এসএসসি সাধারন গণিত _ অধ্যায়ঃ ৩ _ উৎপাদকে বিশ্লেষণ

উৎপাদকে বিশ্লেষণ

প্রশ্ন ১। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( m^3 + 6m^2n + 11mn^2 + 6n^3 \).

সমাধান : \( m^3 + 6m^2n + 11mn^2 + 6n^3 \) \( = m^3 + 3.m^2.2n + 3.m.(2n)^2 + (2n)^3 - mn^2 - 2n^3 \) \( = (m + 2n)^3 - n^2(m + 2n) = (m + 2n) \{(m + 2n)^2 - n^2\} \) \( = (m + 2n) (m + 2n + n) (m + 2n - n) \quad [\because a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)] \) \( = (m + 2n) (m + 3n) (m + n) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (m + 2n) (m + 3n) (m + n) \).

প্রশ্ন ২। \( \frac{1}{2}x^3 + \frac{7}{6}x^2 + \frac{1}{3}x \) রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

সমাধান : \( \frac{1}{2}x^3 + \frac{7}{6}x^2 + \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}x(3x^2 + 7x + 2) = \frac{x}{6}(3x^2 + 6x + x + 2) \) \( = \frac{x}{6}\{3x (x + 2) + 1 (x + 2)\} = \frac{x}{6}(x + 2)(3x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \frac{x}{6}(x + 2)(3x + 1) \).

প্রশ্ন ৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : \( a^3 - 9b^3 + (a + b)^3 \).

সমাধান : \( a^3 - 9b^3 + (a + b)^3 \) \( = a^3 - b^3 + (a + b)^3 - 8b^3 \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)^3 - (2b)^3 \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b - 2b) \{(a + b)^2 + (a + b)2b + (2b)^2\} \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b) (a^2 + 2ab + b^2 + 2ab + 2b^2 + 4b^2) \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b) (a^2 + 4ab + 7b^2) \) \( = (a - b)(a^2 + ab + b^2 + a^2 + 4ab + 7b^2) \) \( = (a - b)(2a^2 + 5ab + 8b^2) \).

প্রশ্ন ৪ । উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 4x^2 - 4xy + 6y - 9 \).

সমাধান : \( 4x^2 - 4xy + 6y - 9 \) \( = 4x^2 - 9 - 4xy + 6y \) \( = (2x)^2 - 3^2 - 2y(2x - 3) \) \( = (2x + 3)(2x - 3) - 2y(2x - 3) \) \( = (2x - 3)(2x + 3 - 2y) \) \( = (2x - 3)(2x - 2y + 3) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (2x - 3)(2x - 2y + 3) \).

প্রশ্ন ৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( x^2 - \frac{10}{3}xy + y^2 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ হলি ক্রস উচ্চ বালিকা বিদ্যালয়, ঢাকা]

সমাধান: \( x^2 - \frac{10}{3}xy + y^2 = \frac{1}{3}(3x^2 - 10xy + 3y^2) \) \( = \frac{1}{3}(3x^2 - 9xy - xy + 3y^2) \) \( = \frac{1}{3}\{3x(x - 3y) - y(x - 3y)\} \) \( = \frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y) \).

প্রশ্ন ৬। \( a^4 - 7a^2 - 18 \) রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ১২ ➤ বগুড়া ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ]

সমাধান: প্রদত্ত রাশি \( = a^4 - 7a^2 - 18 \) \( = a^4 - 9a^2 + 2a^2 - 18 \) \( = a^2(a^2 - 9) + 2(a^2 - 9) \) \( = (a^2 - 9)(a^2 + 2) \) \( = (a^2 - 3^2)(a^2 + 2) \) \( = (a + 3)(a - 3)(a^2 + 2) \) \( = (a^2 + 2)(a + 3)(a - 3) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (a^2 + 2)(a + 3)(a - 3) \).

প্রশ্ন ৭। \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ চট্টগ্রাম ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক কলেজ]

সমাধান: \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 \) \( = x^3 + 2x^2 + x^2 + 2x + x + 2 \) \( = x^2(x + 2) + x(x + 2) + 1(x + 2) \) \( = (x + 2)(x^2 + x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x^2 + x + 1)(x + 2) \).

প্রশ্ন ৮। \( (a - 1)x^2 + a^2xy + (a + 1)y^2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ গভর্মেন্ট ল্যাবরেটরি হাই স্কুল, ধানমন্ডি, ঢাকা; প্রশ্ন ৯ ➤ বিন্দুবাসিনী সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, টাঙ্গাইল; প্রশ্ন ৪ ➤ বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়; প্রশ্ন ৩ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, রংপুর; প্রশ্ন ১৪ ➤ বিদ্যাময়ী সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, ময়মনসিংহ]

সমাধান: \( (a - 1)x^2 + a^2xy + (a + 1)y^2 \) ধরি, \( a - 1 = p \) এবং \( a + 1 = q \) \(\therefore (a - 1)(a + 1) = pq \) বা, \( a^2 - 1 = pq \) বা, \( a^2 = pq + 1 \) \(\therefore\) প্রদত্ত রাশি \( = px^2 + (pq + 1)xy + qy^2 \) \( = px^2 + pqxy + xy + qy^2 \) \( = px(x + qy) + y(x + qy) \) \( = (x + qy)(px + y) \) \( = \{x + (a + 1)y\} \{(a - 1)x + y\} \) \( = (x + ay + y)(ax - x + y) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x + ay + y)(ax - x + y) \).

প্রশ্ন ৯। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( 54x^4 + 27x^3 - 16x - 8 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল এন্ড কলেজ মোমেনশাহী]

সমাধান: \( 54x^4 + 27x^3 - 16x - 8 \) \( = 27x^3(2x + 1) - 8(2x + 1) \) \( = (2x + 1)(27x^3 - 8) \) \( = (2x + 1)\{(3x)^3 - 2^3\} \) \( = (2x + 1)(3x - 2)\{(3x)^2 + 3x \times 2 + 2^2\} \) \( = (2x + 1)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (2x + 1)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \).

প্রশ্ন ১০। \( x^3 - 9 + (x + 1)^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ মির্জাপুর ক্যাডেট কলেজ, টাঙ্গাইল; প্রশ্ন ৬ ➤ সফিউদ্দিন সরকার একাডেমি এন্ড কলেজ, গাজীপুর]

সমাধান: \( x^3 - 9 + (x + 1)^3 = x^3 - 1 + (x + 1)^3 - 8 \) \( = x^3 - (1)^3 + (x + 1)^3 - (2)^3 \) \( = (x - 1)(x^2 + x.1 + 1^2) + (x + 1 - 2)\{(x + 1)^2 + (x + 1).2 + 2^2\} \) \( = (x - 1)(x^2 + x + 1) + (x - 1)(x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) \) \( = (x - 1)(x^2 + x + 1 + x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4) \) \( = (x - 1)(2x^2 + 5x + 8) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x - 1)(2x^2 + 5x + 8) \).

প্রশ্ন ১১। \( 4a^2 + \frac{1}{4a^2} - 2 + 4a - \frac{1}{a} \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ রাজশাহী ক্যাডেট কলেজ; প্রশ্ন ১ ➤ মানিকগঞ্জ সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়; প্রশ্ন ২ ➤ হাসান আলী সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, চাঁদপুর; প্রশ্ন ৩ ➤ সরকারি অগ্রগামী বালিকা উচ্চ বিদ্যালয় ও কলেজ, সিলেট; প্রশ্ন ৪ ➤ চট্টগ্রাম সিটি কর্পোরেশন আন্তঃবিদ্যালয়; প্রশ্ন ৪ ➤ পটুয়াখালী জুবিলী উচ্চ বিদ্যালয়]

সমাধান: \( 4a^2 + \frac{1}{4a^2} - 2 + 4a - \frac{1}{a} \) \( = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot \frac{1}{2a} + \left(\frac{1}{2a}\right)^2 + 2\left(2a - \frac{1}{2a}\right) \) \( = \left(2a - \frac{1}{2a}\right)^2 + 2\left(2a - \frac{1}{2a}\right) = \left(2a - \frac{1}{2a}\right)\left(2a - \frac{1}{2a} + 2\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \left(2a - \frac{1}{2a}\right)\left(2a - \frac{1}{2a} + 2\right) \).

প্রশ্ন ১২। \( \frac{a^6}{27} - b^6 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ রংপুর ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান: \( \frac{a^6}{27} - b^6 = \frac{(a^2)^3}{(3)^3} - (b^2)^3 \) \( = \left(\frac{a^2}{3}\right)^3 - (b^2)^3 = \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left\{ \left(\frac{a^2}{3}\right)^2 + \frac{a^2}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2 \right\} \) \( = \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left(\frac{a^4}{9} + \frac{a^2b^2}{3} + b^4\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( \left(\frac{a^2}{3} - b^2\right) \left(\frac{a^4}{9} + \frac{a^2b^2}{3} + b^4\right) \).

প্রশ্ন ১৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( (a^2 - b^2)(x^2 - y^2) + 4abxy \).

[প্রশ্ন ৩ ➤ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ, ঢাকা]

সমাধান: \( (a^2 - b^2)(x^2 - y^2) + 4abxy \) \( = a^2x^2 - b^2x^2 - a^2y^2 + b^2y^2 + 4abxy \) \( = (ax)^2 + 2 \cdot ax \cdot by + (by)^2 - \{(ay)^2 - 2 \cdot ay \cdot bx + (bx)^2\} \) \( = (ax + by)^2 - (ay - bx)^2 = (ax + by + ay - bx)(ax + by - ay + bx) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (ax + by + ay - bx)(ax + by - ay + bx) \).

প্রশ্ন ১৪। \( x^3 + 9y^3 + (x + y)^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ২ ➤ মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা; প্রশ্ন ১২ ➤ ডা: খাস্তগীর সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, চট্টগ্রাম]

সমাধান: প্রদত্ত রাশি \( = x^3 + 9y^3 + (x + y)^3 \) \( = x^3 + 8y^3 + (x + y)^3 + y^3 \) \( = x^3 + (2y)^3 + (x + y)^3 + y^3 \) \( = (x + 2y)(x^2 - x \cdot 2y + 4y^2) + (x + y + y)\{(x + y)^2 - (x + y)y + y^2\} \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + 2xy + y^2 - xy - y^2 + y^2) \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2) + (x + 2y)(x^2 + xy + y^2) \) \( = (x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2 + x^2 + xy + y^2) = (x + 2y)(2x^2 - xy + 5y^2) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (x + 2y)(2x^2 - xy + 5y^2) \).

প্রশ্ন ১৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: \( 7x^2 - x - 116 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ উত্তরা হাই স্কুল এন্ড কলেজ, ঢাকা]

সমাধান: \( 7x^2 - x - 116 \) \( = 7x^2 - 29x + 28x - 116 \) \( = x(7x - 29) + 4(7x - 29) = (7x - 29)(x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ: \( (7x - 29)(x + 4) \).

প্রশ্ন ১৫। \( x^4 - 38x^2 + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ সরকারি প্রমথনাথ বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, রাজশাহী; প্রশ্ন ৫ ➤ ইস্পাহানী পাবলিক স্কুল ও কলেজ, চট্টগ্রাম]

সমাধান : \( x^4 - 38x^2 + 1 \) \( = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 19 + 19^2 - 19^2 + 1 \) \( = (x^2 - 19)^2 - 361 + 1 \) \( = (x^2 - 19)^2 - 360 \) \( = (x^2 - 19)^2 - (6\sqrt{10})^2 \) \( = (x^2 - 19 + 6\sqrt{10})(x^2 - 19 - 6\sqrt{10}) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x^2 - 19 + 6\sqrt{10})(x^2 - 19 - 6\sqrt{10}) \).

প্রশ্ন ১৬। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( a^3 - 7b^3 - (a - b)^3 \)

[প্রশ্ন ৩ ➤ ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ, সৈয়দপুর]

সমাধান : \( a^3 - 7b^3 - (a - b)^3 \) \( = a^3 - 7b^3 - (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) \) \( = a^3 - 7b^3 - a^3 + 3a^2b - 3ab^2 + b^3 \) \( = 3a^2b - 3ab^2 - 6b^3 \) \( = 3b(a^2 - ab - 2b^2) \) \( = 3b(a^2 - 2ab + ab - 2b^2) \) \( = 3b\{a(a - 2b) + b(a - 2b)\} \) \( = 3b(a - 2b)(a + b) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( 3b(a - 2b)(a + b) \).

প্রশ্ন ১৭। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 9a^2 + \frac{1}{9a^2} - 2 + 9a - \frac{1}{a} \)

[প্রশ্ন ৪ ➤ বগুড়া জিলা স্কুল; প্রশ্ন ১০ ➤ ইস্পাহানী ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ, কুমিল্লা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = 9a^2 + \frac{1}{9a^2} - 2 + 9a - \frac{1}{a} \) \( = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{3a} + \left(\frac{1}{3a}\right)^2 + 3\left(3a - \frac{1}{3a}\right) \) \( = \left(3a - \frac{1}{3a}\right)^2 + 3\left(3a - \frac{1}{3a}\right) \) \( = \left(3a - \frac{1}{3a}\right)\left(3a - \frac{1}{3a} + 3\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \left(3a - \frac{1}{3a}\right)\left(3a - \frac{1}{3a} + 3\right) \).

প্রশ্ন ১৮। \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ গভঃ ল্যাবরেটরী হাই স্কুল, রাজশাহী; প্রশ্ন ৩ ➤ কুমিল্লা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( \frac{1}{2}x^2 + \frac{7}{6}x + \frac{1}{3} \) \( = \frac{1}{6}(3x^2 + 7x + 2) = \frac{1}{6}(3x^2 + 6x + x + 2) \) \( = \frac{1}{6}\{3x(x + 2) + 1(x + 2)\} = \frac{1}{6}(x + 2)(3x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \frac{1}{6}(x + 2)(3x + 1) \).

প্রশ্ন ১৯। \( a^3 - 3ab^2 + 2b^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৬ ➤ কুষ্টিয়া জিলা স্কুল; প্রশ্ন ১১ ➤ পাবনা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( a^3 - 3ab^2 + 2b^3 \) \( = a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3 \) \( = a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) \) \( = a(a + b)(a - b) - 2b^2(a - b) \) \( = (a - b)\{a(a + b) - 2b^2\} \) \( = (a - b)(a^2 + ab - 2b^2) \) \( = (a - b)(a^2 - b^2 + ab - b^2) \) \( = (a - b)\{(a + b)(a - b) + b(a - b)\} \) \( = (a - b)(a - b)(a + b + b) \) \( = (a - b)(a - b)(a + 2b) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (a - b)(a - b)(a + 2b) \).

প্রশ্ন ২০। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \)

[প্রশ্ন ৪ ➤ আল-আমিন একাডেমি স্কুল এন্ড কলেজ, চাঁদপুর; প্রশ্ন ৩ ➤ নাসিরাবাদ সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, চট্টগ্রাম]

সমাধান : \( 16a^2 + \frac{1}{16a^2} - 2 + 16a - \frac{1}{a} \) \( = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot \frac{1}{4a} + \left(\frac{1}{4a}\right)^2 + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) \) \( = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)^2 + 4\left(4a - \frac{1}{4a}\right) = \left(4a - \frac{1}{4a}\right)\left(4a - \frac{1}{4a} + 4\right) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( \left(4a - \frac{1}{4a}\right)\left(4a - \frac{1}{4a} + 4\right) \).

প্রশ্ন ২১। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^4 - 3x^2 + 1 \).

[প্রশ্ন ৮ ➤ খুলনা পাবলিক কলেজ; প্রশ্ন ২ ➤ অন্নদা সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়, ব্রাহ্মণবাড়িয়া]

সমাধান : \( x^4 - 3x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2 \) \( = (x^2 - 1)^2 - x^2 \) \( = (x^2 - 1 + x)(x^2 - 1 - x) \) \( = (x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1) \).

প্রশ্ন ২২। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^2 + 10x + 24 - y^2 + 2y \).

[প্রশ্ন ৩ ➤ ফেনী গার্লস ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান : \( x^2 + 10x + 24 - y^2 + 2y \) \( = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - y^2 + 2y - 1 \) \( = (x + 5)^2 - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) \) \( = (x + 5)^2 - (y - 1)^2 \) \( = (x + 5 + y - 1)(x + 5 - y + 1) \) \( = (x + y + 4)(x - y + 6) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x + y + 4)(x - y + 6) \).

প্রশ্ন ২৩। \( x^4 + x^2 + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল, ঢাকা]

সমাধান : \( x^4 + x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2 \) \( = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) \) \( = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ \( (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ২৪। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( a^6 - 64 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ ময়মনসিংহ জিলা স্কুল]

সমাধান : \( a^6 - 64 = (a^3)^2 - 8^2 = (a^3 + 8)(a^3 - 8) \) \( = (a^3 + 2^3)(a^3 - 2^3) \) \( = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)(a - 2)(a^2 + 2a + 4) \) \( = (a + 2)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (a + 2)(a - 2)(a^2 + 2a + 4)(a^2 - 2a + 4) \).

প্রশ্ন ২৫। \( 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ১২ ➤ রংপুর জিলা স্কুল]

সমাধান : \( 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) \( = (x)^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot (1)^2 - (1)^3 + x^3 \) \( = (x - 1)^3 + (x)^3 = (x - 1 + x)\{(x - 1)^2 - (x - 1) \cdot x + (x)^2\} \) \( = (2x - 1)(x^2 - 2x + 1 - x^2 + x + x^2) = (2x - 1)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( (2x - 1)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ২৬। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 54x^4 + 27x^3a - 16x - 8a \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ খুলনা জিলা স্কুল]

সমাধান : \( 54x^4 + 27x^3a - 16x - 8a \) \( = 27x^3(2x + a) - 8(2x + a) \) \( = (2x + a)(27x^3 - 8) = (2x + a)\{(3x)^3 - (2)^3\} \) \( = (2x + a)(3x - 2)\{(3x)^2 + 3x \cdot 2 + 2^2\} \) \( = (2x + a)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (2x + a)(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \).

প্রশ্ন ২৭। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x \)

[প্রশ্ন ১৪ ➤ চট্টগ্রাম সরকারি উচ্চ বিদ্যালয়]

সমাধান : \( x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x \) \( = x^5(x - 1) + x^3(x - 1) + x(x - 1) \) \( = (x - 1)(x^5 + x^3 + x) \) \( = (x - 1).x(x^4 + x^2 + 1) \) \( = x(x - 1)(x^4 + x^2 + 1) \) \( = x(x - 1)\{(x^2)^2 + 2.x^2.1 + (1)^2 - x^2\} \) \( = x(x - 1)\{(x^2 + 1)^2 - (x)^2\} \) \( = x(x - 1)(x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) \) \( = x(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( x(x - 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ২৮। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( (a + b)^3 + (a - b)^3 \).

[প্রশ্ন ৪ ➤ বরিশাল জিলা স্কুল]

সমাধান : \( (a + b)^3 + (a - b)^3 \) \( = (a + b + a - b)\{(a + b)^2 - (a + b)(a - b) + (a - b)^2\} \) \( = 2a [\{(a + b)^2 + (a - b)^2\} - (a^2 - b^2)] \) \( = 2a \{2a^2 + 2b^2 - (a^2 - b^2)\} = 2a \{2a^2 + 2b^2 - a^2 + b^2\} = 2a(a^2 + 3b^2) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( 2a(a^2 + 3b^2) \).

প্রশ্ন ২৯। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 \).

[প্রশ্ন ৬ ➤ চট্টগ্রাম কলেজিয়েট স্কুল]

সমাধান : \( 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 \) \( = 4b^2c^2 - 2b^2c^2 + 2c^2a^2 + 2a^2b^2 - a^4 - b^4 - c^4 \) \( = 4b^2c^2 - (a^4 + b^4 + c^4 + 2b^2c^2 - 2c^2a^2 - 2a^2b^2) \) \( = 4b^2c^2 - \{(-a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 + 2(-a^2).b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2(-a^2)\} \) \( = (2bc)^2 - (-a^2 + b^2 + c^2)^2 \) \( = \{2bc + (-a^2 + b^2 + c^2)\} \{2bc - (-a^2 + b^2 + c^2)\} \) \( = (2bc - a^2 + b^2 + c^2)(2bc + a^2 - b^2 - c^2) \) \( = (b^2 + 2bc + c^2 - a^2)\{a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)\} \) \( = \{(b + c)^2 - a^2\}\{a^2 - (b - c)^2\} \) \( = (b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c) \) \( = (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c) \).

প্রশ্ন ৩০। \( 16x^2 - 25y^2 - 8xz + 10yz \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ শহিদ বীর উত্তম লে. আনোয়ার গার্লস স্কুল ও কলেজ, ঢাকা; প্রশ্ন ৫ ➤ নবাব ফয়জুন্নেছা সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়, কুমিল্লা]

সমাধান : \( 16x^2 - 25y^2 - 8xz + 10yz \) \( = (4x)^2 - (5y)^2 - 2z(4x - 5y) \) \( = (4x + 5y)(4x - 5y) - 2z(4x - 5y) \) \( = (4x - 5y)(4x + 5y - 2z) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (4x - 5y)(4x + 5y - 2z) \).

প্রশ্ন ৩১। \( a^3 - 9b^3 + (a - b)^3 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ যশোর জিলা স্কুল]

সমাধান : \( a^3 - 9b^3 + (a - b)^3 \) \( = a^3 - 8b^3 + (a - b)^3 - b^3 \) \( = (a)^3 - (2b)^3 + (a - b)^3 - (b)^3 \) \( = (a - 2b)(a^2 + a \cdot 2b + 4b^2) + (a - b - b)\{(a - b)^2 + (a - b)b + b^2\} \) \( = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b)(a^2 - 2ab + b^2 + ab - b^2 + b^2) \) \( = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2) + (a - 2b)(a^2 - ab + b^2) \) \( = (a - 2b)(a^2 + 2ab + 4b^2 + a^2 - ab + b^2) \) \( = (a - 2b)(2a^2 + ab + 5b^2) \)

প্রশ্ন ৩২। \( 4x^2 - y^2 + 2y - 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ মোহাম্মদপুর প্রিপারেটরি স্কুল এন্ড কলেজ, ঢাকা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = 4x^2 - y^2 + 2y - 1 \) \( = 4x^2 - (y^2 - 2y + 1) = 4x^2 - \{(y)^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + (1)^2\} = 4x^2 - (y - 1)^2 \) \( = (2x)^2 - (y - 1)^2 = (2x + y - 1)(2x - y + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( (2x + y - 1)(2x - y + 1) \).

প্রশ্ন ৩৩। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 - 3x + \frac{3}{x} \)

[প্রশ্ন ৩ ➤ গভর্মেন্ট ল্যাবরেটরী হাই স্কুল, ময়মনসিংহ]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 - 3x + \frac{3}{x} \) \( = (x)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(x - \frac{1}{x}\right) \) \( = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(x - \frac{1}{x}\right) \) \( = \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x} - 3\right) \) \(\therefore\) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( \left(x - \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x} - 3\right) \).

প্রশ্ন ৩৪। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( p^2 - p - (x^2 + 3x + 2) \).

[প্রশ্ন ২ ➤ নাছিমা কাদির মোল্লা হাই স্কুল এন্ড হোমস, নরসিংদী]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = p^2 - p - (x^2 + 3x + 2) \) \( = p^2 - p - \{x^2 + 2x + x + 2\} \) \( = p^2 - p - \{x(x + 2) + 1(x + 2)\} \) \( = p^2 - p - (x + 2)(x + 1) \) \( = p^2 - (x + 2)p + (x + 1)p - (x + 2)(x + 1) \) \( = p(p - x - 2) + (x + 1)(p - x - 2) \) \( = (p + x + 1)(p - x - 2) \) নির্ণেয় উৎপাদক বিশ্লেষণ : \( (p + x + 1)(p - x - 2) \).

প্রশ্ন ৩৫। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \).

[প্রশ্ন ৩ ➤ বীরশ্রেষ্ঠ নূর মোহাম্মদ পাবলিক কলেজ, ঢাকা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \) \( = (x)^3 - 3 \cdot (x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot (1)^2 - (1)^3 - 1 \) \( = (x - 1)^3 - (1)^3 \) \( = (x - 1 - 1)\{(x - 1)^2 + (x - 1) \cdot (1) + (1)^2\} \) \( = (x - 2)(x^2 - 2x + 1 + x - 1 + 1) \) \( = (x - 2)(x^2 - x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( (x - 2)(x^2 - x + 1) \).

প্রশ্ন ৩৬। \( x^4 - 27x^2 + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৫ ➤ ভিকারুননিসা নূন স্কুল এন্ড কলেজ, ঢাকা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = x^4 - 27x^2 + 1 \) \( = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + (1)^2 - 25x^2 \) \( = (x^2 - 1)^2 - (5x)^2 \) \( = (x^2 - 1 - 5x)(x^2 - 1 + 5x) \) \( = (x^2 - 5x - 1)(x^2 + 5x - 1) \) \(\therefore\) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ : \( (x^2 - 5x - 1)(x^2 + 5x - 1) \).

প্রশ্ন ৩৭। উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো : \( p^2 - 9q^2 + 16p + 64 \)।

[প্রশ্ন ৮ ➤ শহিদ পুলিশ স্মৃতি কলেজ, ঢাকা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = p^2 - 9q^2 + 16p + 64 \) \( = p^2 + 16p + 64 - 9q^2 \) \( = (p)^2 + 2 \cdot 8 \cdot p + (8)^2 - (3q)^2 \) \( = (p + 8)^2 - (3q)^2 \) \( = (p + 8 + 3q)(p + 8 - 3q) \) \( = (p + 3q + 8)(p - 3q + 8) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষিত : \( (p + 3q + 8)(p - 3q + 8) \).

প্রশ্ন ৩৮। \( 8x^3 + 12x^2 + 6x - 63 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ বরিশাল ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান : \( 8x^3 + 12x^2 + 6x - 63 \) \( = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2x \cdot 1^2 + 1^3 - 64 \) \( = (2x + 1)^3 - 4^3 = (2x + 1 - 4)\{(2x + 1)^2 + (2x + 1)4 + 4^2\} \) \( = (2x - 3)\{4x^2 + 4x + 1 + 8x + 4 + 16\} \) \( = (2x - 3)(4x^2 + 12x + 21) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ, \( (2x - 3)(4x^2 + 12x + 21) \).

প্রশ্ন ৩৯। \( g(a) = a^3 + 3a + 40 \) কে \( (a + 3) \) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ আইডিয়াল স্কুল এন্ড কলেজ, মতিঝিল, ঢাকা; প্রশ্ন ৫ ➤ গভঃ ল্যাবরেটরী হাই স্কুল, রাজশাহী]

সমাধান : দেওয়া আছে, \( g(a) = a^3 + 3a + 40 \) \( g(a) \) কে \( (a + 3) \) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে \( g(-3) \) \(\therefore g(-3) = (-3)^3 + 3(-3) + 40 = -27 - 9 + 40 = -36 + 40 = 4\) নির্ণেয় ভাগশেষ 4.

প্রশ্ন ৪০। ভাগশেষ উপপাদ্যটি লেখো।

[প্রশ্ন ৫ ➤ বগুড়া সরকারি বালিকা উচ্চ বিদ্যালয়]

সমাধান : ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী \( f(x) \) কে \( (x - a) \) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য।

প্রশ্ন ৪১। উদাহরণসহ শূন্যয়ন পদ্ধতি ব্যাখ্যা করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ গভঃ ল্যাবরেটরী হাই স্কুল, রাজশাহী]

সমাধান : \( a \neq 0, ax + b = a\left(x + \frac{b}{a}\right) \). \( f(x) \) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি \( \left(x + \frac{b}{a}\right) = x - \left(-\frac{b}{a}\right) \), \( f(x) \) এর একটি উৎপাদক হয়। অর্থাৎ যদি এবং কেবল যদি \( f\left(-\frac{b}{a}\right) = 0 \) হয়। ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয়ের এই পদ্ধতিকে শূন্যয়ন পদ্ধতি (Vanishing method) বলে।

প্রশ্ন ৪২। ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে \( 4x^3 - 3x + 1 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৮ ➤ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ]

সমাধান : ধরি, \( f(x) = 4x^3 - 3x + 1 \) এখানে, \( f(-1) = 4(-1)^3 - 3(-1) + 1 = -4 + 3 + 1 = -4 + 4 = 0 \) যেহেতু \( f(-1) = 0 \), \(\therefore \{x - (-1)\} \) বা, \( (x + 1) \) হলো \( f(x) \) এর উৎপাদক। এখন, \( 4x^3 - 3x + 1 = 4x^3 + 4x^2 - 4x^2 - 4x + x + 1 \) \( = 4x^2(x + 1) - 4x(x + 1) + 1(x + 1) \) \( = (x + 1)(4x^2 - 4x + 1) = (x + 1)\{(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2\} \) \( = (x + 1)(2x - 1)^2 = (x + 1)(2x - 1)(2x - 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (x + 1)(2x - 1)(2x - 1) \).

প্রশ্ন ৪৩। \( 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৪ ➤ সিলেট সরকারি পাইলট উচ্চ বিদ্যালয়; প্রশ্ন ৩ ➤ উদয়ন মাধ্যমিক বিদ্যালয়, বরিশাল]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \) মনে করি, \( f(x) = 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \) এখানে, \( f\left(\frac{1}{3}\right) = 18\left(\frac{1}{3}\right)^3 + 15\left(\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} - 2 \) \( = \frac{18}{27} + \frac{15}{9} - \frac{1}{3} - 2 = \frac{2}{3} + \frac{5}{3} - \frac{1}{3} - 2 \) \( = \frac{2 + 5 - 1 - 6}{3} = \frac{7 - 7}{3} = \frac{0}{3} = 0 \) \(\therefore x - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}(3x - 1) \) অর্থাৎ, \( (3x - 1) \), \( f(x) \) এর একটি উৎপাদক। অর্থাৎ \( (3x - 1) \), \( f(x) \) এর একটি উৎপাদক। এখন, \( 18x^3 + 15x^2 - x - 2 \) \( = 18x^3 - 6x^2 + 21x^2 - 7x + 6x - 2 \) \( = 6x^2(3x - 1) + 7x(3x - 1) + 2(3x - 1) \) \( = (3x - 1)(6x^2 + 7x + 2) \) \( = (3x - 1)(6x^2 + 3x + 4x + 2) \) \( = (3x - 1)\{3x(2x + 1) + 2(2x + 1)\} \) \( = (3x - 1)(3x + 2)(2x + 1) \) নির্ণেয় উৎপাদকে বিশ্লেষণ : \( (3x - 1)(3x + 2)(2x + 1) \).

প্রশ্ন ৪৪ । \( a^3 - a^2 - 10a - 8 \) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।

[প্রশ্ন ৩ ➤ মতিঝিল সরকারি বালক উচ্চ বিদ্যালয়, ঢাকা]

সমাধান : প্রদত্ত রাশি \( = a^3 - a^2 - 10a - 8 \) মনে করি, \( f(a) = a^3 - a^2 - 10a - 8 \) এখানে, \( f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 10(-2) - 8 \) \( = -8 - 4 + 20 - 8 = -20 + 20 = 0 \) \(\therefore (a + 2) \), \( f(a) \) এর একটি উৎপাদক। এখন, \( a^3 - a^2 - 10a - 8 = a^3 + 2a^2 - 3a^2 - 6a - 4a - 8 \) \( = a^2(a + 2) - 3a(a + 2) - 4(a + 2) \) \( = (a + 2)(a^2 - 3a - 4) = (a + 2)(a^2 - 4a + a - 4) \) \( = (a + 2)\{a(a - 4) + 1(a - 4)\} \) \( = (a + 2)(a + 1)(a - 4) \).