এসএসসি সাধারন গণিত _ অধ্যায়ঃ ৩ _ টপিক ভিত্তিক গাণিতিক সমস্যা

অধ্যায় ৩ ❯ বীজগাণিতিক রাশি

সৃজনশীল প্রশ্নঃ ১
\( p = 3 + 2\sqrt{2}, a^4 + a^{-4} = 119, (x+y)^2 = \sqrt[3]{27} \) এবং \( (x-y)^2 = \sqrt[3]{8} \)

i. \( x^3 + y^3 - 7(x+y)^2 \) এর মান নির্ণয় কর। ✪ [ব. বো.২২ (অনুরূপ)]

ii. প্রমাণ কর যে, \( a^2 - 3a - 1 = 0 \) অথবা, \( a = 3 + \frac{1}{a} \), যখন \( a > 0 \) ✪✪ [রা.বো.২৫; চ.বো.২২]

iii. \( p^4 - \frac{1}{p^4} \) এর মান নির্ণয় কর। ✪✪
[ঢা. বো. ২৩ (অনুরূপ); সি. বো. ১৯, ২৪ (অনুরূপ); রা. বো. ২৩, ২০ (অনুরূপ); ব. বো. ২০ (অনুরূপ); চ. বো. ১৯ (অনুরূপ); য. বো. ১৯ (অনুরূপ)]

iv. প্রমাণ কর যে, \( a^6 - 1 - 36a^3 = 0 \) ✪✪ [চ.বো. ১৯]

v. \( \frac{p^6+1}{p^3} \) এর মান নির্ণয় কর। ✪✪ [চ.বো. ২২]

vi. দেখাও যে, \( 5(x^3y + xy^3) = \frac{25}{8} \) ✪ [কু.বো. ২৪; সি.বো. ২৫ (অনুরূপ); ম.বো. ২৩ (অনুরূপ); দি.বো. ২৩ (অনুরূপ); য. বো. ২৩ (অনুরূপ); ব.বো. ২৩, ১৯ (অনুরূপ); রা.বো. ২২ (অনুরূপ)]

vii. দেখাও যে, \( p\sqrt{p} + \frac{1}{p\sqrt{p}} = 10\sqrt{2} \) ✪✪
[ম.বো. ২৫; সি.বো. ১৯; ম.বো. ২০ (অনুরূপ)]

সমাধান

i দেওয়া আছে, \( (x+y)^2 = \sqrt[3]{27} = 3 \therefore x+y = \sqrt{3} \)

এবং \( (x-y)^2 = \sqrt[3]{8} = 2 \therefore x-y = \sqrt{2} \)

প্রদত্ত রাশি \( = x^3 + y^3 - 7(x+y)^2 \)
\( = (x+y)^3 - 3xy(x+y) - 7(x+y)^2 \)
\( = (x+y)^3 - \frac{3}{4}\{(x+y)^2 - (x-y)^2\}(x+y) - 7(x+y)^2 \)
\( = (\sqrt{3})^3 - \frac{3}{4}(3 - 2) \times \sqrt{3} - 7 \times 3 \)
\( = 3\sqrt{3} - \frac{3}{4}\sqrt{3} - 21 = \frac{12\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} - 21 \)
\( = \frac{9\sqrt{3}}{4} - 21 = \frac{9\sqrt{3} - 84}{4} \) (Ans.)

ii দেওয়া আছে, \( a^4 + a^{-4} = 119 \) বা, \( a^4 + \frac{1}{a^4} = 119 \)

বা, \( (a^2)^2 + \left(\frac{1}{a^2}\right)^2 = 119 \) বা, \( \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{a^2} = 119 \)

বা, \( \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 = 121 \) বা, \( a^2 + \frac{1}{a^2} = 11 \)

বা, \( \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = 11 \) বা, \( \left(a - \frac{1}{a}\right)^2 = 9 \)

বা, \( a - \frac{1}{a} = 3 \therefore a = 3 + \frac{1}{a} \)

আবার, \( a - \frac{1}{a} = 3 \) বা, \( a^2 - 1 = 3a \therefore a^2 - 3a - 1 = 0 \)

\( \therefore a^2 - 3a - 1 = 0 \) অথবা, \( a = 3 + \frac{1}{a} \) (প্রমাণিত)

iii দেওয়া আছে, \( p = 3 + 2\sqrt{2} \)

\( \therefore p^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2} \)

\( \therefore \frac{1}{p^2} = \frac{1}{17 + 12\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (17 - 12\sqrt{2})}{(17 + 12\sqrt{2})(17 - 12\sqrt{2})} \)

\( = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{(17)^2 - (12\sqrt{2})^2} = \frac{17 - 12\sqrt{2}}{289 - 288} = 17 - 12\sqrt{2} \)

\( \therefore p^2 + \frac{1}{p^2} = 17 + 12\sqrt{2} + 17 - 12\sqrt{2} = 34 \)

এবং \( p^2 - \frac{1}{p^2} = 17 + 12\sqrt{2} - 17 + 12\sqrt{2} = 24\sqrt{2} \)

এখন, \( p^4 - \frac{1}{p^4} = (p^2)^2 - \left(\frac{1}{p^2}\right)^2 = \left(p^2 + \frac{1}{p^2}\right)\left(p^2 - \frac{1}{p^2}\right) \)

\( = 34 \times 24\sqrt{2} = 816\sqrt{2} \) (Ans.)

iv 'ii' হতে পাই, \( a - \frac{1}{a} = 3 \)

বা, \( \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 = (3)^3 \) [ঘন করে]

বা, \( a^3 - \frac{1}{a^3} - 3.a.\frac{1}{a}\left(a - \frac{1}{a}\right) = 27 \)

বা, \( a^3 - \frac{1}{a^3} - 3 \times 3 = 27 \)

বা, \( a^3 - \frac{1}{a^3} = 36 \) বা, \( \frac{a^6 - 1}{a^3} = 36 \) বা, \( a^6 - 1 = 36a^3 \)

\( \therefore a^6 - 1 - 36a^3 = 0 \) (প্রমাণিত)

v দেওয়া আছে, \( p = 3 + 2\sqrt{2} \)

\( \therefore \frac{1}{p} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} \)

\( = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2} \)

\( \therefore p + \frac{1}{p} = 3 + 2\sqrt{2} + 3 - 2\sqrt{2} = 6 \)

প্রদত্ত রাশি \( = \frac{p^6 + 1}{p^3} = p^3 + \frac{1}{p^3} = \left(p + \frac{1}{p}\right)^3 - 3.p.\frac{1}{p}\left(p + \frac{1}{p}\right) \)

\( = 6^3 - 3.6 = 216 - 18 = 198 \) (Ans.)

vi দেওয়া আছে, \( (x + y)^2 = \sqrt[3]{27} \therefore (x+y)^2 = 3 \)

এবং \( (x-y)^2 = \sqrt[3]{8} \therefore (x-y)^2 = 2 \)

\( \therefore \text{বামপক্ষ} = 5(x^3y + xy^3) = 5xy(x^2 + y^2) \)

\( = 5.\frac{1}{4}.4xy.\frac{1}{2}.2(x^2+y^2) = \frac{5}{8} \{(x+y)^2 - (x-y)^2\} \{(x+y)^2 + (x-y)^2\} \)

\( = \frac{5}{8} (3 - 2)(3 + 2) \) [মান বসিয়ে]

\( = \frac{5}{8}.1.5 = \frac{25}{8} = \text{ডানপক্ষ} \)

\( \therefore 5(x^3y + xy^3) = \frac{25}{8} \) (প্রমাণিত)

vii দেওয়া আছে, \( p = 3 + 2\sqrt{2} \)

বা, \( p = 2 + 2\sqrt{2} + 1 \) বা, \( p = (\sqrt{2})^2 + 2.\sqrt{2}.1 + 1^2 \)

বা, \( p = (\sqrt{2} + 1)^2 \therefore \sqrt{p} = \sqrt{2} + 1 \)

আবার, \( \frac{1}{\sqrt{p}} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{1.(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 \)

\( \therefore \sqrt{p} + \frac{1}{\sqrt{p}} = \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2} \)

\( \therefore (\sqrt{p})^3 + \left(\frac{1}{\sqrt{p}}\right)^3 = \left(\sqrt{p} + \frac{1}{\sqrt{p}}\right)^3 - 3.\sqrt{p}.\frac{1}{\sqrt{p}}\left(\sqrt{p} + \frac{1}{\sqrt{p}}\right) \)

\( = (2\sqrt{2})^3 - 3.2\sqrt{2} = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \)

\( \therefore p\sqrt{p} + \frac{1}{p\sqrt{p}} = 10\sqrt{2} \) (প্রমাণিত)

সৃজনশীল প্রশ্নঃ ২
\( y = \sqrt{5} - \sqrt{2}, 2p^2 - p - 2 = 0, x^2 + \frac{1}{x^2} = 322, \)

\( m^3 + \frac{1}{m^3} = 52 \) এবং \( f(n) = (n - 1) a^2 + n^2ab + (n + 1) b^2 \)

i. \( \frac{y^6 + 27}{y^3} \) ও \( y^3 - \frac{27}{y^3} \) এর মান নির্ণয় কর। ✪✪ [রা. বো. ২৫; সি.বো. ২৫ (অনুরূপ); য.বো. ২৪ (অনুরূপ); দি.বো. ২৩ (অনুরূপ); চ.বো. ২৩ (অনুরূপ); সি.বো. ২৫ (অনুরূপ)]

ii. প্রমাণ কর যে, \( p^5 + \frac{1}{p^5} = \frac{29\sqrt{17}}{32} \) ✪✪
[দি.বো. ২৫; দি.বো. ২৪ (অনুরূপ); সি.বো. ২৪ (অনুরূপ); ঢা.বো. ২৩ (অনুরূপ); ম.বো. ২৩ (অনুরূপ); কু.বো. ২২ (অনুরূপ); য.বো. ২২, ২০ (অনুরূপ); সি.বো. ২২ (অনুরূপ); ব.বো. ১৯ (অনুরূপ)]

iii. দেখাও যে, \( x\sqrt{x} - \frac{1}{x\sqrt{x}} = 76 \); যেখানে \( x > 0 \) ✪
[কু.বো. ২৫; দি.বো. ২৪ (অনুরূপ)]

iv. প্রমাণ কর যে, \( m = 2 + \sqrt{3} \) ✪ [ব.বো. ২৫; রা.বো. ২০ (অনুরূপ)]

v. \( p^5 - \frac{1}{p^5} \) এর মান নির্ণয় কর। ✪✪ [চ.বো. ২৫ (অনুরূপ); ম.বো. ২২ (অনুরূপ)]

vi. \( f(n) \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। ✪ [ম.বো. ২৫]

সমাধান

i দেওয়া আছে, \( y = \sqrt{5} - \sqrt{2} \)

\( \therefore \frac{1}{y} = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} \)

[হর ও লবকে \( (\sqrt{5} + \sqrt{2}) \) দ্বারা গুণ করে]

\( = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3} \)

অর্থাৎ, \( \frac{1}{y} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3} \therefore \frac{3}{y} = \sqrt{5} + \sqrt{2} \)

এখন, \( y + \frac{3}{y} = \sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{5} \)

\( \therefore \frac{y^6 + 27}{y^3} = \frac{y^6}{y^3} + \frac{27}{y^3} = y^3 + \left(\frac{3}{y}\right)^3 \)

\( = \left(y + \frac{3}{y}\right)^3 - 3.y.\frac{3}{y}\left(y + \frac{3}{y}\right) \)

\( = (2\sqrt{5})^3 - 9.2\sqrt{5} = 40\sqrt{5} - 18\sqrt{5} = 22\sqrt{5} \) (Ans.)

আবার, \( y - \frac{3}{y} = \sqrt{5} - \sqrt{2} - \sqrt{5} - \sqrt{2} = -2\sqrt{2} \)

\( \therefore \text{প্রদত্ত রাশি} = y^3 - \frac{27}{y^3} \)

\( = (y)^3 - \left(\frac{3}{y}\right)^3 = \left(y - \frac{3}{y}\right)^3 + 3.y.\frac{3}{y}\left(y - \frac{3}{y}\right) \)

\( = (-2\sqrt{2})^3 + 9(-2\sqrt{2}) = -16\sqrt{2} - 18\sqrt{2} = -34\sqrt{2} \) (Ans.)

ii দেওয়া আছে, \( 2p^2 - p - 2 = 0 \)

বা, \( 2p^2 - 2 = p \) বা, \( 2p - \frac{2}{p} = 1 \therefore p - \frac{1}{p} = \frac{1}{2} \)

আমরা জানি, \( \left(p + \frac{1}{p}\right)^2 = \left(p - \frac{1}{p}\right)^2 + 4.p.\frac{1}{p} \)

বা, \( \left(p + \frac{1}{p}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4 \)

বা, \( \left(p + \frac{1}{p}\right)^2 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4} \)

\( \therefore p + \frac{1}{p} = \frac{\sqrt{17}}{2} \) [\( \because p > 0 \)]

এখন, \( p^2 + \frac{1}{p^2} = \left(p - \frac{1}{p}\right)^2 + 2.p.\frac{1}{p} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4} \)

\( \therefore p^2 + \frac{1}{p^2} = \frac{9}{4} \) ...... (i)

এবং \( p^3 + \frac{1}{p^3} = \left(p + \frac{1}{p}\right)^3 - 3.p.\frac{1}{p}\left(p + \frac{1}{p}\right) \)

\( = \left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^3 - 3.\frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{17\sqrt{17}}{8} - \frac{3\sqrt{17}}{2} = \frac{17\sqrt{17} - 12\sqrt{17}}{8} = \frac{5\sqrt{17}}{8} \)

\( \therefore p^3 + \frac{1}{p^3} = \frac{5\sqrt{17}}{8} \) ...... (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ গুণ করে পাই, \( \left(p^2 + \frac{1}{p^2}\right)\left(p^3 + \frac{1}{p^3}\right) = \frac{9}{4} \times \frac{5\sqrt{17}}{8} \)

বা, \( p^5 + \frac{1}{p} + p + \frac{1}{p^5} = \frac{45\sqrt{17}}{32} \) বা, \( p^5 + \frac{1}{p^5} + \frac{\sqrt{17}}{2} = \frac{45\sqrt{17}}{32} \)

বা, \( p^5 + \frac{1}{p^5} = \frac{45\sqrt{17}}{32} - \frac{\sqrt{17}}{2} \) বা, \( p^5 + \frac{1}{p^5} = \frac{45\sqrt{17} - 16\sqrt{17}}{32} \)

\( \therefore p^5 + \frac{1}{p^5} = \frac{29\sqrt{17}}{32} \) (প্রমাণিত)

iii দেওয়া আছে, \( x^2 + \frac{1}{x^2} = 322 \); যেখানে \( x > 0 \)

বা, \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2.x.\frac{1}{x} = 322 \) বা, \( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 322 + 2 = 324 \)

বা, \( x + \frac{1}{x} = \sqrt{324} = 18 \) বা, \( (\sqrt{x})^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = 18 \)

বা, \( \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + 2.\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}} = 18 \) বা, \( \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = 18 - 2 = 16 \)

বা, \( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{16} = 4 \) বা, \( \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3 = 4^3 \)

বা, \( (\sqrt{x})^3 - \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^3 - 3.\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 64 \)

বা, \( x\sqrt{x} - \frac{1}{x\sqrt{x}} - 3 \times 4 = 64 \) বা, \( x\sqrt{x} - \frac{1}{x\sqrt{x}} = 64 + 12 \)

\( \therefore x\sqrt{x} - \frac{1}{x\sqrt{x}} = 76 \) (প্রমাণিত)

iv দেওয়া আছে, \( m^3 + \frac{1}{m^3} = 52 \) বা, \( \frac{m^6 + 1}{m^3} = 52 \)

বা, \( m^6 + 1 = 52m^3 \) বা, \( m^6 - 52m^3 + 1 = 0 \)

বা, \( (m^3)^2 - 2.m^3.26 + 26^2 + 1 = 26^2 \)

বা, \( (m^3 - 26)^2 = 676 - 1 \) বা, \( m^3 - 26 = \sqrt{675} \)

বা, \( m^3 - 26 = 15\sqrt{3} \) বা, \( m^3 = 26 + 15\sqrt{3} \)

বা, \( m^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} \)

বা, \( m^3 = 2^3 + 3.2^2.\sqrt{3} + 3.2.(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 \)

বা, \( m^3 = (2 + \sqrt{3})^3 \therefore m = 2 + \sqrt{3} \) (দেখানো হলো)

v 'ii' হতে পাই, \( p^3 + \frac{1}{p^3} = \frac{5\sqrt{17}}{8}, p + \frac{1}{p} = \frac{\sqrt{17}}{2} \) এবং \( p - \frac{1}{p} = \frac{1}{2} \)

\( \therefore \left(p^3 + \frac{1}{p^3}\right)\left(p^2 - \frac{1}{p^2}\right) = \left(p^3 + \frac{1}{p^3}\right)\left(p + \frac{1}{p}\right)\left(p - \frac{1}{p}\right) \)

বা, \( p^5 + \frac{1}{p} - p - \frac{1}{p^5} = \frac{5\sqrt{17}}{8} \times \frac{\sqrt{17}}{2} \times \frac{1}{2} \)

বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{85}{32} + p - \frac{1}{p} \) বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{85}{32} + \frac{1}{2} \)

বা, \( p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{85 + 16}{32} \therefore p^5 - \frac{1}{p^5} = \frac{101}{32} \) (Ans.)

vi মনে করি, \( n - 1 = p \) এবং \( n + 1 = q \)

\( \therefore (n - 1)(n + 1) = pq \)

বা, \( n^2 - 1 = pq \therefore n^2 = pq + 1 \)

\( \therefore \) প্রদত্ত রাশি \( = (n - 1)a^2 + n^2ab + (n + 1)b^2 \)

\( = pa^2 + (pq + 1)ab + qb^2 \)

\( = pa^2 + pqab + ab + qb^2 \)

\( = pa(a + qb) + b(a + qb) = (a + qb)(pa + b) \)

\( = \{a + (n + 1)b\}\{(n - 1)a + b\} \) [\( p \) ও \( q \) এর মান বসিয়ে]

\( = (a + nb + b)(na - a + b) \) (Ans.)

সৃজনশীল প্রশ্নঃ ৩
দৃশ্যকল্প-১: \( x^2 = 11 + 2\sqrt{30}, y^6 - 42\sqrt{6}y^3 + 1 = 0, a+b+c = m \) তিনটি বীজগাণিতিক সমীকরণ।

দৃশ্যকল্প-২: \( f(a) = 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \) ও \( g(x,y) = x^3 + 9y^3 + (x+y)^3 \) দুইটি ফাংশন।

i. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \( x^3 + \frac{1}{x^3} = 42\sqrt{6} \) ✪✪
[চ.বো. ২৫; রা.বো. ২৩ (অনুরূপ); য.বো. ১৯ (অনুরূপ)]

ii. দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \( y = \sqrt{6} + \sqrt{5} \) ✪
[চ.বো. ২৪; ঢা.বো. ২২ (অনুরূপ)]

iii. দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \( \frac{x^6 - 1}{x^3} - \sqrt{5}\left(\frac{x^4 + 1}{x^2}\right) = 24\sqrt{5} \) ✪
[য.বো. ২৪ (অনুরূপ)]

iv. \( m = 0 \) হলে, দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, \( \frac{(b+c)^2}{12bc} + \frac{(c+a)^2}{12ca} + \frac{(a+b)^2}{12ab} = \frac{1}{4} \) ✪✪ [কু.বো. ২৩; চ. বো. ১৬]

v. \( b+c=2 \) এবং \( m+\frac{1}{m}=5 \) হলে, দৃশ্যকল্প-১ হতে দেখাও যে, \( (a+2)^5 + \frac{1}{(a+2)^5} = 2525 \) ✪ [য.বো. ২৩]

vi. দৃশ্যকল্প-২ হতে \( f(a) \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। ✪✪
[য. বো. ২৪; রা. বো. ২২ (অনুরূপ); য. বো. ২০ অনুরূপ]

vii. দৃশ্যকল্প-২ হতে \( g(x,y) \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। ✪✪ [য.বো. ১৯]

সমাধান

i দেওয়া আছে, \( x^2 = 11 + 2\sqrt{30} \)

বা, \( x^2 = 6 + 2\sqrt{6 \times 5} + 5 \)

বা, \( x^2 = (\sqrt{6})^2 + 2.\sqrt{6}.\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 \)

বা, \( x^2 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^2 \)

\( \therefore x = \sqrt{6} + \sqrt{5} \) ...... (i)

এখন, \( \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} \)

\( = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} \)

\( \therefore \frac{1}{x} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \) ...... (ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই, \( x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{6} \)

\( \therefore x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3.x.\frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right) \)

\( = (2\sqrt{6})^3 - 3.2\sqrt{6} = 48\sqrt{6} - 6\sqrt{6} \)

\( = 42\sqrt{6} \) (প্রমাণিত)

ii দেওয়া আছে, \( y^6 - 42\sqrt{6}y^3 + 1 = 0 \)

বা, \( (y^3)^2 - 2.21\sqrt{6}.y^3 + (21\sqrt{6})^2 - 2645 = 0 \)

বা, \( (y^3 - 21\sqrt{6})^2 = (23\sqrt{5})^2 \)

বা, \( y^3 - 21\sqrt{6} = 23\sqrt{5} \)

বা, \( y^3 = 21\sqrt{6} + 23\sqrt{5} \)

বা, \( y^3 = 6\sqrt{6} + 18\sqrt{5} + 15\sqrt{6} + 5\sqrt{5} \)

বা, \( y^3 = (\sqrt{6})^3 + 3.(\sqrt{6})^2.\sqrt{5} + 3.\sqrt{6}(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^3 \)

বা, \( y^3 = (\sqrt{6} + \sqrt{5})^3 \)

\( \therefore y = \sqrt{6} + \sqrt{5} \) (দেখানো হলো)

iii এখানে, \( x = \sqrt{6} + \sqrt{5} \) এবং \( \frac{1}{x} = \sqrt{6} - \sqrt{5} \) [i নং হতে]

\( \therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)

\( \therefore \frac{x^6 - 1}{x^3} = x^3 - \frac{1}{x^3} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3.x.\frac{1}{x}\left(x - \frac{1}{x}\right) \)

\( = (2\sqrt{5})^3 + 3.2\sqrt{5} = 40\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 46\sqrt{5} \)

আবার, \( \frac{x^4 + 1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2.x.\frac{1}{x} \)

\( = (2\sqrt{5})^2 + 2 = 20 + 2 = 22 \)

\( \therefore \frac{x^6 - 1}{x^3} - \sqrt{5}\left(\frac{x^4 + 1}{x^2}\right) = 46\sqrt{5} - 22\sqrt{5} = 24\sqrt{5} \) (প্রমাণিত)

iv দেওয়া আছে, \( m = 0 \) বা, \( a + b + c = 0 \)

\( \therefore b + c = -a, c + a = -b, a + b = -c \)

আমরা জানি, \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)

বা, \( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \) [ \( \because a + b + c = 0 \) ]

\( \therefore a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)

বামপক্ষ \( = \frac{(b+c)^2}{12bc} + \frac{(c+a)^2}{12ca} + \frac{(a+b)^2}{12ab} \)

\( = \frac{1}{12} \left\{ \frac{(-a)^2}{bc} + \frac{(-b)^2}{ca} + \frac{(-c)^2}{ab} \right\} \)

\( = \frac{1}{12} \left( \frac{a^2}{bc} + \frac{b^2}{ca} + \frac{c^2}{ab} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3abc} \right) \)

\( = \frac{1}{4} \times \frac{3abc}{3abc} = \frac{1}{4} = \text{ডানপক্ষ} \)

\( \therefore \frac{(b+c)^2}{12bc} + \frac{(c+a)^2}{12ca} + \frac{(a+b)^2}{12ab} = \frac{1}{4} \) (প্রমাণিত)

v দেওয়া আছে, \( a + b + c = m \)

\( b + c = 2 \) এবং \( m + \frac{1}{m} = 5 \) হলে, \( (a + 2) + \frac{1}{(a + 2)} = 5 \)

এখন, \( (a + 2)^2 + \frac{1}{(a + 2)^2} \)

\( = \left\{ (a + 2) + \frac{1}{(a + 2)} \right\}^2 - 2.(a + 2)\frac{1}{(a + 2)} = (5)^2 - 2 = 23 \)

এবং \( (a + 2)^3 + \frac{1}{(a + 2)^3} \)

\( = \left\{ (a + 2) + \frac{1}{(a + 2)} \right\}^3 - 3(a + 2)\frac{1}{(a + 2)} \left\{ (a + 2) + \frac{1}{(a + 2)} \right\} \)

\( = (5)^3 - 3.5 = 110 \)

\( \therefore \left\{ (a + 2)^2 + \frac{1}{(a + 2)^2} \right\} \left\{ (a + 2)^3 + \frac{1}{(a + 2)^3} \right\} = 23 \times 110 \)

বা, \( (a + 2)^5 + (a + 2) + \frac{1}{(a + 2)} + \frac{1}{(a + 2)^5} = 2530 \)

বা, \( (a + 2)^5 + \frac{1}{(a + 2)^5} = 2530 - 5 \)

\( \therefore (a + 2)^5 + \frac{1}{(a + 2)^5} = 2525 \) (দেখানো হলো)

vi \( f(a) = 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \)

\( = (4a)^2 + \left(\frac{1}{4a}\right)^2 - 2.4a.\frac{1}{4a} + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) \)

\( = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)^2 + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) \)

\( = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)\left(4a - \frac{1}{4a} + 4\right) \) (Ans.)

vii \( g(x, y) = x^3 + 9y^3 + (x + y)^3 = x^3 + 8y^3 + (x + y)^3 + y^3 \)

\( = \{x^3 + (2y)^3\} + \{(x + y)^3 + y^3\} \)

\( = (x + 2y)\{x^2 - x.2y + (2y)^2\} + (x + y + y)\{(x + y)^2 - (x + y).y + y^2\} \)

\( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 - xy - y^2 + y^2) \)

\( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \)

\( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x^2 + xy + y^2) \)

\( = (x + 2y)(2x^2 - xy + 5y^2) \) (Ans.)