(সর্বক্ষেত্রে যদি $a : b = c : d$ হয়)
১. ব্যস্তকরণ ধর্ম: $a : b = c : d$ হলে, অর্থাৎ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$ হবে।
২. একান্তরকরণ ধর্ম: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ হবে। অথবা, $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$।
৩. যোজন ধর্ম: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ হবে।
৪. বিয়োজন ধর্ম: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ হবে।
৫. যোজন-বিয়োজন ধর্ম: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$ হবে।
৬. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{g}{h}$ হলে, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{g}{h} = \frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}$ হবে।
৭. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$ হবে।
রাশি (Expression), অনুপাত (Ratio), সমানুপাত (Proportion), ব্যস্তকরণ (Invertendo), একান্তরকরণ (Alternendo), যোজন (Componendo), বিয়োজন (Dividendo), ক্রমিক সমানুপাতী (Continued Proportion).
দুটি একজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কত গুণ বা কত অংশ তা যে ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায় তাকে উক্ত রাশি দুইটির অনুপাত বলা হয়।
উদাহরণ: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$, অপর একটি বৃত্ত যার ব্যাসার্ধ প্রথম বৃত্তের $3$ গুণ। এখন বৃত্তদ্বয়কে অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করলে এর প্রকাশ মাধ্যম হবে, $\frac{r}{3r}$ বা $r : 3r$ এবং পড়া হবে $r$ অনুপাত $3r$।
"$:$" চিহ্নটি হলো অনুপাতের গাণিতিক চিহ্ন। সুতরাং দুটি রাশির অনুপাত নির্ণয় করতে হলে প্রথম রাশিটিকে দ্বিতীয় রাশি দ্বারা ভাগ করতে হয়। অতএব অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। এর কোনো একক নেই।
☑ সরল অনুপাত (Simple Ratio): অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে।
☑ সরল অনুপাতের পূর্ব-রাশি ও উত্তর রাশি: সরল অনুপাতের প্রথম ও দ্বিতীয় রাশিকে যথাক্রমে পূর্বরাশি ও উত্তর রাশি বলে। যেমন: $r : 3r$ এ পূর্বরাশি $r$ এবং উত্তর রাশি $3r$.
☑ দ্বিগুণানুপাত: কোনো সরল অনুপাতের পূর্বরাশির বর্গকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিগুণানুপাত বলা হয়। যেমন: $a, b$ এর সরল অনুপাত অর্থাৎ $a : b$ এর দ্বিগুণানুপাত হবে $a^2 : b^2$
যদি চারটি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয়টির অনুপাত এবং তৃতীয় ও চতুর্থটির অনুপাত পরস্পর সমান হয়, তবে উক্ত চারটি রাশির সমন্বিত অনুপাতকে সমানুপাত বলা হয়। যেমন: যদি $a, b, c, d$ চারটি রাশি হয় এবং এদের মধ্যে সম্পর্ক এমন হয় যে, $a : b = c : d$ তবে এদের সম্পর্ককে বলা হয় সমানুপাত। সমানুপাত ($=$) চিহ্নের পরিবর্তে অনেক সময় $::$ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।
যেমন: $a : b :: c : d$,
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
$\therefore ad = bc$
অর্থাৎ ১ম ও ৪র্থ রাশির গুণফল, ২য় ও ৩য় রাশির গুণফলের সমান হবে।
☑ ক্রমিক সমানুপাত (Continued Proportion): তিনটি প্রদত্ত রাশির প্রথম ও দ্বিতীয়টির অনুপাত এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয়টির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, অর্থাৎ ১ম রাশি $:$ ২য় রাশি $=$ ২য় রাশি $:$ ৩য় রাশি হলে সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে এবং রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে। এক্ষেত্রে ১ম ও ৩য় রাশির গুণফল ২য় রাশির বর্গের সমান হবে। যেমন: $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় $a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\text{বা, } ac = b^2$
সুতরাং $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি $ac = b^2$ হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি একই জাতীয় হতে হবে।
(খ) $x : y = 5 : 6$ হলে, $3x : 5y = \text{কত?}$
দেওয়া আছে, $3.5 : 5.6 = \frac{3.5}{3.5} : \frac{5.6}{3.5} \quad [3.5 \text{ দ্বারা ভাগ করে}]$
$= 1 : 1.6$
$\therefore 1 : a = 1 : 1.6 \quad [\text{যেখানে, } a = 1.6]$
আবার,
$3.5 : 5.6 = \frac{3.5}{5.6} : \frac{5.6}{5.6} \quad [5.6 \text{ দ্বারা ভাগ করে}]$
$= 0.625 : 1$
$\therefore b : 1 = 0.625 : 1 \quad [\text{যেখানে, } b = 0.625]$
$x : y = 5 : 6$
$\text{বা, } \frac{x}{y} = \frac{5}{6}$
$\text{বা, } \frac{x}{y} \cdot \frac{3}{5} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} \quad \left[\text{উভয়পক্ষকে } \frac{3}{5} \text{ দ্বারা গুণ করে}\right]$
$\text{বা, } \frac{3x}{5y} = \frac{15}{30}$
$\text{বা, } \frac{3x}{5y} = \frac{1}{2}$
$\therefore 3x : 5y = 1 : 2 \quad [\text{Ans.}]$
(খ) একটি ল্যাম্পপোস্ট থেকে $p$ মিটার দূরে দাঁড়ানো $r$ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট এক ব্যক্তির ছায়ার দৈর্ঘ্য $s$ মিটার। ল্যাম্পপোস্টের উচ্চতা $p, r$ ও $s$ এর মাধ্যমে নির্ণয় কর।
মনে করি, মাতার বর্তমান বয়স $a$ বছর
এবং কন্যার বর্তমান বয়স $b$ বছর
প্রশ্নানুসারে,
$a + b = s \dots\dots (i)$
$\therefore t$ বছর পূর্বে মাতার বয়স $= a - t$
এবং $t$ বছর পূর্বে কন্যার বয়স $= b - t$
$\therefore \frac{a-t}{b-t} = \frac{r}{p} \dots\dots (ii)$
$(ii)$ নং থেকে পাই,
$\frac{a-t}{b-t} = \frac{r}{p}$
$\text{বা, } \frac{a-t+b-t}{b-t} = \frac{r+p}{p} \quad [\text{যোজন করে}]$
$\text{বা, } \frac{a+b-2t}{b-t} = \frac{r+p}{p}$
$\text{বা, } \frac{s-2t}{b-t} = \frac{r+p}{p} \quad [(i) \text{ নং হতে মান বসিয়ে}]$
$\text{বা, } (b-t)(r+p) = p(s-2t)$
$\text{বা, } b-t = \frac{p(s-2t)}{r+p}$
$\therefore b = \frac{p(s-2t)}{r+p} + t$
আবার, $(ii)$ নং থেকে পাই,
$\frac{a-t}{b-t} = \frac{r}{p}$
$\text{বা, } \frac{b-t}{a-t} = \frac{p}{r} \quad [\text{ব্যস্তকরণ করে}]$
$\text{বা, } \frac{b-t+a-t}{a-t} = \frac{p+r}{r} \quad [\text{যোজন করে}]$
$\text{বা, } \frac{a+b-2t}{a-t} = \frac{p+r}{r}$
$\text{বা, } \frac{s-2t}{a-t} = \frac{p+r}{r} \quad [(i) \text{ নং হতে মান বসিয়ে}]$
$\text{বা, } (a-t)(p+r) = r(s-2t)$
$\text{বা, } a-t = \frac{r(s-2t)}{p+r}$
$\text{বা, } a = \frac{r(s-2t)}{p+r} + t$
$\therefore a = \frac{r(s-2t)}{r+p} + t$
$\therefore x$ বছর পরে মাতার বয়স $= a + x$
এবং $x$ বছর পরে কন্যার বয়স $= b + x$
$\therefore x$ বছর পরে মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত $= \frac{a+x}{b+x}$
$$= \frac{\frac{(s-2t)r}{r+p} + t + x}{\frac{(s-2t)p}{r+p} + t + x}$$
$\therefore x$ বছর পরে মাতা ও কন্যার বয়সের অনুপাত হবে,
$$\left\{\frac{(s-2t)r}{r+p} + t + x\right\} : \left\{\frac{(s-2t)p}{r+p} + t + x\right\} \quad [\text{Ans.}]$$
মনে করি,
ল্যাম্পপোস্টটির উচ্চতা, $AB = h$ মিটার
ব্যক্তির উচ্চতা, $DE = r$ মিটার
ল্যাম্পপোস্ট থেকে ব্যক্তির দূরত্ব, $BE = p$ মিটার
ব্যক্তির ছায়া, $EC = s$ মিটার
$\therefore$ ল্যাম্পপোস্ট থেকে ছায়ার শেষ বিন্দুর দূরত্ব, $BC = (p + s)$ মিটার
যেহেতু, ছায়া উচ্চতার সমানুপাতিক।
সুতরাং, $r \propto s$
$\text{বা, } \frac{r}{s} = k \dots\dots (i)$
আবার, চিত্র থেকে $h \propto (p + s)$
$\text{বা, } h = k(p + s)$
$\text{বা, } \frac{h}{p+s} = k \dots\dots (ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ নং সমীকরণ হতে পাই,
$$\frac{h}{p+s} = \frac{r}{s}$$
$\text{বা, } hs = r(p + s)$
$\text{বা, } hs = rp + rs$
$\text{বা, } rp = hs - rs$
$\text{বা, } p = \frac{s(h-r)}{r}$
$\text{বা, } s(h-r) = pr$
$\text{বা, } h - r = \frac{pr}{s}$
$\text{বা, } h = r + \frac{pr}{s}$
$$\therefore h = r\left(\frac{p}{s} + 1\right) \quad [\text{Ans.}]$$
$B$ বিন্দুতে অবস্থিত ল্যাম্প পোস্টের উচ্চতা, $AB = h$ মিটার। $B$ থেকে $p$ মিটার দূরে $E$ বিন্দুতে দাঁড়ানো, $DE = r$ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট এক ব্যক্তির ছায়ার দৈর্ঘ্য, $EC = s$ মিটার।
$\therefore$ ল্যাম্পপোস্ট থেকে ছায়ার প্রান্ত বিন্দুর দূরত্ব $= BE + EC$
$= (p + s)$ মিটার
যেহেতু ছায়া, উচ্চতার সমানুপাতিক
সেহেতু, $h : r = (p + s) : s$
$\text{বা, } \frac{h}{r} = \frac{p+s}{s}$
$\text{বা, } (p + s)r = sh$
$\text{বা, } h = \frac{(p+s)r}{s}$
$\text{বা, } h = r\left(\frac{p}{s} + \frac{s}{s}\right)$
$\therefore h = r\left(\frac{p}{s} + 1\right)$ মিটার
$\therefore$ ল্যাম্পপোস্ট এর উচ্চতা $= r\left(\frac{p}{s} + 1\right)$ মিটার। $[\text{Ans.}]$
পাঠ্যবই-এর ২, ৩ [ব.বো.'২৬; য.বো.'১৯; চ.বো.'১৯; কু.বো.'১৭; দি.বো.'১৭; সি.বো.'১৬], ৪, ৫, ৬ [ঢা.বো.'২৬; য.বো.'১৭ (সৃজনশীল)], ৭, ৮, ৯, ১০, ১১ নং উদাহরণ।
(ক) দেখাও যে, $\frac{a}{c} = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
(খ) প্রমাণ কর যে, $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2$
(গ) $\frac{x+5p}{x-5p} + \frac{x+5q}{x-5q}$ এর মান নির্ণয় করো। যেখানে, $p \neq q$
দেওয়া আছে, $a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\text{বা, } ac = b^2$
$$\text{ডানপক্ষ } = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \frac{a^2+ac}{ac+c^2} = \frac{a(a+c)}{c(a+c)}$$
$$= \frac{a}{c}$$
$$= \text{বামপক্ষ}$$
$$\therefore \frac{a}{c} = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $a, b, c$ ও $d$ ক্রমিক সমানুপাতী
$$\therefore \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$$
ধরি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$, যেখানে $k$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক।
$\therefore \frac{c}{d} = k \implies \text{বা, } c = dk$
$\frac{b}{c} = k \implies \text{বা, } b = ck = k \cdot dk = dk^2$
$\frac{a}{b} = k \implies \text{বা, } a = bk = dk^2 \cdot k = dk^3$
$\text{বামপক্ষ } = (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$
$= \{(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2\} \{(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2\} \quad [a=dk^3, b=dk^2, c=dk]$
$= (d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2)(d^2k^4 + d^2k^2 + d^2)$
$= d^2k^2(k^4 + k^2 + 1) \times d^2(k^4 + k^2 + 1)$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
$\text{ডানপক্ষ } = (ab + bc + cd)^2$
$= (dk^3 \cdot dk^2 + dk^2 \cdot dk + dk \cdot d)^2$
$= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2$
$= \{d^2k(k^4 + k^2 + 1)\}^2$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2 \quad [\text{প্রমাণিত}]$
দেওয়া আছে, $x = \frac{10pq}{p+q}$
$\text{বা, } \frac{x}{5p} = \frac{2q}{p+q} \quad [5p \text{ দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে}]$
$\text{বা, } \frac{x+5p}{x-5p} = \frac{2q+p+q}{2q-p-q} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$
$\text{বা, } \frac{x+5p}{x-5p} = \frac{3q+p}{q-p} \dots\dots (i)$
আবার, $x = \frac{10pq}{p+q}$
$\text{বা, } \frac{x}{5q} = \frac{2p}{p+q} \quad [5q \text{ দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ করে}]$
$\text{বা, } \frac{x+5q}{x-5q} = \frac{2p+p+q}{2p-p-q} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$
$\text{বা, } \frac{x+5q}{x-5q} = \frac{3p+q}{p-q} \dots\dots (ii)$
এখন, $(i)$ ও $(ii)$ নং যোগ করে পাই,
$$\frac{x+5p}{x-5p} + \frac{x+5q}{x-5q} = \frac{3q+p}{q-p} + \frac{3p+q}{p-q}$$
$$= \frac{3q+p}{q-p} - \frac{3p+q}{q-p}$$
$$= \frac{3q+p-3p-q}{q-p}$$
$$= \frac{2q-2p}{q-p}$$
$$= \frac{2(q-p)}{q-p} = 2 \quad [\text{Ans.}]$$
মনে করি, বর্গক্ষেত্র দুইটি $A$ এবং $B$
$A$ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ মিটার
$\therefore A$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গমিটার
এবং $B$ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য $= b$ মিটার
$\therefore B$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= b^2$ বর্গমিটার
$\therefore A$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $: B$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2 : b^2$
$\therefore$ নির্ণেয় বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $= a^2 : b^2 \quad [\text{Ans.}]$
মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$ একক
$\therefore$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ বর্গএকক।
মনে করি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ একক
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
$\pi r^2 = a^2$
$\text{বা, } \sqrt{\pi} r = a$
$\text{বা, } \frac{r}{a} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \dots\dots (i)$
$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা বা চার বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি $= 4a$ একক
আবার, বৃত্তের পরিসীমা বা পরিধি $= 2\pi r$ একক
$$\therefore \frac{\text{বৃত্তক্ষেত্রের পরিসীমা}}{\text{বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা}} = \frac{2\pi r}{4a} = \frac{\pi}{2} \times \frac{r}{a}$$
$$= \frac{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{\pi}} \quad [(i) \text{ নং হতে}]$$
$$= \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
$$= \sqrt{\pi} : 2$$
$\therefore \text{বৃত্তক্ষেত্রের পরিসীমা} : \text{বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা} = \sqrt{\pi} : 2 \quad [\text{Ans.}]$
দেওয়া আছে, সংখ্যা দুইটির অনুপাত $3 : 4$
মনে করি, প্রদত্ত অনুপাত অনুসারে সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $3x$ ও $4x$
$\therefore 3x$ এবং $4x$ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু $= 12x$
প্রশ্নানুসারে, $12x = 180$
$\text{বা, } x = \frac{180}{12}$
$\text{বা, } x = 15$
$\therefore$ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে $3 \times 15 = 45$ এবং $4 \times 15 = 60 \quad [\text{Ans.}]$
মনে করি, প্রদত্ত অনুপাত অনুসারে,
অনুপস্থিত ছাত্র $= x$
এবং উপস্থিত ছাত্র $= 4x$
মোট ছাত্র $= x + 4x = 5x$
$$\text{সুতরাং, শতকরা অনুপস্থিত ছাত্র} = \left(\frac{\text{অনুপস্থিত ছাত্র}}{\text{মোট ছাত্র}} \times 100\right)\%$$
$$= \left(\frac{x}{5x} \times 100\%\right)$$
$$= \frac{100}{5}\%$$
$$= 20\%$$
$\therefore \text{অনুপস্থিত ছাত্র} = 20\% \quad [\text{Ans.}]$
মনে করি, ক্রয়মূল্য $100$ টাকা
তাহলে $28\%$ ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য $= (100 - 28)$ টাকা
$= 72$ টাকা
$$\frac{\text{বিক্রয়মূল্য}}{\text{ক্রয়মূল্য}} = \frac{72}{100} = \frac{18}{25} \quad [\text{লব ও হরকে } 4 \text{ দ্বারা ভাগ করে}]$$
বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত $= 18 : 25$
$\therefore \text{নির্ণেয় অনুপাত } 18 : 25 \quad [\text{Ans.}]$
মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স $a$ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স $b$ বছর
$7$ বছর পূর্বে পিতার বয়স $= a - 7$ বছর
$7$ বছর পূর্বে পুত্রের বয়স $= b - 7$ বছর
প্রশ্নমতে, $a + b = 70 \dots\dots (i)$
এবং, $\frac{a-7}{b-7} = \frac{5}{2} \dots\dots (ii)$
$(ii)$ নং থেকে পাই,
$$\frac{a-7+b-7}{b-7} = \frac{5+2}{2} \quad [\text{যোজন করে}]$$
$\text{বা, } \frac{a+b-14}{b-7} = \frac{7}{2}$
$\text{বা, } \frac{70-14}{b-7} = \frac{7}{2} \quad [(i) \text{ নং থেকে মান বসিয়ে}]$
$\text{বা, } \frac{56}{b-7} = \frac{7}{2}$
$\text{বা, } (b-7)7 = 112 \quad [\text{আড়গুণন করে}]$
$\text{বা, } b - 7 = \frac{112}{7}$
$\text{বা, } b - 7 = 16$
$\therefore b = 23$
এখন, $b$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, $a + b = 70$
$\text{বা, } a + 23 = 70$
$\therefore a = 47$
$\therefore 5$ বছর পরে পিতার বয়স $= a + 5$
এবং $5$ বছর পরে পুত্রের বয়স $= b + 5$
$$\therefore 5 \text{ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত } = \frac{a+5}{b+5}$$
$$= \frac{47+5}{23+5} = \frac{52}{28} = \frac{13}{7} = 13 : 7$$
$\therefore \text{নির্ণেয় অনুপাত } 13 : 7 \quad [\text{Ans.}]$
ধরি,
$7$ বছর পূর্বে পিতা ও পুত্রের বয়স যথাক্রমে $5x$ ও $2x$
$\therefore$ বর্তমানে পিতার বয়স $(5x + 7)$ বছর
এবং বর্তমানে পুত্রের বয়স $(2x + 7)$ বছর
প্রশ্নমতে, $5x + 7 + 2x + 7 = 70$
$\text{বা, } 7x + 14 = 70$
$\text{বা, } 7x = 70 - 14$
$\text{বা, } 7x = 56$
$\therefore x = 8$
$\therefore$ পিতার বর্তমান বয়স $= (5 \times 8 + 7)$ বছর $= 47$ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স $= (2 \times 8 + 7)$ বছর $= 23$ বছর
আবার, $5$ বছর পর পিতার বয়স $= (47 + 5)$ বছর $= 52$ বছর
এবং $5$ বছর পর পুত্রের বয়স $= (23 + 5)$ বছর $= 28$ বছর
$\therefore \text{পিতার বয়স} : \text{পুত্রের বয়স} = 52 : 28$
$= 13 : 7 \quad [4 \text{ দ্বারা ভাগ করে}] \quad [\text{Ans.}]$
(ক) $\frac{a}{c} = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$
(খ) $a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\right) = a^3 + b^3 + c^3$
(গ) $\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} = 1$
দেওয়া আছে, $a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\therefore b^2 = ac$
$$\text{ডানপক্ষ } = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}$$
$$= \frac{a^2+ac}{ac+c^2} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= \frac{a(a+c)}{c(a+c)}$$
$$= \frac{a}{c} = \text{বামপক্ষ}$$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{a}{c} = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\therefore b^2 = ac$
$$\text{এখন, বামপক্ষ } = a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\right)$$
$$= \frac{a^2b^2c^2}{a^3} + \frac{a^2b^2c^2}{b^3} + \frac{a^2b^2c^2}{c^3}$$
$$= \frac{b^2c^2}{a} + \frac{a^2c^2}{b} + \frac{a^2b^2}{c}$$
$$= \frac{(ac)\cdot c^2}{a} + \frac{(ac)^2}{b} + \frac{a^2(ac)}{c} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= \frac{a\cdot c^3}{a} + \frac{(b^2)^2}{b} + \frac{a^3\cdot c}{c} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= c^3 + b^3 + a^3$$
$$= a^3 + b^3 + c^3 = \text{ডানপক্ষ}$$
$$\text{অর্থাৎ, } a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}\right) = a^3 + b^3 + c^3 \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\therefore b^2 = ac$
$$\text{বামপক্ষ } = \frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}$$
$$= \frac{bac(a+b+c)^3}{(ab+bc+ac)^3}$$
$$= \frac{b\cdot b^2(a+b+c)^3}{(ab+bc+b^2)^3} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= \frac{b\cdot b^2(a+b+c)^3}{\{b(a+c+b)\}^3}$$
$$= \frac{b^3(a+b+c)^3}{b^3(a+b+c)^3}$$
$$= 1 = \text{ডানপক্ষ}$$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3} = 1 \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
(ক) $\frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}} = \frac{1}{3}$
(খ) $\frac{a+x-\sqrt{a^2-x^2}}{a+x+\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{x}, \quad 2a > b > 0 \text{ এবং } x \neq 0$
(গ) $81\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3 = \frac{1+x}{1-x}$
$$\frac{1-\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1-x}} = \frac{1}{3}$$
$$\text{বা, } \frac{1-\sqrt{1-x}+1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}-1-\sqrt{1-x}} = \frac{1+3}{1-3} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2}{-2\sqrt{1-x}} = \frac{4}{-2}$$
$$\text{বা, } \frac{1}{-\sqrt{1-x}} = -2$$
$$\text{বা, } \frac{1}{\sqrt{1-x}} = 2 \quad [-1 \text{ দ্বারা গুণ করে}]$$
$\text{বা, } 2\sqrt{1-x} = 1 \quad [\text{আড়গুণন করে}]$
$\text{বা, } (2\sqrt{1-x})^2 = (1)^2 \quad [\text{উভয় পক্ষকে বর্গ করে}]$
$\text{বা, } 4(1-x) = 1$
$\text{বা, } 4 - 4x = 1$
$\text{বা, } 4x = 3$
$$\therefore x = \frac{3}{4}$$
$$\therefore \text{নির্ণেয় সমাধান: } x = \frac{3}{4} \quad [\text{Ans.}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{a+x-\sqrt{a^2-x^2}}{a+x+\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b}{x}$
$$\text{সুতরাং, } \frac{a+x-\sqrt{a^2-x^2}+a+x+\sqrt{a^2-x^2}}{a+x-\sqrt{a^2-x^2}-a-x-\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b+x}{b-x} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2(a+x)}{-2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b+x}{b-x}$$
$$\text{বা, } \frac{a+x}{-\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{b+x}{b-x}$$
$$\text{বা, } \frac{(a+x)^2}{a^2-x^2} = \frac{(b+x)^2}{(b-x)^2} \quad [\text{উভয় পক্ষকে বর্গ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{(a+x)(a+x)}{(a+x)(a-x)} = \frac{(b+x)^2}{(b-x)^2}$$
$$\text{বা, } \frac{a+x}{a-x} = \frac{b^2+2bx+x^2}{b^2-2bx+x^2}$$
$$\text{বা, } \frac{a+x+a-x}{a+x-a+x} = \frac{b^2+2bx+x^2+b^2-2bx+x^2}{b^2+2bx+x^2-b^2+2bx-x^2} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2a}{2x} = \frac{2b^2+2x^2}{4bx}$$
$$\text{বা, } \frac{2a}{2x} = \frac{2(b^2+x^2)}{4bx}$$
$$\text{বা, } \frac{a}{x} = \frac{b^2+x^2}{2bx}$$
$$\text{বা, } a = \frac{b^2+x^2}{2b} \quad [x \text{ দ্বারা গুণ করে}]$$
$\text{বা, } x^2 + b^2 = 2ab$
$\text{বা, } x^2 = 2ab - b^2$
$\therefore x = \pm\sqrt{2ab - b^2}$
$\therefore \text{নির্ণেয় সমাধান: } x = \pm\sqrt{2ab - b^2} \quad [\text{Ans.}]$
$$81\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^3 = \frac{1+x}{1-x}$$
$$\text{বা, } 81 = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3 \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$$
$$\text{বা, } 81 = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^4$$
$$\text{বা, } 9^2 = \left\{\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2\right\}^2$$
$$\text{বা, } 9 = \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2 \quad [\text{বর্গমূল করে}]$$
$$\text{বা, } \left(\frac{1+x}{1-x}\right)^2 = 9$$
$$\text{বা, } \frac{1+x}{1-x} = \pm 3 \quad [\text{পুনরায় বর্গমূল করে}]$$
$$\therefore \frac{1+x}{1-x} = 3$$
$\text{বা, } 1 + x = 3 - 3x$
$\text{বা, } x + 3x = 3 - 1$
$\text{বা, } 4x = 2$
$\text{বা, } x = \frac{2}{4}$
$$\therefore x = \frac{1}{2}$$
$$\text{অথবা, } \frac{1+x}{1-x} = -3$$
$\text{বা, } 1 + x = -3 + 3x$
$\text{বা, } x - 3x = -3 - 1$
$\text{বা, } -2x = -4$
$\text{বা, } x = \frac{4}{2}$
$$\therefore x = 2$$
$$\therefore \text{নির্ণেয় সমাধান: } x = 2, \frac{1}{2} \quad [\text{Ans.}]$$
(ক) $\frac{a^3+b^3}{b^3+c^3} = \frac{b^3+c^3}{c^3+d^3}$
(খ) $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2$
দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$
মনে করি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$
$\therefore c = dk$
এবং $b = ck = dk \cdot k \quad [\because c = dk] = dk^2$
$\therefore a = bk = dk^2 \cdot k \quad [\because b = dk^2] = dk^3$
$$\text{এখন, বামপক্ষ } = \frac{a^3+b^3}{b^3+c^3}$$
$$= \frac{(dk^3)^3 + (dk^2)^3}{(dk^2)^3 + (dk)^3} \quad [\because a = dk^3, b = dk^2, c = dk]$$
$$= \frac{d^3k^9 + d^3k^6}{d^3k^6 + d^3k^3}$$
$$= \frac{d^3k^6(k^3+1)}{d^3k^3(k^3+1)}$$
$$= \frac{k^6}{k^3} = \frac{k^3 \cdot k^3}{k^3} = k^3$$
$$\text{আবার, ডানপক্ষ } = \frac{b^3+c^3}{c^3+d^3}$$
$$= \frac{(dk^2)^3 + (dk)^3}{(dk)^3 + d^3} \quad [\because b = dk^2, c = dk]$$
$$= \frac{d^3k^6 + d^3k^3}{d^3k^3 + d^3}$$
$$= \frac{d^3k^3(k^3+1)}{d^3(k^3+1)} = k^3$$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{a^3+b^3}{b^3+c^3} = \frac{b^3+c^3}{c^3+d^3} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d}$
মনে করি, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = k$
$\therefore c = dk$
এবং $b = ck = dk \cdot k \quad [\because c = dk] = dk^2$
এবং $a = bk = dk^2 \cdot k \quad [\because b = dk^2] = dk^3$
$\text{এখন, বামপক্ষ } = (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)$
$= \{(dk^3)^2 + (dk^2)^2 + (dk)^2\}\{(dk^2)^2 + (dk)^2 + d^2\} \quad [a, b \text{ ও } c\text{-এর মান বসিয়ে}]$
$= (d^2k^6 + d^2k^4 + d^2k^2)(d^2k^4 + d^2k^2 + d^2)$
$= d^2k^2(k^4 + k^2 + 1) d^2(k^4 + k^2 + 1)$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
$\text{আবার, ডানপক্ষ } = (ab + bc + cd)^2$
$= (dk^3 \cdot dk^2 + dk^2 \cdot dk + dk \cdot d)^2 \quad [a, b \text{ ও } c\text{-এর মান বসিয়ে}]$
$= (d^2k^5 + d^2k^3 + d^2k)^2$
$= \{d^2k(k^4 + k^2 + 1)\}^2$
$= d^4k^2(k^4 + k^2 + 1)^2$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$\text{অর্থাৎ, } (a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2) = (ab+bc+cd)^2 \quad [\text{দেখানো হলো}]$
দেওয়া আছে,
$$x = \frac{4ab}{a+b} \dots\dots (i)$$
$$\frac{x}{2a} = \frac{4ab}{2a(a+b)}$$
$$\text{বা, } \frac{x}{2a} = \frac{2b}{a+b}$$
$$\frac{x+2a}{x-2a} = \frac{2b+a+b}{2b-a-b} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+2a}{x-2a} = \frac{3b+a}{b-a} \dots\dots (ii)$$
আবার $(i)$ হতে,
$$\frac{x}{2b} = \frac{2a}{a+b} \quad [2b \text{ দ্বারা ভাগ করে}]$$
$$\therefore \frac{x+2b}{x-2b} = \frac{2a+a+b}{2a-a-b} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+2b}{x-2b} = \frac{3a+b}{a-b} \dots\dots (iii)$$
$$\text{এখন বামপক্ষ } = \frac{x+2a}{x-2a} + \frac{x+2b}{x-2b}$$
$$= \frac{3b+a}{b-a} + \frac{3a+b}{a-b} \quad [(ii) \text{ ও } (iii) \text{ নং হতে মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{3b+a}{b-a} - \frac{3a+b}{b-a}$$
$$= \frac{3b+a-3a-b}{b-a}$$
$$= \frac{2b-2a}{b-a} = \frac{2(b-a)}{b-a} = 2$$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{x+2a}{x-2a} + \frac{x+2b}{x-2b} = 2 \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে,
$$\frac{x+2a}{x-2a} + \frac{x+2b}{x-2b} = 2$$
$$\text{বা, } \frac{(x+2a)(x-2b) + (x+2b)(x-2a)}{(x-2a)(x-2b)} = 2$$
$$\text{বা, } \frac{x^2+2ax-2bx-4ab+x^2+2bx-2ax-4ab}{x^2-2ax-2bx+4ab} = 2$$
$\text{বা, } x^2+2ax-2bx-4ab+x^2+2bx-2ax-4ab = 2(x^2-2ax-2bx+4ab)$
$\text{বা, } 2x^2 - 8ab = 2x^2 - 4ax - 4bx + 8ab$
$\text{বা, } 2x^2 - 2x^2 + 4ax + 4bx = 8ab + 8ab$
$\text{বা, } 4ax + 4bx = 16ab$
$\text{বা, } 4x(a+b) = 16ab$
$$\text{বা, } x = \frac{16ab}{4(a+b)}$$
$$\therefore x = \frac{4ab}{(a+b)} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে,
$$x = \frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}+\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}-\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \frac{2\sqrt[3]{m+1}}{2\sqrt[3]{m-1}}$$
$$\text{বা, } \frac{(x+1)^3}{(x-1)^3} = \frac{(\sqrt[3]{m+1})^3}{(\sqrt[3]{m-1})^3} \quad [\text{উভয় পক্ষকে ঘন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x^2+3x+1}{x^3-3x^2+3x-1} = \frac{m+1}{m-1}$$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x^2+3x+1+x^3-3x^2+3x-1}{x^3+3x^2+3x+1-x^3+3x^2-3x+1} = \frac{m+1+m-1}{m+1-m+1} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2x^3+6x}{6x^2+2} = \frac{2m}{2}$$
$$\text{বা, } \frac{2(x^3+3x)}{2(3x^2+1)} = \frac{2m}{2}$$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x}{3x^2+1} = \frac{m}{1}$$
$\text{বা, } x^3 + 3x = m(3x^2 + 1) \quad [\text{আড়গুণন করে}]$
$\text{বা, } x^3 + 3x = 3mx^2 + m$
$\text{বা, } x^3 + 3x - 3mx^2 - m = 0 \quad [\text{পক্ষান্তর করে}]$
$\therefore x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0 \quad [\text{প্রমাণিত}]$
দেওয়া আছে,
$x^3 - 3mx^2 + 3x - m = 0$
$\text{বা, } x^3 + 3x = 3mx^2 + m$
$\text{বা, } x^3 + 3x = m(3x^2 + 1)$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x}{3x^2+1} = m$$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x+3x^2+1}{x^3+3x-3x^2-1} = \frac{m+1}{m-1} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x^3+3x^2\cdot 1+3\cdot x\cdot 1^2+1^3}{x^3-3x^2\cdot 1+3\cdot x\cdot 1^2-1^3} = \frac{m+1}{m-1}$$
$$\text{বা, } \frac{(x+1)^3}{(x-1)^3} = \frac{m+1}{m-1}$$
$$\text{বা, } \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3 = \frac{m+1}{m-1}$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \sqrt[3]{\frac{m+1}{m-1}} \quad [\text{ঘনমূল করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+1+x-1}{x+1-x+1} = \frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}} \quad [\text{পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2x}{2} = \frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}}$$
$$\therefore x = \frac{\sqrt[3]{m+1}+\sqrt[3]{m-1}}{\sqrt[3]{m+1}-\sqrt[3]{m-1}} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে,
$$x = \frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}+\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}-\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \frac{2\sqrt{2a+3b}}{2\sqrt{2a-3b}}$$
$$\text{বা, } \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{(\sqrt{2a+3b})^2}{(\sqrt{2a-3b})^2} \quad [\text{উভয়পক্ষকে বর্গ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x^2+2x+1}{x^2-2x+1} = \frac{2a+3b}{2a-3b}$$
$$\text{বা, } \frac{x^2+2x+1+x^2-2x+1}{x^2+2x+1-x^2+2x-1} = \frac{2a+3b+2a-3b}{2a+3b-2a+3b} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2x^2+2}{4x} = \frac{4a}{6b}$$
$$\text{বা, } \frac{2(x^2+1)}{2 \cdot 2x} = \frac{2 \cdot 2a}{2 \cdot 3b}$$
$$\text{বা, } \frac{x^2+1}{2x} = \frac{2a}{3b}$$
$\text{বা, } 3b(x^2+1) = 2a \cdot 2x \quad [\text{আড়গুণন করে}]$
$\text{বা, } 3bx^2 + 3b - 4ax = 0$
$\therefore 3bx^2 - 4ax + 3b = 0 \quad [\text{দেখানো হলো}]$
দেওয়া আছে,
$3bx^2 - 4ax + 3b = 0$
$\text{বা, } 3bx^2 + 3b - 4ax = 0$
$\text{বা, } 3bx^2 + 3b = 4ax$
$\text{বা, } 3b(x^2 + 1) = 2a \cdot 2x$
$$\text{বা, } \frac{x^2+1}{2x} = \frac{2a}{3b} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2(x^2+1^2)}{4x\cdot 1} = \frac{2a}{3b}$$
$$\text{বা, } \frac{(x+1)^2+(x-1)^2}{(x+1)^2-(x-1)^2} = \frac{2a}{3b} \quad [2(a^2+b^2) = (a+b)^2+(a-b)^2 \text{ এবং } 4ab = (a+b)^2-(a-b)^2]$$
$$\text{বা, } \frac{(x+1)^2+(x-1)^2+(x+1)^2-(x-1)^2}{(x+1)^2+(x-1)^2-(x+1)^2+(x-1)^2} = \frac{2a+3b}{2a-3b} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2(x+1)^2}{2(x-1)^2} = \frac{2a+3b}{2a-3b}$$
$$\text{বা, } \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 = \frac{2a+3b}{2a-3b}$$
$$\text{বা, } \frac{x+1}{x-1} = \sqrt{\frac{2a+3b}{2a-3b}} \quad [\text{বর্গমূল করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{x+1+x-1}{x+1-x+1} = \frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2x}{2} = \frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}}$$
$$\therefore x = \frac{\sqrt{2a+3b}+\sqrt{2a-3b}}{\sqrt{2a+3b}-\sqrt{2a-3b}} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে,
$$\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \frac{(a+b)^2}{(b+c)^2}$$
$$\text{বা, } \frac{(b+c)^2}{b^2+c^2} = \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{b^2+2bc+c^2}{b^2+c^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2+b^2}$$
$$\text{বা, } \frac{b^2+2bc+c^2-b^2-c^2}{b^2+c^2} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2-b^2}{a^2+b^2} \quad [\text{বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2bc}{b^2+c^2} = \frac{2ab}{a^2+b^2}$$
$$\text{বা, } \frac{c}{b^2+c^2} = \frac{a}{a^2+b^2} \quad [\text{উভয়পক্ষকে } 2b \text{ দ্বারা ভাগ করে}]$$
$\text{বা, } c(a^2+b^2) = a(b^2+c^2)$
$\text{বা, } ca^2 + b^2c = ab^2 + ac^2$
$\text{বা, } ca^2 - ac^2 = ab^2 - b^2c$
$\text{বা, } ca(a - c) = b^2(a - c)$
$$\text{বা, } ac = b^2 \frac{(a-c)}{(a-c)}$$
$\text{বা, } ac = b^2$
$$\text{বা, } \frac{ac}{bc} = \frac{b^2}{bc}$$
$$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$$
$\therefore a, b, c \text{ ক্রমিক সমানুপাতী} \quad [\text{দেখানো হলো}]$
প্রশ্নমতে, $a, b, c$ ক্রমিক সমানুপাতী হওয়ায়,
$a : b = b : c$
$\text{বা, } \frac{a}{b} = \frac{b}{c}$
$\therefore b^2 = ac$
$$\text{বামপক্ষ } = \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \frac{a^2+ac}{ac+c^2} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= \frac{a(a+c)}{c(a+c)} = \frac{a}{c}$$
$$\text{ডানপক্ষ } = \frac{(a+b)^2}{(b+c)^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{b^2+2bc+c^2}$$
$$= \frac{a^2+2ab+ac}{ac+2bc+c^2} \quad [\because b^2 = ac]$$
$$= \frac{a(a+2b+c)}{c(a+2b+c)} = \frac{a}{c}$$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{a^2+b^2}{b^2+c^2} = \frac{(a+b)^2}{(b+c)^2} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b}$
মনে করি, $\frac{x}{b+c} = \frac{y}{c+a} = \frac{z}{a+b} = k$
$\therefore x = k(b+c) = bk + ck$
$y = k(c+a) = ck + ak$
এবং $z = k(a+b) = ak + bk$
$$\text{এখন, বামপক্ষ } = \frac{a}{y+z-x}$$
$$= \frac{a}{ck+ak+ak+bk-(bk+ck)} \quad [x, y \text{ এবং } z\text{-এর মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{a}{ck+ak+ak+bk-bk-ck} = \frac{a}{2ak} = \frac{1}{2k}$$
$$\text{এখন, মধ্যপক্ষ } = \frac{b}{z+x-y}$$
$$= \frac{b}{ak+bk+bk+ck-(ck+ak)} \quad [\text{মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{b}{ak+2bk+ck-ck-ak} = \frac{b}{2bk} = \frac{1}{2k}$$
$$\text{আবার, ডানপক্ষ } = \frac{c}{x+y-z}$$
$$= \frac{c}{bk+ck+ck+ak-(ak+bk)} \quad [\text{মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{c}{bk+2ck+ak-ak-bk} = \frac{c}{2ck} = \frac{1}{2k}$$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{a}{y+z-x} = \frac{b}{z+x-y} = \frac{c}{x+y-z} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{bz-cy}{a} = \frac{cx-az}{b} = \frac{ay-bx}{c}$
মনে করি, $\frac{bz-cy}{a} = \frac{cx-az}{b} = \frac{ay-bx}{c} = k$
$\therefore bz - cy = ak \dots\dots (i)$
$cx - az = bk \dots\dots (ii)$
এবং $ay - bx = ck \dots\dots (iii)$
সমীকরণ $(i)$ কে $a$, $(ii)$ কে $b$ এবং $(iii)$ কে $c$ দ্বারা গুণ করে পাই
$abz - cay = a^2k \dots\dots (iv)$
$bcx - abz = b^2k \dots\dots (v)$
$acy - bcx = c^2k \dots\dots (vi)$
$(iv), (v)$ ও $(vi)$ যোগ করে পাই,
$abz - cay + bcx - abz + acy - bcx = a^2k + b^2k + c^2k$
$\text{বা, } 0 = k(a^2+b^2+c^2)$
$\text{বা, } k(a^2+b^2+c^2) = 0$
$\therefore k = 0 \quad [\because a, b, c \text{ ধ্রুবক হওয়ায় } a^2+b^2+c^2 \neq 0]$
এখন, $(i)$ এ $k = 0$ বসিয়ে পাই,
$bz - cy = a \cdot 0$
$\text{বা, } bz - cy = 0$
$\text{বা, } bz = cy$
$$\therefore \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}] \dots\dots (vii)$$
আবার, সমীকরণ $(ii)$-এ $k = 0$ বসিয়ে পাই-
$cx - az = b \cdot 0$
$\text{বা, } cx - az = 0$
$\text{বা, } cx = az$
$$\text{বা, } \frac{x}{a} = \frac{z}{c} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}] \dots\dots (viii)$$
$$(vii) \text{ ও } (viii) \text{ হতে পাই, } \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{a+b-c}{a+b} = \frac{b+c-a}{b+c} = \frac{c+a-b}{c+a}$
$$\text{বা, } \frac{a+b-c-a-b}{a+b} = \frac{b+c-a-b-c}{b+c} = \frac{c+a-b-c-a}{c+a} \quad [\text{বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{-c}{a+b} = \frac{-a}{b+c} = \frac{-b}{c+a}$$
$$\text{বা, } \frac{c}{a+b} = \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} \quad [-1 \text{ দ্বারা গুণ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} \quad [\text{ব্যস্তকরণ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{a+b+c}{c} = \frac{b+c+a}{a} = \frac{c+a+b}{b} \quad [\text{যোজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{a+b+c}{c} = \frac{a+b+c}{a} = \frac{a+b+c}{b}$$
$$\text{বা, } \frac{1}{c} = \frac{1}{a} = \frac{1}{b} \quad [(a+b+c) \text{ দ্বারা তিন পক্ষকে ভাগ করে। } \because a+b+c \neq 0]$$
$\text{বা, } c = a = b \quad [\text{বিপরীতকরণ করে}]$
$\therefore a = b = c \quad [\text{প্রমাণিত}]$
দেওয়া আছে, $\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}$
$$\therefore \text{প্রত্যেকটি অনুপাত } = \frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}$$
$$\left[\because \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{g}{h} = \frac{a+c+e+g}{b+d+f+h}\right]$$
$$= \frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}$$
$$= \frac{x+y+z}{x(a+b+c)+y(a+b+c)+z(a+b+c)}$$
$$= \frac{(x+y+z)}{(x+y+z)(a+b+c)} = \frac{1}{a+b+c}$$
$$\therefore \text{প্রত্যেকটি অনুপাত } = \frac{1}{a+b+c} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc}$
মনে করি, $\frac{x}{xa+yb+zc} = \frac{y}{ya+zb+xc} = \frac{z}{za+xb+yc} = k$
$\therefore x = k(xa+yb+zc) \dots\dots (i)$
$y = k(ya+zb+xc) \dots\dots (ii)$
এবং $z = k(za+xb+yc) \dots\dots (iii)$
এখন সমীকরণ $(i), (ii)$ এবং $(iii)$ যোগ করে পাই
$x+y+z = k(xa+yb+zc) + k(ya+zb+xc) + k(za+xb+yc)$
$\text{বা, } x+y+z = k(xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc)$
$\text{বা, } x+y+z = k(xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc)$
$\text{বা, } x+y+z = k\{x(a+b+c)+y(a+b+c)+z(a+b+c)\}$
$\text{বা, } x+y+z = k\{(x+y+z)(a+b+c)\}$
$\text{বা, } x+y+z = k(x+y+z)(a+b+c)$
$\text{বা, } 1 = k(a+b+c) \quad [(x+y+z) \text{ দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে। দেওয়া আছে, } x+y+z \neq 0]$
$\text{বা, } k(a+b+c) = 1$
$$\therefore k = \frac{1}{a+b+c}$$
যেহেতু প্রতিটি অনুপাতের মান $k$ ধরা হয়েছে।
$$\text{প্রতিটি অনুপাতের মান } = \frac{1}{a+b+c} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $(a+b+c)p = (b+c-a)q = (c+a-b)r = (a+b-c)s$
মনে করি, $(a+b+c)p = (b+c-a)q = (c+a-b)r = (a+b-c)s = k$
$\therefore (a+b+c)p = k$
$$\therefore p = \frac{k}{a+b+c}$$
$$\text{অনুরূপভাবে, } q = \frac{k}{b+c-a}, \quad r = \frac{k}{c+a-b} \quad \text{এবং } s = \frac{k}{a+b-c}$$
$$\text{এখন, বামপক্ষ } = \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s}$$
$$= \frac{1}{\frac{k}{b+c-a}} + \frac{1}{\frac{k}{c+a-b}} + \frac{1}{\frac{k}{a+b-c}} \quad [q, r \text{ এবং } s \text{ এর মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{b+c-a}{k} + \frac{c+a-b}{k} + \frac{a+b-c}{k}$$
$$= \frac{b+c-a+c+a-b+a+b-c}{k}$$
$$= \frac{a+b+c}{k}$$
$$\text{আবার, ডানপক্ষ } = \frac{1}{p} = \frac{1}{\frac{k}{a+b+c}} = \frac{a+b+c}{k}$$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$$\text{অর্থাৎ, } \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{p} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
দেওয়া আছে, $lx = my = nz$
মনে করি, $lx = my = nz = k$
$\text{বা, } lx = k, \quad my = k \quad \text{এবং } nz = k$
$$\therefore x = \frac{k}{l}, \quad y = \frac{k}{m}, \quad z = \frac{k}{n}$$
$$\text{এখন, বামপক্ষ } = \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy}$$
$$= \frac{\left(\frac{k}{l}\right)^2}{\frac{k}{m}\cdot\frac{k}{n}} + \frac{\left(\frac{k}{m}\right)^2}{\frac{k}{n}\cdot\frac{k}{l}} + \frac{\left(\frac{k}{n}\right)^2}{\frac{k}{l}\cdot\frac{k}{m}} \quad [x, y, z \text{ এর মান বসিয়ে}]$$
$$= \frac{\frac{k^2}{l^2}}{\frac{k^2}{nm}} + \frac{\frac{k^2}{m^2}}{\frac{k^2}{nl}} + \frac{\frac{k^2}{n^2}}{\frac{k^2}{lm}}$$
$$= \frac{k^2}{l^2} \times \frac{mn}{k^2} + \frac{k^2}{m^2} \times \frac{nl}{k^2} + \frac{k^2}{n^2} \times \frac{lm}{k^2}$$
$$= \frac{mn}{l^2} + \frac{nl}{m^2} + \frac{lm}{n^2}$$
$= \text{ডানপক্ষ}$
$\therefore \text{বামপক্ষ } = \text{ডানপক্ষ}$
$$\therefore \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{zx} + \frac{z^2}{xy} = \frac{mn}{l^2} + \frac{nl}{m^2} + \frac{lm}{n^2} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2} \dots\dots (i)$
এবং $\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{a+q}}{\sqrt{a-q}} \dots\dots (ii)$
$(i)$ নং হতে পাই,
$$\frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2}$$
$$\text{বা, } \frac{p}{q} = \left(\frac{a}{b}\right)^2$$
$$\text{বা, } \frac{p}{q} = \left(\sqrt{\frac{a+q}{a-q}}\right)^2 \quad [(ii) \text{ নং হতে}]$$
$$\text{বা, } \frac{p}{q} = \frac{a+q}{a-q}$$
$$\text{বা, } \frac{p+q}{p-q} = \frac{a+q+a-q}{a+q-a+q} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{p+q}{p-q} = \frac{2a}{2q}$$
$$\text{বা, } \frac{p+q}{p-q} = \frac{a}{q}$$
$$\text{বা, } \frac{p+q}{a} = \frac{p-q}{q} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}]$$
$$\therefore \frac{p+q}{a} = \frac{p-q}{q} \quad [\text{দেখানো হলো}]$$
দেওয়া আছে, $\frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2} \dots\dots (i)$
এবং $\frac{p+q}{a} = \frac{p-q}{q} \dots\dots (ii)$
$(ii)$ নং হতে পাই,
$$\frac{p+q}{a} = \frac{p-q}{q}$$
$$\text{বা, } \frac{p+q}{p-q} = \frac{a}{q} \quad [\text{একান্তরকরণ করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{p+q+p-q}{p+q-p+q} = \frac{a+q}{a-q} \quad [\text{যোজন-বিয়োজন করে}]$$
$$\text{বা, } \frac{2p}{2q} = \frac{a+q}{a-q}$$
$$\text{বা, } \frac{p}{q} = \frac{a+q}{a-q}$$
$$\text{বা, } \frac{a^2}{b^2} = \frac{a+q}{a-q} \quad \left[(i) \text{ নং হতে } \frac{p}{q} = \frac{a^2}{b^2}\right]$$
$$\text{বা, } \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a+q}{a-q}$$
$$\text{বা, } \frac{a}{b} = \pm\sqrt{\frac{a+q}{a-q}}$$
$$\therefore \frac{a}{b} = \pm\frac{\sqrt{a+q}}{\sqrt{a-q}} \quad [\text{প্রমাণিত}]$$
উল্লেখ্য, মনে রাখবে—
- $x^2 = a$ হলে, $x = \pm \sqrt{a}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ একই কথা
- সাধারণত ভগ্নাংশের লব ও হরে সমসংখ্যক পদ থাকলে যোজন-বিয়োজন করতে হয়। কিন্তু যদি লব ও হরে পদ সংখ্যা সমান না হয় তবে কখনও শুধু যোজন কখনও শুধু বিয়োজন করতে হয়।