $m \neq 1, n \neq 1$ হয়, তবে—
i. $\log_m p = \log_n p \times \log_m n$
ii. $\log_m \sqrt{m} \times \log_n \sqrt{n} \times \log_p \sqrt{p} = \frac{1}{8}$
iii. $x^{\log_m y} = y^{\log_m x}$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\log_m p = \log_n p \times \log_m n$
ii. $\log_m \sqrt{m} \times \log_n \sqrt{n} \times \log_p \sqrt{p} = \frac{1}{8}$
iii. $x^{\log_m y} = y^{\log_m x}$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্রানুযায়ী এটি সঠিক।
ii. $\frac{1}{2} \log_m m \times \frac{1}{2} \log_n n \times \frac{1}{2} \log_p p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ (সঠিক)।
iii. এটি লগারিদমের একটি প্রতিষ্ঠিত ধর্ম। $x^{\log_m y} = y^{\log_m x}$ (সঠিক)।
ii. $\frac{1}{2} \log_m m \times \frac{1}{2} \log_n n \times \frac{1}{2} \log_p p = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ (সঠিক)।
iii. এটি লগারিদমের একটি প্রতিষ্ঠিত ধর্ম। $x^{\log_m y} = y^{\log_m x}$ (সঠিক)।
৭। $\sqrt{3}x - y - 5 = 0$ রেখাটি $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
সমীকরণটিকে $y = mx + c$ আকারে লিখলে: $y = \sqrt{3}x - 5$।
এখানে ঢাল $m = \sqrt{3}$। আমরা জানি $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$।
এখানে ঢাল $m = \sqrt{3}$। আমরা জানি $m = \tan\theta \Rightarrow \tan\theta = \sqrt{3} \Rightarrow \theta = 60^\circ$।
৮। $2x - y + 7 = 0$ এবং $3x + ky = 5$ রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে, $k$ এর মান কত হবে?
সমাধান:
প্রথম রেখার ঢাল $m_1 = -\frac{2}{-1} = 2$।
দ্বিতীয় রেখার ঢাল $m_2 = -\frac{3}{k}$।
সমান্তরাল হওয়ার শর্তানুযায়ী: $2 = -\frac{3}{k} \Rightarrow 2k = -3 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$।
দ্বিতীয় রেখার ঢাল $m_2 = -\frac{3}{k}$।
সমান্তরাল হওয়ার শর্তানুযায়ী: $2 = -\frac{3}{k} \Rightarrow 2k = -3 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$।
৯। মূল বিন্দুর সাপেক্ষে $D$ ও $E$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $5\underline{a} - 3\underline{b}$ ও $-3\underline{a} + \underline{b}$ হলে, $\vec{DE} =$ কত?
সমাধান:
$\vec{DE} = (E$ এর অবস্থান ভেক্টর$) - (D$ এর অবস্থান ভেক্টর$)$
$= (-3\underline{a} + \underline{b}) - (5\underline{a} - 3\underline{b}) = -8\underline{a} + 4\underline{b} = 4(\underline{b} - 2\underline{a})$।
$= (-3\underline{a} + \underline{b}) - (5\underline{a} - 3\underline{b}) = -8\underline{a} + 4\underline{b} = 4(\underline{b} - 2\underline{a})$।
১০। $(a, 0), (0, b)$ এবং $(1, 1)$ বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
অক্ষদ্বয়কে ছেদ করে এমন রেখার সমীকরণ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$।
যেহেতু রেখাটি $(1, 1)$ বিন্দুগামী, সেহেতু $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
$\Rightarrow \frac{b + a}{ab} = 1 \Rightarrow a + b = ab$।
যেহেতু রেখাটি $(1, 1)$ বিন্দুগামী, সেহেতু $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$
$\Rightarrow \frac{b + a}{ab} = 1 \Rightarrow a + b = ab$।
১১। $P(-1, 3)$ এবং $Q(2, -5)$ হলে, $PQ$ এর—
i. দৈর্ঘ্য $\sqrt{73}$ একক
ii. ঢাল $-\frac{8}{3}$
iii. সমীকরণ $2x - 3y - 11 = 0$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. দৈর্ঘ্য $\sqrt{73}$ একক
ii. ঢাল $-\frac{8}{3}$
iii. সমীকরণ $2x - 3y - 11 = 0$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. দৈর্ঘ্য $= \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$ (সঠিক)।
ii. ঢাল $= \frac{-5 - 3}{2 - (-1)} = -\frac{8}{3}$ (সঠিক)।
iii. সমীকরণ: $y - 3 = -\frac{8}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = -8x - 8 \Rightarrow 8x + 3y - 1 = 0$। (ভুল)
ii. ঢাল $= \frac{-5 - 3}{2 - (-1)} = -\frac{8}{3}$ (সঠিক)।
iii. সমীকরণ: $y - 3 = -\frac{8}{3}(x + 1) \Rightarrow 3y - 9 = -8x - 8 \Rightarrow 8x + 3y - 1 = 0$। (ভুল)
১২।
উপরের চিত্রের (একটি সামান্তরিক $EFGH$) আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
যেকোনো বদ্ধ বহুভুজের ক্ষেত্রে, একই ক্রমে নেওয়া ভেক্টরগুলোর সমষ্টি শূন্য হয়।
চিত্রে $E \to F \to G \to H \to E$ একটি চক্র পূর্ণ করে, তাই $\vec{EF} + \vec{FG} + \vec{GH} + \vec{HE} = 0$ সঠিক।
চিত্রে $E \to F \to G \to H \to E$ একটি চক্র পূর্ণ করে, তাই $\vec{EF} + \vec{FG} + \vec{GH} + \vec{HE} = 0$ সঠিক।
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
$4y + x = 5$ এবং $3x + 4y - 12 = 0$ দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
$4y + x = 5$ এবং $3x + 4y - 12 = 0$ দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
১৩। প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?
সমাধান:
১ম রেখার ঢাল, $m_1 = -\frac{1}{4}$
২য় রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{3}{4}$
গুণফল $= \left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{16}$।
২য় রেখার ঢাল, $m_2 = -\frac{3}{4}$
গুণফল $= \left(-\frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{16}$।
১৪। দ্বিতীয় রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় তার ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
২য় সমীকরণ: $3x + 4y = 12 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 1$
এখানে $X$-অক্ষের ছেদক $a=4$ এবং $Y$-অক্ষের ছেদক $b=3$।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |ab| = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ বর্গ একক।
এখানে $X$-অক্ষের ছেদক $a=4$ এবং $Y$-অক্ষের ছেদক $b=3$।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} |ab| = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ বর্গ একক।
১৫। $\sin\left(\theta - \frac{13\pi}{2}\right) =$ কত?
সমাধান:
$\sin\left(\theta - \frac{13\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right)$
$= -\sin\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta$।
$= -\sin\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = -\cos\theta$।
১৬। যদি $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ হয়, তবে—
i. $\theta = \frac{7\pi}{4}$
ii. $\sin(9\theta) = \cos\theta$
iii. $\cos^2(4\theta) + 2 \sin(2\theta) = 3$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\theta = \frac{7\pi}{4}$
ii. $\sin(9\theta) = \cos\theta$
iii. $\cos^2(4\theta) + 2 \sin(2\theta) = 3$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. ৪র্থ চতুর্ভাগের জন্য $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ একটি বৈধ মান। (সঠিক)
ii. প্রধান মান $\theta = \frac{\pi}{4}$ বিবেচনা করলে, $\sin(9 \times \frac{\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। তাই মান সমান। (সঠিক)
iii. $\theta = \frac{\pi}{4}$ বসালে, $\cos^2(\pi) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = (-1)^2 + 2(1) = 3$ হয়, কিন্তু অন্যান্য সাধারণ মানের জন্য সবসময় ৩ হবে না। তাই এটি সার্বজনীন নয়। সঠিক উত্তর (ক)।
ii. প্রধান মান $\theta = \frac{\pi}{4}$ বিবেচনা করলে, $\sin(9 \times \frac{\pi}{4}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। তাই মান সমান। (সঠিক)
iii. $\theta = \frac{\pi}{4}$ বসালে, $\cos^2(\pi) + 2\sin(\frac{\pi}{2}) = (-1)^2 + 2(1) = 3$ হয়, কিন্তু অন্যান্য সাধারণ মানের জন্য সবসময় ৩ হবে না। তাই এটি সার্বজনীন নয়। সঠিক উত্তর (ক)।
১৭। 2000 সালের ফেব্রুয়ারি মাসে 5 দিন বৃষ্টি হয়েছিল। 12 ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
২০০০ সালটি অধিবর্ষ বা লিপ ইয়ার, তাই ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনের।
মোট ফলাফল = ২৯ এবং অনুকূল ফলাফল (বৃষ্টির দিন) = ৫।
নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{5}{29}$।
মোট ফলাফল = ২৯ এবং অনুকূল ফলাফল (বৃষ্টির দিন) = ৫।
নির্ণেয় সম্ভাবনা $= \frac{5}{29}$।
নিচের তথ্যের আলোকে ১৮ ও ১৯নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
40টি টিকেটে 1 থেকে 40 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেওয়া আছে।
40টি টিকেটে 1 থেকে 40 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেওয়া আছে।
১৮। টিকেটগুলো ভালভাবে মিশিয়ে দৈবভাবে একটি টিকেট নেওয়া হলে, ক্রমিক নম্বরটি 40 এর গুণনীয়ক না হবার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
৪০ এর গুণনীয়কগুলো হলো: ১, ২, ৪, ৫, ৮, ১০, ২০, ৪০ (মোট ৮টি)।
গুণনীয়ক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$।
গুণনীয়ক না হওয়ার সম্ভাবনা = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
গুণনীয়ক হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{8}{40} = \frac{1}{5}$।
গুণনীয়ক না হওয়ার সম্ভাবনা = $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$।
১৯। টিকেটগুলো ভালভাবে মিশিয়ে দৈবভাবে একটি টিকেট নেওয়া হলে, ক্রমিক নম্বরটি মৌলিক হবার সম্ভাবনা কত?
সমাধান:
১ থেকে ৪০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭ (মোট ১২টি)।
সম্ভাবনা = $\frac{12}{40} = \frac{3}{10}$।
সম্ভাবনা = $\frac{12}{40} = \frac{3}{10}$।
২০। $x^3 + 2x^2 + 3x + 2m$ এর একটি উৎপাদক $(x+2)$ হলে, $m$ এর মান কত?
সমাধান:
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, $x = -2$ বসালে রাশির মান শূন্য হবে।
$(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2) + 2m = 0$
$\Rightarrow -8 + 8 - 6 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = 6 \Rightarrow m = 3$।
$(-2)^3 + 2(-2)^2 + 3(-2) + 2m = 0$
$\Rightarrow -8 + 8 - 6 + 2m = 0 \Rightarrow 2m = 6 \Rightarrow m = 3$।
২১। যদি $\frac{x+5}{(x-1)(x-3)} \equiv \frac{P}{x-1} + \frac{Q}{x-3}$ হয়, তবে $P$ ও $Q$ এর মান যথাক্রমে কোনটি?
সমাধান:
সমীকরণটিকে গুণ করলে: $x+5 \equiv P(x-3) + Q(x-1)$
$x = 1$ বসালে: $6 = P(1-3) \Rightarrow -2P = 6 \Rightarrow P = -3$
$x = 3$ বসালে: $8 = Q(3-1) \Rightarrow 2Q = 8 \Rightarrow Q = 4$
সুতরাং, মানদ্বয় $-3$ ও $4$।
$x = 1$ বসালে: $6 = P(1-3) \Rightarrow -2P = 6 \Rightarrow P = -3$
$x = 3$ বসালে: $8 = Q(3-1) \Rightarrow 2Q = 8 \Rightarrow Q = 4$
সুতরাং, মানদ্বয় $-3$ ও $4$।
২২। $p(l, m, n) = l^3 + m^3 + n^3$ হলে—
i. $p(l, m, n)$ চক্রক্রমিক রাশি
ii. $p(l, m, n)$ প্রতিসম রাশি
iii. $p(1, -2, 1) = 0$
নিচের কোনটি সঠিক?
i. $p(l, m, n)$ চক্রক্রমিক রাশি
ii. $p(l, m, n)$ প্রতিসম রাশি
iii. $p(1, -2, 1) = 0$
নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
i. চলকগুলোকে চক্রাকারে পরিবর্তন করলেও রাশির মান অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি চক্রক্রমিক। (সঠিক)
ii. যেকোনো দুটি চলক স্থান বিনিময় করলেও রাশি অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি প্রতিসম। (সঠিক)
iii. $p(1, -2, 1) = 1^3 + (-2)^3 + 1^3 = 1 - 8 + 1 = -6 \neq 0$। (ভুল)
ii. যেকোনো দুটি চলক স্থান বিনিময় করলেও রাশি অপরিবর্তিত থাকে, তাই এটি প্রতিসম। (সঠিক)
iii. $p(1, -2, 1) = 1^3 + (-2)^3 + 1^3 = 1 - 8 + 1 = -6 \neq 0$। (ভুল)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪নং প্রশ্নের উত্তর দাও :
$5 - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} + \dots$ একটি অনন্ত ধারা।
$5 - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25} + \dots$ একটি অনন্ত ধারা।
২৩। ধারাটির 15 তম পদ কত?
সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার ১ম পদ $a = 5$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = -\frac{1}{5}$।
১৫ তম পদ $= ar^{15-1} = 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right)^{14} = 5 \times \frac{1}{5^{14}} = \frac{1}{5^{13}}$।
১৫ তম পদ $= ar^{15-1} = 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right)^{14} = 5 \times \frac{1}{5^{14}} = \frac{1}{5^{13}}$।
২৪। ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
সমাধান:
অসীমতক সমষ্টি $S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{5}{1 - \left(-\frac{1}{5}\right)} = \frac{5}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{5}{\frac{6}{5}} = \frac{25}{6}$।
২৫। $\frac{n(n-1)!}{(n-2)!}$ এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
লবকে ভেঙে লিখলে: $\frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{(n-2)!} = n(n-1)$।
 ){kind=link}
0 Comments