নবম-দশম শ্রেণির গণিত: অনুশীলনী ৯.২ (ত্রিকোণমিতিক অনুপাত) এর বিস্তারিত সমাধান

নবম-দশম শ্রেণির গণিত: অনুশীলনী ৯.২ এর সম্পূর্ণ সমাধান

১ থেকে ২৭ নং পর্যন্ত প্রতিটি অঙ্কের প্রতি লাইনের বিস্তারিত ব্যাখ্যা ও সূত্রসহ সমাধান

প্রশ্ন ১: \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) হলে, \(\cot \theta\) এর মান কোনটি?
ক) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)    খ) \(1\)    গ) \(\sqrt{3}\)    ঘ) \(2\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\cos \theta = \frac{1}{2}\)	প্রশ্নে প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি লেখা হয়েছে।
বা, \(\cos \theta = \cos 60^\circ\)	ত্রিকোণমিতিক কোণের আদর্শ মানের সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) ব্যবহার করে \(\frac{1}{2}\) এর পরিবর্তে \(\cos 60^\circ\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore \theta = 60^\circ\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cos\) অনুপাত বাদ দিয়ে \(\theta\) কোণের মান নির্ণয় করা হয়েছে।
এখন, \(\cot \theta = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\)	\(\theta = 60^\circ\) বসিয়ে এবং ত্রিকোণমিতিক ছকের সূত্র \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) প্রয়োগ করে মান বের করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: ক) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

প্রশ্ন ২: \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{1}{3}\) হলে, \(\cos^4\theta - \sin^4\theta\) এর মান কত?
ক) \(3\)    খ) \(2\)    গ) \(1\)    ঘ) \(\frac{1}{3}\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{1}{3}\)	প্রশ্নে প্রদত্ত মানটি লিখে নেওয়া হলো।
প্রদত্ত রাশি \(= \cos^4\theta - \sin^4\theta\)	যে রাশিটির মান নির্ণয় করতে হবে তা লেখা হলো।
\(= (\cos^2\theta)^2 - (\sin^2\theta)^2\)	ঘাত \(4\)-কে ভেঙ্গে বর্গের বর্গ অর্থাৎ \(a^2 - b^2\) আকারে সাজানো হয়েছে।
\(= (\cos^2\theta + \sin^2\theta)(\cos^2\theta - \sin^2\theta)\)	বীজগণিতের সূত্র \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(= 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)	ত্রিকোণমিতিক অভেদ \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) এবং প্রদত্ত মান \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = \frac{1}{3}\) বসিয়ে গুণ করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: ঘ) \(\frac{1}{3}\)

প্রশ্ন ৩: \(\cot(\theta - 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\sin \theta =\) কত?
ক) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) বা \(\frac{1}{2}\)    খ) \(0\)    গ) \(1\)    ঘ) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\cot(\theta - 30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)	প্রশ্নের প্রদত্ত সমীকরণটি তোলা হয়েছে।
বা, \(\cot(\theta - 30^\circ) = \cot 60^\circ\)	সূত্র \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) অনুযায়ী ডানপাশে \(\cot 60^\circ\) বসানো হয়েছে।
বা, \(\theta - 30^\circ = 60^\circ\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cot\) অনুপাত বর্জন করা হয়েছে।
\(\therefore \theta = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ\)	\(-30^\circ\)-কে ডানপাশে পক্ষান্তর করে যোগ করে \(\theta = 90^\circ\) পাওয়া গেল।
এখন, \(\sin \theta = \sin 90^\circ = 1\)	\(\theta = 90^\circ\) বসিয়ে এবং আদর্শ মানের সূত্র \(\sin 90^\circ = 1\) ব্যবহার করে মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: গ) \(1\)

প্রশ্ন ৪: \(\tan(3A) = \sqrt{3}\) হলে, \(A =\) কত?
ক) \(45^\circ\)    খ) \(30^\circ\)    গ) \(20^\circ\)    ঘ) \(15^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\tan(3A) = \sqrt{3}\)	প্রশ্নের প্রদত্ত তথ্যটি লেখা হয়েছে।
বা, \(\tan(3A) = \tan 60^\circ\)	ত্রিকোণমিতিক কোণের সূত্র \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) অনুসারে \(\sqrt{3}\) এর স্থলে \(\tan 60^\circ\) বসানো হয়েছে।
বা, \(3A = 60^\circ\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\tan\) অনুপাত বাদ দেওয়া হয়েছে।
\(\therefore A = \frac{60^\circ}{3} = 20^\circ\)	উভয়পক্ষকে \(3\) দ্বারা ভাগ করে \(A\) এর মান নির্ণয় করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: গ) \(20^\circ\)

প্রশ্ন ৫: মান নির্ণয় করো: \(\frac{1 - \cot^2 60^\circ}{1 + \cot^2 60^\circ}\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{1 - \cot^2 60^\circ}{1 + \cot^2 60^\circ}\)	প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক রাশিটি লেখা হলো।
\(= \frac{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\)	ত্রিকোণমিতিক কোণের সূত্র \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) লব ও হরে বসানো হয়েছে।
\(= \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}}\)	বর্গ নির্ণয়ের নিয়ম অনুযায়ী \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}\) করা হয়েছে।
\(= \frac{\frac{3 - 1}{3}}{\frac{3 + 1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}\)	লব ও হরে \(3\) ল.সা.গু. নিয়ে ভগ্নাংশের বিয়োগ ও যোগ করা হয়েছে।
\(= \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)	ভাগকে গুণ চিহ্নে পরিবর্তন করে নিচের ভগ্নাংশটি উল্টে কাটাকাটি করা হয়েছে।

নির্ণেয় মান: \(\frac{1}{2}\)

প্রশ্ন ৬: মান নির্ণয় করো: \(\tan 45^\circ \cdot \sin^2 60^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত রাশি \(= \tan 45^\circ \cdot \sin^2 60^\circ \cdot \tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ\)	প্রশ্নের প্রদত্ত রাশিটি তোলা হলো।
\(= 1 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}\)	সূত্রানুযায়ী \(\tan 45^\circ = 1\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) এর মান বসানো হয়েছে।
\(= 1 \times \frac{3}{4} \times 1\)	\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\) এবং \(\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1\) হিসাব করা হয়েছে।
\(= \frac{3}{4}\)	সবগুলো সংখ্যা গুণ করে চূড়ান্ত মান নির্ণয় করা হয়েছে।

নির্ণেয় মান: \(\frac{3}{4}\)

প্রশ্ন ৭: মান নির্ণয় করো: \(\frac{1 - \cos^2 60^\circ}{1 + \cos^2 60^\circ} + \sec^2 60^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{1 - \cos^2 60^\circ}{1 + \cos^2 60^\circ} + \sec^2 60^\circ\)	প্রদত্ত রাশিটি লেখা হলো।
\(= \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} + (2)^2\)	সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) এবং \(\sec 60^\circ = 2\) এর মান বসানো হয়েছে।
\(= \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} + 4\)	\(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\) এবং \(2^2 = 4\) বর্গ করে বসানো হয়েছে।
\(= \frac{\frac{4 - 1}{4}}{\frac{4 + 1}{4}} + 4 = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} + 4\)	ভগ্নাংশের লব ও হরে \(4\) ল.সা.গু. করে বিয়োগ ও যোগ করা হয়েছে।
\(= \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} + 4 = \frac{3}{5} + 4\)	প্রথম অংশে ভগ্নাংশ উল্টে গুণ করে \(4\) ও \(4\) কাটাকাটি করা হয়েছে।
\(= \frac{3 + 20}{5} = \frac{23}{5}\)	\(5\) ল.সা.গু. নিয়ে ভগ্নাংশের যোগ সম্পন্ন করা হয়েছে।

নির্ণেয় মান: \(\frac{23}{5}\)

প্রশ্ন ৮: মান নির্ণয় করো: \(\cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot \text{cosec}^2 30^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত রাশি \(= \cos 45^\circ \cdot \cot^2 60^\circ \cdot \text{cosec}^2 30^\circ\)	প্রশ্নের রাশিটি লেখা হলো।
\(= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \times (2)^2\)	সূত্র \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) এবং \(\text{cosec } 30^\circ = 2\) বসানো হয়েছে।
\(= \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3\sqrt{2}}\)	বর্গ করে লবগুলোর গুণফল লবে এবং হরগুলোর গুণফল হরে লেখা হয়েছে।
\(= \frac{2 \times (\sqrt{2})^2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)	হরের করণী নিরসনের জন্য \(4 = 2 \times 2 = 2 \times (\sqrt{2})^2\) লিখে \(\sqrt{2}\) দ্বারা কাটাকাটি করা হয়েছে।

নির্ণেয় মান: \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

প্রশ্ন ৯: দেখাও যে, \(\cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ = \cos 60^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \cos^2 30^\circ - \sin^2 30^\circ\)	প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ নেওয়া হয়েছে।
\(= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2\)	সূত্র \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এবং \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) এর মান বসানো হয়েছে।
\(= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)	বর্গ করে \(4\) ল.সা.গু. নিয়ে বিয়োগ ও কাটাকাটি করা হয়েছে।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\)	ডানপক্ষে ত্রিকোণমিতিক সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১০: দেখাও যে, \(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \sin 90^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ\)	সমীকরণের বামপক্ষটি লিখে নেওয়া হলো।
\(= \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\)	সূত্র \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) এবং \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\)	গুণ করার পর \(4\) ল.সা.গু. নিয়ে যোগ করে \(1\) পাওয়া গেল।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \sin 90^\circ = 1\)	সূত্র \(\sin 90^\circ = 1\) প্রয়োগ করে ডানপক্ষের মান বের করা হয়েছে।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১১: দেখাও যে, \(\cos 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ = \cos 30^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \cos 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ\)	সমীকরণের বামপক্ষ নেওয়া হয়েছে।
\(= \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}\)	সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) এবং \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(= \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)	গুণ করে \(4\) ল.সা.গু. নিয়ে যোগ করার পর \(2\) দ্বারা কাটাকাটি করা হয়েছে।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)	সূত্র \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) অনুযায়ী ডানপক্ষের মান পাওয়া গেল।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১২: দেখাও যে, \(\sin 3A = \cos 3A\) যদি \(A = 15^\circ\) হয়।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(A = 15^\circ\)	প্রশ্নে প্রদত্ত কোণ \(A\) এর মান লেখা হয়েছে।
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \sin 3A = \sin(3 \times 15^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)	\(A = 15^\circ\) বসিয়ে গুণ করে সূত্র \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \cos 3A = \cos(3 \times 15^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\)	\(A = 15^\circ\) বসিয়ে গুণ করে সূত্র \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) প্রয়োগ করা হয়েছে।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১৩: দেখাও যে, \(\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}\) যদি \(A = 45^\circ\) হয়।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(A = 45^\circ\)	প্রশ্নে প্রদত্ত \(A\) এর মান লেখা হলো।
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \sin 2A = \sin(2 \times 45^\circ) = \sin 90^\circ = 1\)	\(A = 45^\circ\) বসিয়ে এবং সূত্র \(\sin 90^\circ = 1\) ব্যবহার করে বামপক্ষের মান বের করা হয়েছে।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A} = \frac{2\tan 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ}\)	ডানপক্ষের রাশিতে \(A = 45^\circ\) বসানো হয়েছে।
\(= \frac{2 \times 1}{1 + (1)^2} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1\)	সূত্র \(\tan 45^\circ = 1\) বসিয়ে সরল করে ডানপক্ষের মান \(1\) পাওয়া গেল।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১৪: দেখাও যে, \(\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}\) যদি \(A = 30^\circ\) হয়।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(A = 30^\circ\)	প্রদত্ত কোণের মান লিখে নেওয়া হলো।
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \tan 2A = \tan(2 \times 30^\circ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}\)	\(A = 30^\circ\) বসিয়ে এবং সূত্র \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) ব্যবহার করে বামপক্ষের মান পাওয়া গেল।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= \frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\)	\(A = 30^\circ\) এবং সূত্র \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) বসানো হয়েছে।
\(= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}\)	হরে বর্গ করে \(3\) ল.সা.গু. নিয়ে বিয়োগ করা হয়েছে।
\(= \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\)	ভগ্নাংশ উল্টে গুণ করে এবং \(3 = (\sqrt{3})^2\) বসিয়ে কাটাকাটি করে \(\sqrt{3}\) পাওয়া গেল।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১৫: \(2\cos(A + B) = 1 = 2\sin(A - B)\) এবং \(A, B\) সূক্ষ্মকোণ হলে দেখাও যে, \(A = 45^\circ, B = 15^\circ\)।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(2\cos(A + B) = 1\)	প্রদত্ত শর্তের প্রথম অংশটি নেওয়া হয়েছে।
বা, \(\cos(A + B) = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ\)	উভয়পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A + B = 60^\circ \quad \text{--- (i)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cos\) বাদ দিয়ে (i) নং সমীকরণ গঠন করা হয়েছে।
আবার, \(2\sin(A - B) = 1\)	প্রদত্ত শর্তের দ্বিতীয় অংশটি নেওয়া হয়েছে।
বা, \(\sin(A - B) = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ\)	\(2\) দ্বারা ভাগ করে সূত্র \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A - B = 30^\circ \quad \text{--- (ii)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\sin\) বাদ দিয়ে (ii) নং সমীকরণ গঠন করা হয়েছে।
\((A + B) + (A - B) = 60^\circ + 30^\circ \Rightarrow 2A = 90^\circ \Rightarrow A = 45^\circ\)	(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে \(2\) দ্বারা ভাগ করে \(A = 45^\circ\) নির্ণয় করা হয়েছে।
\((A + B) - (A - B) = 60^\circ - 30^\circ \Rightarrow 2B = 30^\circ \Rightarrow B = 15^\circ\)	(i) নং থেকে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে \(2\) দ্বারা ভাগ করে \(B = 15^\circ\) নির্ণয় করা হয়েছে।

\(\therefore A = 45^\circ, B = 15^\circ\) (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ১৬: \(\cos(A - B) = 1, 2\sin(A + B) = \sqrt{3}\) এবং \(A, B\) সূক্ষ্মকোণ হলে, \(A\) এবং \(B\) এর মান নির্ণয় করো।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\cos(A - B) = 1 = \cos 0^\circ\)	প্রথম সমীকরণে ত্রিকোণমিতিক সূত্র \(\cos 0^\circ = 1\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A - B = 0^\circ \quad \text{--- (i)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cos\) বর্জন করে (i) নং সমীকরণ পাওয়া গেল।
আবার, \(2\sin(A + B) = \sqrt{3} \Rightarrow \sin(A + B) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ\)	দ্বিতীয় সমীকরণকে \(2\) দিয়ে ভাগ করে সূত্র \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A + B = 60^\circ \quad \text{--- (ii)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\sin\) বর্জন করে (ii) নং সমীকরণ পাওয়া গেল।
\((A - B) + (A + B) = 0^\circ + 60^\circ \Rightarrow 2A = 60^\circ \Rightarrow A = 30^\circ\)	(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে \(2\) দ্বারা ভাগ করে \(A\) এর মান বের করা হয়েছে।
\(30^\circ + B = 60^\circ \Rightarrow B = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\)	(ii) নং সমীকরণে \(A = 30^\circ\) বসিয়ে পক্ষান্তর করে \(B\) এর মান বের করা হয়েছে।

নির্ণেয় মান: \(A = 30^\circ\) এবং \(B = 30^\circ\)

প্রশ্ন ১৭: সমাধান করো: \(\frac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{\cos A - \sin A}{\cos A + \sin A} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}\)	প্রশ্নের প্রদত্ত সমীকরণটি লেখা হলো।
বা, \(\frac{(\cos A - \sin A) + (\cos A + \sin A)}{(\cos A - \sin A) - (\cos A + \sin A)} = \frac{(\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 1)}\)	উভয়পক্ষে যোজন-বিয়োজন সূত্র \(\left(\frac{\text{লব} + \text{হর}}{\text{লব} - \text{হর}}\right)\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
বা, \(\frac{\cos A - \sin A + \cos A + \sin A}{\cos A - \sin A - \cos A - \sin A} = \frac{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1}\)	বন্ধনী তুলে চিহ্নের পরিবর্তন করা হয়েছে।
বা, \(\frac{2\cos A}{-2\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{-2}\)	লব ও হরে সদৃশ পদগুলো যোগ-বিয়োগ করা হয়েছে।
বা, \(-\cot A = -\sqrt{3} \Rightarrow \cot A = \sqrt{3}\)	উভয়পক্ষে \(2\) ও \(-2\) কাটাকাটি করে সূত্র \(\frac{\cos A}{\sin A} = \cot A\) বসানো হয়েছে এবং উভয়পক্ষকে \(-1\) দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
বা, \(\cot A = \cot 30^\circ \Rightarrow A = 30^\circ\)	সূত্র \(\cot 30^\circ = \sqrt{3}\) বসিয়ে উভয়পক্ষ থেকে \(\cot\) বাদ দেওয়া হয়েছে।

নির্ণেয় সমাধান: \(A = 30^\circ\)

প্রশ্ন ১৮: \(A\) ও \(B\) সূক্ষ্মকোণ এবং \(\cot(A + B) = 1, \cot(A - B) = \sqrt{3}\) হলে, \(A\) ও \(B\) এর মান নির্ণয় করো।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(\cot(A + B) = 1 = \cot 45^\circ\)	প্রথম শর্তে ত্রিকোণমিতিক সূত্র \(\cot 45^\circ = 1\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A + B = 45^\circ \quad \text{--- (i)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cot\) বাদ দিয়ে (i) নং সমীকরণ পাওয়া গেল।
আবার, \(\cot(A - B) = \sqrt{3} = \cot 30^\circ\)	দ্বিতীয় শর্তে সূত্র \(\cot 30^\circ = \sqrt{3}\) বসানো হয়েছে।
\(\therefore A - B = 30^\circ \quad \text{--- (ii)}\)	উভয়পক্ষ থেকে \(\cot\) বাদ দিয়ে (ii) নং সমীকরণ পাওয়া গেল।
\((A + B) + (A - B) = 45^\circ + 30^\circ \Rightarrow 2A = 75^\circ \Rightarrow A = 37\frac{1}{2}^\circ\)	(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে \(2\) দ্বারা ভাগ করে \(A = 37\frac{1}{2}^\circ\) বা \(37.5^\circ\) পাওয়া গেল।
\((A + B) - (A - B) = 45^\circ - 30^\circ \Rightarrow 2B = 15^\circ \Rightarrow B = 7\frac{1}{2}^\circ\)	(i) নং হতে (ii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে \(2\) দ্বারা ভাগ করে \(B = 7\frac{1}{2}^\circ\) বা \(7.5^\circ\) পাওয়া গেল।

নির্ণেয় মান: \(A = 37\frac{1}{2}^\circ\) এবং \(B = 7\frac{1}{2}^\circ\)

প্রশ্ন ১৯: দেখাও যে, \(\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A\) যদি \(A = 30^\circ\) হয়।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, \(A = 30^\circ\)	প্রদত্ত কোণের মান লেখা হলো।
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \cos 3A = \cos(3 \times 30^\circ) = \cos 90^\circ = 0\)	\(A = 30^\circ\) বসিয়ে এবং সূত্র \(\cos 90^\circ = 0\) ব্যবহার করে বামপক্ষের মান নির্ণয় করা হয়েছে।
ডানপক্ষ (R.H.S) \(= 4\cos^3 A - 3\cos A = 4\cos^3 30^\circ - 3\cos 30^\circ\)	ডানপক্ষে \(A = 30^\circ\) বসানো হয়েছে।
\(= 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)	সূত্র \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(= 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = 0\)	\((\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}\) এবং \(2^3 = 8\) বসিয়ে \(4\) দিয়ে \(8\)-কে কেটে বিয়োগ করা হয়েছে।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ২০: সমাধান করো: \(\sin \theta + \cos \theta = 1\), যখন \(0^\circ \le \theta \le 90^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\sin \theta + \cos \theta = 1\)	প্রদত্ত সমীকরণটি তোলা হলো।
বা, \((\sin \theta + \cos \theta)^2 = (1)^2\)	উভয়পক্ষকে বর্গ করা হয়েছে।
বা, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1\)	বীজগণিতের সূত্র \((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
বা, \(1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1\)	ত্রিকোণমিতিক অভেদ \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) বসানো হয়েছে।
বা, \(2\sin\theta\cos\theta = 1 - 1 = 0 \Rightarrow \sin\theta\cos\theta = 0\)	\(1\) পক্ষান্তর করে বিয়োগ করে এবং উভয়পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।
হয়, \(\sin\theta = 0 = \sin 0^\circ \Rightarrow \theta = 0^\circ\)	দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তারা পৃথকভাবে শূন্য হয় এবং সূত্র \(\sin 0^\circ = 0\) ব্যবহার করা হয়েছে।
অথবা, \(\cos\theta = 0 = \cos 90^\circ \Rightarrow \theta = 90^\circ\)	দ্বিতীয় উৎপাদক সমান শূন্য ধরে সূত্র \(\cos 90^\circ = 0\) বসানো হয়েছে। (উভয় মানই প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে)।

নির্ণেয় সমাধান: \(\theta = 0^\circ, 90^\circ\)

প্রশ্ন ২১: সমাধান করো: \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = 2 - 5\cos\theta\), যখন \(\theta\) সূক্ষ্মকোণ।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\cos^2\theta - \sin^2\theta = 2 - 5\cos\theta\)	প্রদত্ত সমীকরণটি লেখা হলো।
বা, \(\cos^2\theta - (1 - \cos^2\theta) = 2 - 5\cos\theta\)	অভেদ \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) ব্যবহার করে সব পদকে \(\cos\theta\)-তে রূপান্তর করা হয়েছে।
বা, \(\cos^2\theta - 1 + \cos^2\theta - 2 + 5\cos\theta = 0\)	বন্ধনী তুলে ডানপক্ষের পদগুলো বামপক্ষে পক্ষান্তর করা হয়েছে।
বা, \(2\cos^2\theta + 5\cos\theta - 3 = 0\)	সদৃশ পদগুলো যোগ-বিয়োগ করে দ্বিঘাত সমীকরণে সাজানো হয়েছে।
বা, \(2\cos^2\theta + 6\cos\theta - \cos\theta - 3 = 0\)	মিডল টার্ম ব্রেকআউট (মধ্যপদ বিশ্লেষণ: \(6 - 1 = 5\)) করা হয়েছে।
বা, \(2\cos\theta(\cos\theta + 3) - 1(\cos\theta + 3) = 0\)	প্রথম দুই পদ থেকে \(2\cos\theta\) এবং পরের দুই পদ থেকে \(-1\) কমন নেওয়া হয়েছে।
বা, \((\cos\theta + 3)(2\cos\theta - 1) = 0\)	সাধারণ উৎপাদক \((\cos\theta + 3)\) কমন নেওয়া হয়েছে।
যেহেতু \(-1 \le \cos\theta \le 1\), তাই \(\cos\theta + 3 \ne 0\)	\(\cos\theta = -3\) অসম্ভব, কারণ \(\cos\theta\) এর মান সর্বদা \(-1\) থেকে \(1\) এর মধ্যে থাকে।
\(\therefore 2\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ \Rightarrow \theta = 60^\circ\)	অপর উৎপাদক সমান শূন্য ধরে সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) প্রয়োগ করে সূক্ষ্মকোণ \(\theta = 60^\circ\) পাওয়া গেল।

নির্ণেয় সমাধান: \(\theta = 60^\circ\)

প্রশ্ন ২২: সমাধান করো: \(2\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0\), \(\theta\) সূক্ষ্মকোণ।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত সমীকরণ: \(2\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0\)	প্রশ্নের প্রদত্ত সমীকরণটি তোলা হলো।
বা, \(2(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta - 3 = 0\)	ত্রিকোণমিতিক অভেদ \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) বসানো হয়েছে।
বা, \(2 - 2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0\)	\(2\) দ্বারা বন্ধনীর ভেতরের পদগুলোকে গুণ করা হয়েছে।
বা, \(-2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow 2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1 = 0\)	বিয়োগ করার পর উভয়পক্ষকে \(-1\) দ্বারা গুণ করে চিহ্ন পরিবর্তন করা হয়েছে।
বা, \(2\cos^2\theta - 2\cos\theta - \cos\theta + 1 = 0\)	মধ্যপদ বিশ্লেষণ (মিডল টার্ম) করা হয়েছে।
বা, \(2\cos\theta(\cos\theta - 1) - 1(\cos\theta - 1) = 0 \Rightarrow (\cos\theta - 1)(2\cos\theta - 1) = 0\)	কমন নিয়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।
হয়, \(\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = 1 = \cos 0^\circ \Rightarrow \theta = 0^\circ\)	কিন্তু প্রশ্নে \(\theta\) সূক্ষ্মকোণ (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) বলায় \(\theta = 0^\circ\) গ্রহণযোগ্য নয়।
অথবা, \(2\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ \Rightarrow \theta = 60^\circ\)	সূত্র \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) বসিয়ে গ্রহণযোগ্য সূক্ষ্মকোণ \(\theta = 60^\circ\) পাওয়া গেল।

নির্ণেয় সমাধান: \(\theta = 60^\circ\)

প্রশ্ন ২৩: সমাধান করো: \(\tan^2\theta - (1 + \sqrt{3})\tan\theta + \sqrt{3} = 0\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\tan^2\theta - (1 + \sqrt{3})\tan\theta + \sqrt{3} = 0\)	প্রদত্ত সমীকরণটি লেখা হলো।
বা, \(\tan^2\theta - \tan\theta - \sqrt{3}\tan\theta + \sqrt{3} = 0\)	বন্ধনী তুলে \(\tan\theta\) দ্বারা গুণ করা হয়েছে।
বা, \(\tan\theta(\tan\theta - 1) - \sqrt{3}(\tan\theta - 1) = 0\)	প্রথম দুই পদ থেকে \(\tan\theta\) এবং পরের দুই পদ থেকে \(-\sqrt{3}\) কমন নেওয়া হয়েছে।
বা, \((\tan\theta - 1)(\tan\theta - \sqrt{3}) = 0\)	সাধারণ উৎপাদক \((\tan\theta - 1)\) কমন নেওয়া হয়েছে।
হয়, \(\tan\theta - 1 = 0 \Rightarrow \tan\theta = 1 = \tan 45^\circ \Rightarrow \theta = 45^\circ\)	প্রথম উৎপাদক শূন্য ধরে সূত্র \(\tan 45^\circ = 1\) ব্যবহার করা হয়েছে।
অথবা, \(\tan\theta - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \tan\theta = \sqrt{3} = \tan 60^\circ \Rightarrow \theta = 60^\circ\)	দ্বিতীয় উৎপাদক শূন্য ধরে সূত্র \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) ব্যবহার করা হয়েছে।

নির্ণেয় সমাধান: \(\theta = 45^\circ, 60^\circ\)

প্রশ্ন ২৪: মান নির্ণয় করো: \(3\cot^2 60^\circ + \frac{1}{4}\text{cosec}^2 30^\circ + 5\sin^2 45^\circ - 4\cos^2 60^\circ\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
প্রদত্ত রাশি \(= 3\cot^2 60^\circ + \frac{1}{4}\text{cosec}^2 30^\circ + 5\sin^2 45^\circ - 4\cos^2 60^\circ\)	প্রশ্নের প্রদত্ত রাশিটি লেখা হলো।
\(= 3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \frac{1}{4}(2)^2 + 5\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right)^2\)	সূত্র \(\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\text{cosec } 30^\circ = 2\), \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) বসানো হয়েছে।
\(= 3 \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times 4 + 5 \times \frac{1}{2} - 4 \times \frac{1}{4}\)	প্রতিটি পদের বর্গ নির্ণয় করা হয়েছে।
\(= 1 + 1 + \frac{5}{2} - 1 = 1 + \frac{5}{2}\)	কাটাকাটি করার পর \(+1\) এবং \(-1\) বিয়োগ করা হয়েছে।
\(= \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2}\)	\(2\) ল.সা.গু. নিয়ে যোগ করে চূড়ান্ত মান পাওয়া গেল।

নির্ণেয় মান: \(\frac{7}{2}\) (বা \(3\frac{1}{2}\))

প্রশ্ন ২৫: \(\triangle ABC\) এর \(\angle B = 90^\circ, AB = 5\) সে.মি., \(BC = 12\) সে.মি.।
ক) \(AC\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
খ) \(\angle C = \theta\) হলে \(\sin \theta + \cos \theta\) এর মান নির্ণয় করো।
গ) উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, \(\sec^2 A + \text{cosec}^2 A = \sec^2 A \cdot \text{cosec}^2 A\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
ক) সমকোণী \(\triangle ABC\)-এ \(\angle B = 90^\circ\) হওয়ায় অতিভুজ \(AC\)। \(AC^2 = AB^2 + BC^2\)	সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (অতিভুজ\(^2 =\) লম্ব\(^2 +\) ভূমি\(^2\)) প্রয়োগ করা হয়েছে।
বা, \(AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\) \(\therefore AC = \sqrt{169} = 13\) সে.মি.	\(AB = 5\) ও \(BC = 12\) বসিয়ে বর্গমূল করে \(AC = 13\) সে.মি. নির্ণয় করা হয়েছে।
খ) \(\angle C = \theta\) কোণের সাপেক্ষে লম্ব \(AB = 5\), ভূমি \(BC = 12\) এবং অতিভুজ \(AC = 13\)।	সূক্ষ্মকোণ \(\angle C = \theta\) এর বিপরীত বাহু লম্ব এবং সন্নিহিত বাহু ভূমি ধরা হয়েছে।
\(\sin \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13}\) এবং \(\cos \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{13}\)	সূত্র \(\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}\) এবং \(\cos \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
\(\therefore \sin \theta + \cos \theta = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5 + 12}{13} = \frac{17}{13}\)	মান বসিয়ে \(13\) ল.সা.গু. নিয়ে যোগ করা হয়েছে।
গ) \(\angle A\) কোণের সাপেক্ষে লম্ব \(BC = 12\), ভূমি \(AB = 5\) এবং অতিভুজ \(AC = 13\)।	\(\angle A\) এর বিপরীত বাহু \(BC\)-কে লম্ব এবং সন্নিহিত বাহু \(AB\)-কে ভূমি ধরা হয়েছে।
\(\sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{13}{5}\) এবং \(\text{cosec } A = \frac{AC}{BC} = \frac{13}{12}\)	সূত্র \(\sec A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}\) এবং \(\text{cosec } A = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}}\) ব্যবহার করা হয়েছে।
বামপক্ষ \(= \sec^2 A + \text{cosec}^2 A = \left(\frac{13}{5}\right)^2 + \left(\frac{13}{12}\right)^2\) \(= \frac{169}{25} + \frac{169}{144} = \frac{169(144 + 25)}{25 \times 144} = \frac{169 \times 169}{3600} = \frac{28561}{3600}\)	মান বসিয়ে বর্গ করে \(25 \times 144 = 3600\) ল.সা.গু. নিয়ে সরল করা হয়েছে।
ডানপক্ষ \(= \sec^2 A \cdot \text{cosec}^2 A = \left(\frac{13}{5}\right)^2 \times \left(\frac{13}{12}\right)^2\) \(= \frac{169}{25} \times \frac{169}{144} = \frac{28561}{3600}\)	ডানপক্ষে মান বসিয়ে বর্গ করে গুণ করা হয়েছে। ফলে বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান প্রমাণিত হলো।

উত্তর: ক) \(13\) সে.মি., খ) \(\frac{17}{13}\), গ) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ২৬: \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B =\) এক সমকোণ এবং \(AB = BC\) হলে প্রমাণ করো যে, \(\frac{BC\cos C - AC\cos B}{BC\cos B - AC\cos A} + \cos C = 0\)

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
দেওয়া আছে, সমকোণী \(\triangle ABC\)-এ \(\angle B = 90^\circ\) এবং \(AB = BC\)।	প্রশ্নে প্রদত্ত জ্যামিতিক শর্তগুলো লেখা হয়েছে।
এখানে, \(\cos B = \cos 90^\circ = 0\)	\(\angle B = 90^\circ\) এবং ত্রিকোণমিতিক সূত্র \(\cos 90^\circ = 0\) প্রয়োগ করা হয়েছে।
আবার \(\angle A\) এর সাপেক্ষে ভূমি \(AB\) এবং অতিভুজ \(AC\) হওয়ায়, \(\cos A = \frac{AB}{AC} \Rightarrow AC\cos A = AB = BC\)	সূত্র \(\cos A = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}}\) বসিয়ে আড়াআড়ি গুণ করা হয়েছে এবং \(AB = BC\) বসানো হয়েছে।
বামপক্ষ (L.H.S) \(= \frac{BC\cos C - AC\cos B}{BC\cos B - AC\cos A} + \cos C\)	প্রদত্ত সমীকরণের বামপক্ষ নেওয়া হলো।
\(= \frac{BC\cos C - AC \times 0}{BC \times 0 - BC} + \cos C\)	\(\cos B = 0\) এবং \(AC\cos A = BC\) মান দুটি বসানো হয়েছে।
\(= \frac{BC\cos C}{-BC} + \cos C = -\cos C + \cos C = 0 =\) ডানপক্ষ	\(BC\) ও \(BC\) কাটাকাটি করে \(-\cos C + \cos C = 0\) পাওয়া গেল।

\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

প্রশ্ন ২৭: \(ABC\) সমকোণী ত্রিভুজের \(\angle B =\) এক সমকোণ এবং \(\cot A + \cot B = 2\cot C\) হলে প্রমাণ করো যে, \(AC^2 + BC^2 = 2AB^2\)।

ব্যাখ্যাসহ সমাধান

গাণিতিক ধাপসমূহ	কী করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত সূত্র
সমকোণী \(\triangle ABC\)-এ \(\angle B = 90^\circ\) হওয়ায় অতিভুজ \(AC\)। \(\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \text{--- (i)}\)	সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে (i) নং সমীকরণ রাখা হয়েছে।
এখানে, \(\cot B = \cot 90^\circ = 0\)	\(\angle B = 90^\circ\) বসিয়ে সূত্র \(\cot 90^\circ = 0\) ব্যবহার করা হয়েছে।
\(\angle A\) এর সাপেক্ষে \(\cot A = \frac{AB}{BC}\) এবং \(\angle C\) এর সাপেক্ষে \(\cot C = \frac{BC}{AB}\)	সূত্র \(\cot \theta = \frac{\text{ভূমি}}{\text{লম্ব}}\) অনুযায়ী \(\angle A\) ও \(\angle C\) কোণের জন্য অনুপাত নির্ণয় করা হয়েছে।
দেওয়া আছে, \(\cot A + \cot B = 2\cot C\)	প্রশ্নে প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক শর্তটি লেখা হলো।
বা, \(\frac{AB}{BC} + 0 = 2 \cdot \frac{BC}{AB} \Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{2BC}{AB}\)	\(\cot A, \cot B\) এবং \(\cot C\) এর মান বসানো হয়েছে।
বা, \(AB^2 = 2BC^2 \quad \text{--- (ii)}\)	আড়াআড়ি গুণ (বজ্রগুণন) করে (ii) নং সমীকরণ গঠন করা হয়েছে।
(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে \(BC^2\) যোগ করে পাই, \(AC^2 + BC^2 = AB^2 + BC^2 + BC^2 = AB^2 + 2BC^2\)	প্রমাণের বামপক্ষ \(AC^2 + BC^2\) মেলানোর জন্য (i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে \(BC^2\) যোগ করা হয়েছে।
বা, \(AC^2 + BC^2 = AB^2 + AB^2\) \(\therefore AC^2 + BC^2 = 2AB^2\)	(ii) নং হতে \(2BC^2 = AB^2\) বসিয়ে যোগ করে প্রমাণটি সম্পন্ন করা হয়েছে।

\(\therefore AC^2 + BC^2 = 2AB^2\) (প্রমাণিত)