এসএসসি সাধারন গণিত _ অধ্যায়ঃ ৩ _ উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

প্রশ্ন ১। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( m^3 + 6m^2n + 11mn^2 + 6n^3 \).

সমাধান : \( m^3 + 6m^2n + 11mn^2 + 6n^3 \) \( = m^3 + 3.m^2.2n + 3.m.(2n)^2 + (2n)^3 - mn^2 - 2n^3 \) \( = (m + 2n)^3 - n^2(m + 2n) = (m + 2n) \{(m + 2n)^2 - n^2\} \) \( = (m + 2n) (m + 2n + n) (m + 2n - n) \quad [\because a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)] \) \( = (m + 2n) (m + 3n) (m + n) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (m + 2n) (m + 3n) (m + n) \).

প্রশ্ন ২। \( \frac{1}{2}x^3 + \frac{7}{6}x^2 + \frac{1}{3}x \) রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান : \( \frac{1}{2}x^3 + \frac{7}{6}x^2 + \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}x(3x^2 + 7x + 2) = \frac{x}{6}(3x^2 + 6x + x + 2) \) \( = \frac{x}{6}\{3x (x + 2) + 1 (x + 2)\} = \frac{x}{6}(x + 2)(3x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \frac{x}{6}(x + 2)(3x + 1) \).

প্রশ্ন ৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : \( a^3 - 9b^3 + (a + b)^3 \).

সমাধান : \( a^3 - 9b^3 + (a + b)^3 \) \( = a^3 - b^3 + (a + b)^3 - 8b^3 \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)^3 - (2b)^3 \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b - 2b) \{(a + b)^2 + (a + b)2b + (2b)^2\} \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b) (a^2 + 2ab + b^2 + 2ab + 2b^2 + 4b^2) \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b) (a^2 + 4ab + 7b^2) \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2 + a^2 + 4ab + 7b^2) \) \( = (a - b)(2a^2 + 5ab + 8b^2) \).

প্রশ্ন ৪ । উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 4x^2 - 4xy + 6y - 9 \).

সমাধান : \( 4x^2 - 4xy + 6y - 9 \) \( = 4x^2 - 9 - 4xy + 6y \) \( = (2x)^2 - 3^2 - 2y(2x - 3) \) \( = (2x + 3)(2x - 3) - 2y(2x - 3) \) \( = (2x - 3)(2x + 3 - 2y) \) \( = (2x - 3)(2x - 2y + 3) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (2x - 3)(2x - 2y + 3) \).

প্রশ্ন ৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( x^2 - \frac{10}{3}xy + y^2 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ হলি ক্রস উচ্চ বালিকা বিদ্যালয়, ঢাকা]

সমাধান: \( x^2 - \frac{10}{3}xy + y^2 = \frac{1}{3}(3x^2 - 10xy + 3y^2) \) \( = \frac{1}{3}(3x^2 - 9xy - xy + 3y^2) \) \( = \frac{1}{3}\{3x(x - 3y) - y(x - 3y)\} \) \( = \frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y) \).

প্রশ্ন ৬। \( a^4 - 7a^2 - 18 \) রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ১২ ➤ বগুড়া ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ]

সমাধান: প্রদত্ত রাশি \( = a^4 - 7a^2 - 18 \) \( = a^4 - 9a^2 + 2a^2 - 18 \) \( = a^2(a^2 - 9) + 2(a^2 - 9) \) \( = (a^2 - 9)(a^2 + 2) \) \( = (a^2 - 3^2)(a^2 + 2) \) \( = (a + 3)(a - 3)(a^2 + 2) \) \( = (a^2 + 2)(a + 3)(a - 3) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (a^2 + 2)(a + 3)(a - 3) \).

প্রশ্ন ৭। \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ চট্টগ্রাম ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক কলেজ]

সমাধান: \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) \( = x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x + x + 2 \) \( = x^2(x + 2) + x(x + 2) + 1(x + 2) \) \( = (x + 2)(x^2 + x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x^2 + x + 1)(x + 2) \).

প্রশ্ন ৮। \( (a - 1)x^2 + a^2xy + (a + 1)y^2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ গভর্মেন্ট ল্যাবরেটরি হাই স্কুল, ধানমন্ডি, ঢাকা; প্রশ্ন ৯ ➤ বিন্দুবাসিনী সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, টাঙ্গাইল; প্রশ্ন ৪ ➤ বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়; প্রশ্ন ৩ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, রংপুর; প্রশ্ন ১৪ ➤ বিদ্যাময়ী সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, ময়মনসিংহ]

সমাধান: \( (a - 1)x^2 + a^2xy + (a + 1)y^2 \) ধরি, \( a - 1 = p \) এবং \( a + 1 = q \) \(\therefore (a - 1)(a + 1) = pq \) বা, \( a^2 - 1 = pq \) বা, \( a^2 = pq + 1 \) \(\therefore\) প্রদত্ত রাশি \( = px^2 + (pq + 1)xy + qy^2 \) \( = px^2 + pqxy + xy + qy^2 \) \( = px(x + qy) + y(x + qy) \) \( = (x + qy)(px + y) \) \( = \{x + (a + 1)y\} \{(a - 1)x + y\} \) \( = (x + ay + y)(ax - x + y) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x + ay + y)(ax - x + y) \).

প্রশ্ন ৯। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( 54x^4 + 27x^3 - 16x - 8 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ মোমেনশাহী]

সমাধান: \( 54x^4 + 27x^3 - 16x - 8 \) \( = 27x^3(2x + 1) - 8(2x + 1) \) \( = (2x + 1)(27x^3 - 8) \) \( = (2x + 1)\{(3x)^3 - 2^3\} \) \( = (2x + 1)(3x - 2)\{(3x)^2 + 3x \times 2 + 2^2\} \) \( = (2x + 1)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (2x + 1)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \).

প্রশ্ন ১০। \( x^3 - 9 + (x + 1)^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ মির্জাপুর ক্যাডেট কলেজ, টাঙ্গাইল; প্রশ্ন ৬ ➤ সফিউদ্দিন সরকার একাডেমি এন্ড কলেজ, গাজীপুর]

সমাধান: \( x^3 - 9 + (x + 1)^3 = x^3 - 1 + (x + 1)^3 - 8 \) \( = x^3 - (1)^3 + (x + 1)^3 - (2)^3 \) \( = (x - 1)(x^2 + x.1 + 1^2) + (x + 1 - 2)\{(x + 1)^2 + (x + 1).2 + 2^2\} \) \( = (x - 1)(x^2 + x + 1) + (x - 1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) \) \( = (x - 1)(x^2 + x + 1 + x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) \) \( = (x - 1)(2x^2 + 5x + 8) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x - 1)(2x^2 + 5x + 8) \).

প্রশ্ন ১১। \( 4a^2 + \frac{1}{4a^2} - 2 + 4a - \frac{1}{a} \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ; প্রশ্ন ১ ➤ মানিকগঞ্জ সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়; প্রশ্ন ২ ➤ হাসান আলী সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, চাঁদপুর; প্রশ্ন ৩ ➤ সরকারি অগ্রগামী বালিকা উচ্চ বিদ্যালয় ও কলেজ, সিলেট; প্রশ্ন ৪ ➤ চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃবিদ্যালয়; প্রশ্ন ৪ ➤ পটুয়াখালী জুবিলী উচ্চ বিদ্যালয়]

সমাধান: \( 4a^2 + \frac{1}{4a^2} - 2 + 4a - \frac{1}{a} \) \( = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot \frac{1}{2a} + \left(\frac{1}{2a}\right)^2 + 2\left(2a - \frac{1}{2a}\right) \) \( = \left(2a - \frac{1}{2a}\right)^2 + 2\left(2a - \frac{1}{2a}\right) = \left(2a - \frac{1}{2a}\right)\left(2a - \frac{1}{2a} + 2\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \left(2a - \frac{1}{2a}\right)\left(2a - \frac{1}{2a} + 2\right) \).

প্রশ্ন ১২। \( \frac{a^6}{27} - b^6 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ রংপুর ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান: \( \frac{a^6}{27} - b^6 = \frac{(a^2)^3}{(3)^3} - (b^2)^3 \) \( = \left(\frac{a^2}{3}\right)^3 - (b^2)^3 = \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left\{ \left(\frac{a^2}{3}\right)^2 + \frac{a^2}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2 \right\} \) \( = \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left(\frac{a^4}{9} + \frac{a^2b^2}{3} + b^4\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left(\frac{a^4}{9} + \frac{a^2b^2}{3} + b^4\right) \).

প্রশ্ন ১৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( (a^2 - b^2)(x^2 - y^2) + 4abxy \).

[প্রশ্ন ৩ ➤ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা]

সমাধান: \( (a^2 - b^2)(x^2 - y^2) + 4abxy \) \( = a^2x^2 - b^2x^2 - a^2y^2 + b^2y^2 + 4abxy \) \( = (ax)^2 + 2 \cdot ax \cdot by + (by)^2 - \{(ay)^2 - 2 \cdot ay \cdot bx + (bx)^2\} \) \( = (ax + by)^2 - (ay - bx)^2 = (ax + by + ay - bx)(ax + by - ay + bx) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (ax + by + ay - bx)(ax + by - ay + bx) \).

প্রশ্ন ১৪। \( x^3 + 9y^3 + (x + y)^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ২ ➤ মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা; প্রশ্ন ১২ ➤ ডা: খাস্তগীর সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, চট্টগ্রাম]

সমাধান: প্রদত্ত রাশি \( = x^3 + 9y^3 + (x + y)^3 \) \( = x^3 + 8y^3 + (x + y)^3 + y^3 \) \( = x^3 + (2y)^3 + (x + y)^3 + y^3 \) \( = (x + 2y)(x^2 - x \cdot 2y + 4y^2) + (x + y + y)\{(x + y)^2 - (x + y)y + y^2\} \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 - xy - y^2 + y^2) \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x^2 + xy + y^2) = (x + 2y)(2x^2 - xy + 5y^2) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x + 2y)(2x^2 - xy + 5y^2) \).

প্রশ্ন ১৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( 7x^2 - x - 116 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ উত্তরা হাই স্কুল এন্ড কলেজ, ঢাকা]

সমাধান: \( 7x^2 - x - 116 \) \( = 7x^2 - 29x + 28x - 116 \) \( = x(7x - 29) + 4(7x - 29) = (7x - 29)(x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (7x - 29)(x + 4) \).

প্রশ্ন ১৫। \( x^4 - 38x^2 + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ সরকারি প্রমথনাথ বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, রাজশাহী; প্রশ্ন ৫ ➤ ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল ও কলেজ, চট্টগ্রাম]

সমাধান : \( x^4 - 38x^2 + 1 \) \( = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 19 + 19^2 - 19^2 + 1 \) \( = (x^2 - 19)^2 - 361 + 1 \) \( = (x^2 - 19)^2 - 360 \) \( = (x^2 - 19)^2 - (6\sqrt{10})^2 \) \( = (x^2 - 19 + 6\sqrt{10})(x^2 - 19 - 6\sqrt{10}) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x^2 - 19 + 6\sqrt{10})(x^2 - 19 - 6\sqrt{10}) \).

প্রশ্ন ১৬। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( a^3 - 7b^3 - (a - b)^3 \)

[প্রশ্ন ৩ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ, সৈয়দপুর]

সমাধান : \( a^3 - 7b^3 - (a - b)^3 \) \( = a^3 - 7b^3 - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) \) \( = a^3 - 7b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 \) \( = 3a^2b - 3ab^2 - 6b^3 \) \( = 3b(a^2 - ab - 2b^2) \) \( = 3b(a^2 - 2ab + ab - 2b^2) \) \( = 3b\{a(a - 2b) + b(a - 2b)\} \) \( = 3b(a - 2b)(a + b) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( 3b(a - 2b)(a + b) \).

প্রশ্ন ১৭। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 9a^2 + \frac{1}{9a^2} - 2 + 9a - \frac{1}{a} \)

[প্রশ্ন ৪ ➤ বগুড়া জিলা স্কুল; প্রশ্ন ১০ ➤ ইস্পাহানী ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, কুমিল্লা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = 9a^2 + \frac{1}{9a^2} - 2 + 9a - \frac{1}{a} \) \( = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{3a} + \left(\frac{1}{3a}\right)^2 + 3\left(3a - \frac{1}{3a}\right) \) \( = \left(3a - \frac{1}{3a}\right)^2 + 3\left(3a - \frac{1}{3a}\right) \) \( = \left(3a - \frac{1}{3a}\right)\left(3a - \frac{1}{3a} + 3\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \left(3a - \frac{1}{3a}\right)\left(3a - \frac{1}{3a} + 3\right) \).

প্রশ্ন ১৮। \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ গভঃ ল্যাবরেটরী হাই স্কুল, রাজশাহী; প্রশ্ন ৩ ➤ কুমিল্লা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} \) \( = \frac{1}{6}(3x^2 + 7x + 2) = \frac{1}{6}(3x^2 + 6x + x + 2) \) \( = \frac{1}{6}\{3x(x + 2) + 1(x + 2)\} = \frac{1}{6}(x + 2)(3x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \frac{1}{6}(x + 2)(3x + 1) \).

প্রশ্ন ১৯। \( a^3 - 3ab^2 + 2b^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৬ ➤ কুষ্টিয়া জিলা স্কুল; প্রশ্ন ১১ ➤ পাবনা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( a^3 - 3ab^2 + 2b^3 \) \( = a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3 \) \( = a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) \) \( = a(a + b)(a - b) - 2b^2(a - b) \) \( = (a - b)\{a(a + b) - 2b^2\} \) \( = (a - b)(a^2 + ab - 2b^2) \) \( = (a - b)(a^2 - b^2 + ab - b^2) \) \( = (a - b)\{(a + b)(a - b) + b(a - b)\} \) \( = (a - b)(a - b)(a + b + b) \) \( = (a - b)(a - b)(a + 2b) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (a - b)(a - b)(a + 2b) \).

প্রশ্ন ২০। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \)

[প্রশ্ন ৪ ➤ আল-আমিন একাডেমি স্কুল এন্ড কলেজ, চাঁদপুর; প্রশ্ন ৩ ➤ নাসিরাবাদ সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, চট্টগ্রাম]

সমাধান : \( 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \) \( = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot \frac{1}{4a} + \left(\frac{1}{4a}\right)^2 + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) \) \( = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)^2 + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)\left(4a - \frac{1}{4a} + 4\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \left(4a - \frac{1}{4a}\right)\left(4a - \frac{1}{4a} + 4\right) \).

প্রশ্ন ২১। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^4 - 3x^2 + 1 \).

[প্রশ্ন ৮ ➤ খুলনা পাবলিক কলেজ; প্রশ্ন ২ ➤ অন্নদা সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, ব্রাহ্মণবাড়িয়া]

সমাধান : \( x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2 \) \( = (x^2 - 1)^2 - x^2 \) \( = (x^2 - 1 + x)(x^2 - 1 - x) \) \( = (x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1) \).

প্রশ্ন ২২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^2 + 10x + 24 - y^2 + 2y \).

[প্রশ্ন ৩ ➤ ফেনী গার্লস ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান : \( x^2 + 10x + 24 - y^2 + 2y \) \( = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - y^2 + 2y - 1 \) \( = (x + 5)^2 - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) \) \( = (x + 5)^2 - (y - 1)^2 \) \( = (x + 5 + y - 1)(x + 5 - y + 1) \) \( = (x + y + 4)(x - y + 6) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x + y + 4)(x - y + 6) \).

প্রশ্ন ২৩। \( x^4 + x^2 + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল, ঢাকা]

সমাধান : \( x^4 + x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2 \) \( = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) \) \( = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ \( (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ২৪। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( a^6 - 64 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ ময়মনসিংহ জিলা স্কুল]

সমাধান : \( a^6 - 64 = (a^3)^2 - 8^2 = (a^3 + 8)(a^3 - 8) \) \( = (a^3 + 2^3)(a^3 - 2^3) \) \( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 2)(a^2 + 2a + 4) \) \( = (a + 2)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (a + 2)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4) \).

প্রশ্ন ২৫। \( 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ১২ ➤ রংপুর জিলা স্কুল]

সমাধান : \( 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) \( = (x)^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot (1)^2 - (1)^3 + x^3 \) \( = (x - 1)^3 + (x)^3 = (x - 1 + x)\{(x - 1)^2 - (x - 1) \cdot x + (x)^2\} \) \( = (2x - 1)(x^2 - 2x + 1 - x^2 + x + x^2) = (2x - 1)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( (2x - 1)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ২৬। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 54x^4 + 27x^3a - 16x - 8a \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ খুলনা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( 54x^4 + 27x^3a - 16x - 8a \) \( = 27x^3(2x + a) - 8(2x + a) \) \( = (2x + a)(27x^3 - 8) = (2x + a)\{(3x)^3 - (2)^3\} \) \( = (2x + a)(3x - 2)\{(3x)^2 + 3x \cdot 2 + 2^2\} \) \( = (2x + a)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (2x + a)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \).