প্রশ্ন ১: ঢাকা বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
(i) \( 3nx^2 - 4mx + 3n = 0 \)
(ii) \( \frac{x+a}{x-a} + \frac{x+b}{x-b} = 2 \) ; \( a \neq b \)
ক. ১ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন ৬ ডেসিগ্রাম, কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কত ভাগ তা নির্ণয় কর।
খ. (i) হতে দেখাও যে, \( x = \frac{\sqrt{2m+3n} + \sqrt{2m-3n}}{\sqrt{2m+3n} - \sqrt{2m-3n}} \)
গ. (ii) হতে প্রমাণ কর যে, \( \frac{2}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)
১ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, ১ ঘন সে.মি. কাঠের ওজন = ৬ ডেসিগ্রাম
আমরা জানি, ১ ঘন সে.মি. পানির ওজন = ১ গ্রাম = ১০ ডেসিগ্রাম
৬ ডেসিগ্রাম, ১০ ডেসিগ্রাম এর শতকরা = \( \left( \frac{6}{10} \times 100 \right) \% \) ভাগ
= ৬০ ভাগ
∴ কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা ৬০ ভাগ। (Ans.)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( 3nx^2 - 4mx + 3n = 0 \)
বা, \( 3nx^2 + 3n = 4mx \)
বা, \( 3n(x^2 + 1) = 2m \cdot 2x \)
বা, \( \frac{x^2+1}{2x} = \frac{2m}{3n} \)
বা, \( \frac{x^2+1+2x}{x^2+1-2x} = \frac{2m+3n}{2m-3n} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{(x+1)^2}{(x-1)^2} = \frac{2m+3n}{2m-3n} \)
বা, \( \sqrt{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}} = \sqrt{\frac{2m+3n}{2m-3n}} \)
বা, \( \frac{x+1}{x-1} = \frac{\sqrt{2m+3n}}{\sqrt{2m-3n}} \)
বা, \( \frac{x+1+x-1}{x+1-x+1} = \frac{\sqrt{2m+3n} + \sqrt{2m-3n}}{\sqrt{2m+3n} - \sqrt{2m-3n}} \)
[পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2x}{2} = \frac{\sqrt{2m+3n} + \sqrt{2m-3n}}{\sqrt{2m+3n} - \sqrt{2m-3n}} \)
∴ \( x = \frac{\sqrt{2m+3n} + \sqrt{2m-3n}}{\sqrt{2m+3n} - \sqrt{2m-3n}} \) (দেখানো হলো)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \frac{x+a}{x-a} + \frac{x+b}{x-b} = 2 \)
বা, \( \frac{x+a}{x-a} - 1 + \frac{x+b}{x-b} - 1 = 0 \)
বা, \( \frac{x+a-x+a}{x-a} + \frac{x+b-x+b}{x-b} = 0 \)
বা, \( \frac{2a}{x-a} + \frac{2b}{x-b} = 0 \)
বা, \( \frac{a}{x-a} + \frac{b}{x-b} = 0 \)
বা, \( \frac{a}{x-a} = -\frac{b}{x-b} \)
বা, \( ax - ab = -bx + ab \)
বা, \( ax + bx = ab + ab \)
বা, \( x(a+b) = 2ab \)
বা, \( \frac{a+b}{ab} = \frac{2}{x} \)
∴ \( \frac{2}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ২: ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
(i) \( A = y^3 - 3by^2 + 3y - b \)
(ii) একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 4 সে.মি.।
ক. \( \frac{l}{m} = \frac{m}{n} \) হলে প্রমাণ কর যে, \( \frac{l^3+m^3}{l-m+n} = l(l+m) \)
খ. (i) নং হতে \( A = 0 \) হলে প্রমাণ কর যে, \( y = \frac{\sqrt[3]{b+1} + \sqrt[3]{b-1}}{\sqrt[3]{b+1} - \sqrt[3]{b-1}} \)
গ. (ii) নং তথ্যে যদি ভূমির দৈর্ঘ্য 5% বৃদ্ধি এবং উচ্চতা 10% হ্রাস পায় তবে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?
২ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \frac{l}{m} = \frac{m}{n} \) বা, \( m^2 = ln \)
বামপক্ষ = \( \frac{l^3+m^3}{l-m+n} \)
= \( \frac{l(l^2) + m(m^2)}{l-m+n} \) = \( \frac{l^3 + m(ln)}{l-m+n} \)
= \( \frac{l(l^2 + mn)}{l-m+n} \) = \( \frac{(l+m)(l^2 - lm + m^2)}{l-m+n} \)
= \( \frac{(l+m)(l^2 - lm + ln)}{l-m+n} \) = \( \frac{l(l+m)(l - m + n)}{l-m+n} \)
= \( l(l+m) \) = ডানপক্ষ
∴ \( \frac{l^3+m^3}{l-m+n} = l(l+m) \) (প্রমাণিত)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( A = y^3 - 3by^2 + 3y - b = 0 \)
বা, \( y^3 + 3y = 3by^2 + b \) বা, \( y^3 + 3y = b(3y^2 + 1) \)
বা, \( \frac{y^3 + 3y}{3y^2 + 1} = b \)
বা, \( \frac{y^3 + 3y + 3y^2 + 1}{y^3 + 3y - 3y^2 - 1} = \frac{b+1}{b-1} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{(y+1)^3}{(y-1)^3} = \frac{b+1}{b-1} \)
বা, \( \frac{y+1}{y-1} = \frac{\sqrt[3]{b+1}}{\sqrt[3]{b-1}} \)
[উভয়পক্ষকে ঘনমূল করে]
বা, \( \frac{y+1+y-1}{y+1-y+1} = \frac{\sqrt[3]{b+1} + \sqrt[3]{b-1}}{\sqrt[3]{b+1} - \sqrt[3]{b-1}} \)
[পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2y}{2} = \frac{\sqrt[3]{b+1} + \sqrt[3]{b-1}}{\sqrt[3]{b+1} - \sqrt[3]{b-1}} \)
∴ \( y = \frac{\sqrt[3]{b+1} + \sqrt[3]{b-1}}{\sqrt[3]{b+1} - \sqrt[3]{b-1}} \) (প্রমাণিত)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি 6 সে.মি. এবং উচ্চতা 4 সে.মি.
∴ 5% বৃদ্ধিতে ভূমির দৈর্ঘ্য = \( \left(6 + 6 \times \frac{5}{100}\right) \) সে.মি. = 6.3 সে.মি.
এবং 10% হ্রাসে উচ্চতা = \( \left(4 - 4 \times \frac{10}{100}\right) \) সে.মি. = 3.6 সে.মি.
∴ ত্রিভুজটির আদি ক্ষেত্রফল = \( \left(\frac{1}{2} \times 6 \times 4\right) \) বর্গ সে.মি. = 12 বর্গ সে.মি.
এবং নতুন ক্ষেত্রফল = \( \left(\frac{1}{2} \times 6.3 \times 3.6\right) \) বর্গ সে.মি. = 11.34 বর্গ সে.মি. < 12 বর্গ সে.মি.
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পেয়েছে = \( \frac{12 - 11.34}{12} \times 100\% \)
= \( \frac{0.66}{12} \times 100\% \) = 5.5%
= 5.5% (Ans.)
প্রশ্ন ৩: রাজশাহী বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
(i) \( m^2 - \frac{2m}{x} + 1 = 0 \)
(ii) \( \frac{y+11a}{y-11a} + \frac{y+11b}{y-11b} = 2 \)
ক. \( 6x : 8y = 11 : 16 \) হলে \( \frac{x+y}{x-y} \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. (i) হতে দেখাও যে, \( m = \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}} \)
গ. (ii) হতে প্রমাণ কর যে, \( y = \frac{22ab}{a+b} \) যেখানে, \( a - b \neq 0 \)
৩ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( 6x : 8y = 11 : 16 \)
বা, \( \frac{6x}{8y} = \frac{11}{16} \) বা, \( \frac{x}{y} = \frac{11 \times 8}{16 \times 6} \) বা, \( \frac{x}{y} = \frac{11}{12} \)
বা, \( \frac{x+y}{x-y} = \frac{11+12}{11-12} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
∴ \( \frac{x+y}{x-y} = -23 \)
-23 (Ans.)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( m^2 - \frac{2m}{x} + 1 = 0 \)
বা, \( m^2 + 1 = \frac{2m}{x} \) বা, \( \frac{m^2 + 1}{2m} = \frac{1}{x} \)
বা, \( \frac{m^2+1+2m}{m^2+1-2m} = \frac{1+x}{1-x} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \frac{1+x}{1-x} \) বা, \( \frac{m+1}{m-1} = \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} \)
[বর্গমূল করে]
বা, \( \frac{m+1+m-1}{m+1-m+1} = \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2m}{2} = \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \)
∴ \( m = \frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} \) (দেখানো হলো)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \frac{y+11a}{y-11a} + \frac{y+11b}{y-11b} = 2 \)
বা, \( \frac{y+11a}{y-11a} - 1 + \frac{y+11b}{y-11b} - 1 = 0 \)
বা, \( \frac{y+11a-y+11a}{y-11a} + \frac{y+11b-y+11b}{y-11b} = 0 \)
বা, \( \frac{22a}{y-11a} + \frac{22b}{y-11b} = 0 \)
বা, \( \frac{22a}{y-11a} = -\frac{22b}{y-11b} \)
বা, \( 22a(y-11b) = -22b(y-11a) \)
বা, \( a(y-11b) = -b(y-11a) \)
বা, \( ay - 11ab = -by + 11ab \)
বা, \( ay + by = 11ab + 11ab \)
বা, \( y(a+b) = 22ab \)
∴ \( y = \frac{22ab}{a+b} \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৪: চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
(i) \( x+y=a, y+z=b, z+x=c \) এবং \( x+y+z \neq 0 \)
(ii) \( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{6}{y} \)
ক. \( d:e = 3:2 \) এবং \( e:f = 5:4 \) হলে, \( f:d \) এর মান নির্ণয় কর।
খ. \( (a-z)a^{-1} = (b-x)b^{-1} = (c-y)c^{-1} \) হলে প্রমাণ কর যে, \( x=y=z \)
গ. \( m \neq n \) হলে, \( \frac{y+3m}{y-3m} + \frac{y+3n}{y-3n} \) এর মান নির্ণয় কর।
৪ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( d:e = 3:2 \) এবং \( e:f = 5:4 \)
∴ অনুপাত দুইটি দ্বারা গঠিত মিশ্র অনুপাত \( de : ef = (3 \times 5) : (2 \times 4) \)
বা, \( d:f = 15:8 \)
∴ \( f:d = 8:15 \)
[ব্যস্তকরণ করে]
8:15 (Ans.)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( x+y=a, y+z=b, z+x=c \) এবং \( x+y+z \neq 0 \)
এখন, \( (a-z)a^{-1} = (b-x)b^{-1} = (c-y)c^{-1} \)
বা, \( \frac{a-z}{a} = \frac{b-x}{b} = \frac{c-y}{c} \)
বা, \( \frac{a-z-a}{a} = \frac{b-x-b}{b} = \frac{c-y-c}{c} \)
[বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{-z}{x+y} = \frac{-x}{y+z} = \frac{-y}{z+x} \) বা, \( \frac{z}{x+y} = \frac{x}{y+z} = \frac{y}{z+x} \)
বা, \( \frac{x+y+z}{x+y} = \frac{x+y+z}{y+z} = \frac{x+y+z}{z+x} \)
[যোজন করে]
বা, \( \frac{1}{x+y} = \frac{1}{y+z} = \frac{1}{z+x} \)
[\((x+y+z)\) দ্বারা ভাগ করে]
বা, \( z = x = y \) ∴ \( x=y=z \)
(প্রমাণিত)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{6}{y} \)
বা, \( \frac{n+m}{mn} = \frac{6}{y} \) বা, \( y = \frac{6mn}{m+n} \) ....... (i)
(i) নং হতে পাই, \( \frac{y}{3m} = \frac{2n}{m+n} \)
বা, \( \frac{y+3m}{y-3m} = \frac{2n+m+n}{2n-m-n} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
∴ \( \frac{y+3m}{y-3m} = \frac{m+3n}{n-m} \) ....... (ii)
আবার, (i) নং হতে পাই, \( \frac{y}{3n} = \frac{2m}{m+n} \)
বা, \( \frac{y+3n}{y-3n} = \frac{2m+m+n}{2m-m-n} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
∴ \( \frac{y+3n}{y-3n} = \frac{3m+n}{m-n} \) ....... (iii)
এখন, (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
\( \frac{y+3m}{y-3m} + \frac{y+3n}{y-3n} = \frac{m+3n}{n-m} + \frac{3m+n}{m-n} \)
= \( \frac{-m-3n+3m+n}{m-n} = \frac{2m-2n}{m-n} = \frac{2(m-n)}{(m-n)} = 2 \)
2 (Ans.)
প্রশ্ন ৫: সিলেট বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ২)
একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য \( a \) একক, প্রস্থ \( b \) একক এবং ক্ষেত্রফল \( ab \) বর্গএকক। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল এর কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের \( \frac{1}{m} \) অংশ। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 5% হ্রাস ও প্রস্থ 2% বৃদ্ধি করা হলো।
ক. দুটি সংখ্যার অনুপাত 3 : 5 এবং গ.সা.গু. 7 হলে, বড় সংখ্যাটি নির্ণয় করো।
খ. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিবর্তনের পরে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল শতকরা কী পরিমাণ হ্রাস বা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।
গ. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিবর্তনের পূর্বে প্রমাণ করো যে, \( a:b = (\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}) : (\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}) \)
৫ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি 3x ও 5x. তাহলে, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু = x
শর্তমতে, x = 7
∴ বড় সংখ্যাটি = 5 × 7 = 35
35 (Ans.)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য a একক, প্রস্থ b একক এবং ক্ষেত্রফল ab বর্গ একক।
5% হ্রাসে নতুন দৈর্ঘ্য = \( (a - a \times \frac{5}{100}) \) একক = 0.95a একক
2% বৃদ্ধিতে নতুন প্রস্থ = \( (b + b \times \frac{2}{100}) \) একক = 1.02b একক
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = (0.95a × 1.02b) বর্গ একক = 0.969ab বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস = \( \frac{ab - 0.969ab}{ab} \times 100\% \)
= \( \frac{0.031ab}{ab} \times 100\% \) = 3.1%
3.1% (Ans.)
গ. এর সমাধান:
উদ্দীপক অনুসারে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে a ও b একক। ∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ণ = \( \sqrt{a^2+b^2} \) একক
কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = \( (\sqrt{a^2+b^2})^2 \) বর্গ একক = \( a^2+b^2 \) বর্গ একক
শর্তমতে, \( ab = \frac{1}{m}(a^2+b^2) \)
বা, \( m = \frac{a^2+b^2}{ab} \)
বা, \( \frac{m}{2} = \frac{a^2+b^2}{2ab} \)
[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]
বা, \( \frac{m+2}{m-2} = \frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{m+2}{m-2} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} \)
বা, \( \frac{a+b}{a-b} = \frac{\sqrt{m+2}}{\sqrt{m-2}} \)
[বর্গমূল করে]
বা, \( \frac{a+b+a-b}{a+b-a+b} = \frac{\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}}{\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2a}{2b} = \frac{\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}}{\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}} \)
∴ \( a:b = (\sqrt{m+2}+\sqrt{m-2}) : (\sqrt{m+2}-\sqrt{m-2}) \) (প্রমাণিত)
প্রশ্ন ৬: যশোর বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
\( y = \frac{\sqrt[3]{a+1} + \sqrt[3]{a-1}}{\sqrt[3]{a+1} - \sqrt[3]{a-1}} \) এবং \( p, q, r, s \) ক্রমিক সমানুপাতিক।
ক. দুইটি সংখ্যার অনুপাত 5 : 7, এদের গ.সা.গু 6 হলে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু নির্ণয় কর।
খ. দেখাও যে, \( y^3 - 3ay^2 + 3y - a = 0 \)
গ. দেখাও যে, \( (p^2 - q^2 + r^2)(q^2 - r^2 + s^2) = (pq - qr + rs)^2 \)
৬ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাদ্বয় 5x ও 7x এবং এদের গ.সা.গু x.
∴ ল.সা.গু = \( 5 \times 7 \times x = 35x \)
শর্তমতে, x = 6
∴ ল.সা.গু = \( 35 \times 6 = 210 \)
210 (Ans.)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( y = \frac{\sqrt[3]{a+1} + \sqrt[3]{a-1}}{\sqrt[3]{a+1} - \sqrt[3]{a-1}} \)
বা, \( \frac{y+1}{y-1} = \frac{\sqrt[3]{a+1}+\sqrt[3]{a-1}+\sqrt[3]{a+1}-\sqrt[3]{a-1}}{\sqrt[3]{a+1}+\sqrt[3]{a-1}-\sqrt[3]{a+1}+\sqrt[3]{a-1}} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{y+1}{y-1} = \frac{2\sqrt[3]{a+1}}{2\sqrt[3]{a-1}} \) বা, \( \frac{y+1}{y-1} = \frac{\sqrt[3]{a+1}}{\sqrt[3]{a-1}} \)
বা, \( \frac{(y+1)^3}{(y-1)^3} = \frac{a+1}{a-1} \)
[ঘন করে]
বা, \( \frac{y^3+3y^2+3y+1}{y^3-3y^2+3y-1} = \frac{a+1}{a-1} \)
বা, \( \frac{y^3+3y^2+3y+1+y^3-3y^2+3y-1}{y^3+3y^2+3y+1-y^3+3y^2-3y+1} = \frac{a+1+a-1}{a+1-a+1} \)
[পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2y^3+6y}{6y^2+2} = \frac{2a}{2} \) বা, \( \frac{2(y^3+3y)}{2(3y^2+1)} = a \)
বা, \( y^3+3y = a(3y^2+1) \) বা, \( y^3+3y = 3ay^2+a \)
[আড়গুণন করে]
∴ \( y^3 - 3ay^2 + 3y - a = 0 \) (দেখানো হলো)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, p, q, r, s ক্রমিক সমানুপাতিক। অর্থাৎ \( \frac{p}{q} = \frac{q}{r} = \frac{r}{s} \)
ধরি, \( \frac{p}{q} = \frac{q}{r} = \frac{r}{s} = k \)
তাহলে, \( \frac{r}{s} = k \) ∴ \( r = sk \) | \( \frac{q}{r} = k \) বা, \( q = rk = sk \cdot k \) ∴ \( q = sk^2 \) | \( \frac{p}{q} = k \) বা, \( p = qk = sk^2 \cdot k \) ∴ \( p = sk^3 \)
বামপক্ষ = \( (p^2 - q^2 + r^2)(q^2 - r^2 + s^2) \)
= \( \{(sk^3)^2 - (sk^2)^2 + (sk)^2\} \{(sk^2)^2 - (sk)^2 + s^2\} \)
= \( (s^2k^6 - s^2k^4 + s^2k^2)(s^2k^4 - s^2k^2 + s^2) \)
= \( s^2k^2(k^4 - k^2 + 1) \cdot s^2(k^4 - k^2 + 1) \) = \( s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2 \)
ডানপক্ষ = \( (pq - qr + rs)^2 = (sk^3 \cdot sk^2 - sk^2 \cdot sk + sk \cdot s)^2 \)
= \( (s^2k^5 - s^2k^3 + s^2k)^2 = \{s^2k(k^4 - k^2 + 1)\}^2 \)
= \( s^4k^2(k^4 - k^2 + 1)^2 \)
∴ \( (p^2 - q^2 + r^2)(q^2 - r^2 + s^2) = (pq - qr + rs)^2 \) (দেখানো হলো)
প্রশ্ন ৭: বরিশাল বোর্ড ২০২৬ (প্রশ্ন নং ৩)
\( M = \frac{x+3p}{x-3p} \), \( N = \frac{x+3q}{x-3q} \) এবং \( a^2b + 2a + b = 0 \)
ক. p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ কর যে, \( \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{(p+q)^2}{(q+r)^2} \)
খ. M + N = 2 হলে প্রমাণ কর যে, \( 6x^{-1} = p^{-1} + q^{-1} \)
গ. প্রমাণ কর যে, \( a = \frac{\sqrt{1+b} + \sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b} - \sqrt{1-b}} \)
৭ নং প্রশ্নের সমাধান
ক. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। ∴ \( \frac{p}{q} = \frac{q}{r} \) বা, \( q^2 = pr \)
বামপক্ষ = \( \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{p^2+pr}{pr+r^2} = \frac{p(p+r)}{r(p+r)} = \frac{p}{r} \)
ডানপক্ষ = \( \frac{(p+q)^2}{(q+r)^2} = \frac{p^2+2pq+q^2}{q^2+2qr+r^2} = \frac{p^2+2pq+pr}{pr+2qr+r^2} \)
= \( \frac{p(p+2q+r)}{r(p+2q+r)} = \frac{p}{r} \)
∴ \( \frac{p^2+q^2}{q^2+r^2} = \frac{(p+q)^2}{(q+r)^2} \) (প্রমাণিত)
খ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( M = \frac{x+3p}{x-3p} \), \( N = \frac{x+3q}{x-3q} \) এবং \( M + N = 2 \)
প্রশ্নমতে, \( \frac{x+3p}{x-3p} + \frac{x+3q}{x-3q} = 2 \)
বা, \( \frac{(x+3p)(x-3q) + (x+3q)(x-3p)}{(x-3p)(x-3q)} = 2 \)
বা, \( \frac{x^2 - 3qx + 3px - 9pq + x^2 - 3px + 3qx - 9pq}{x^2 - 3qx - 3px + 9pq} = 2 \)
বা, \( \frac{2x^2 - 18pq}{x^2 - 3px - 3qx + 9pq} = 2 \)
বা, \( 2x^2 - 18pq = 2x^2 - 6px - 6qx + 18pq \)
[আড়গুণন করে]
বা, \( 2x^2 - 2x^2 + 6px + 6qx = 18pq + 18pq \)
বা, \( 6px + 6qx = 36pq \)
বা, \( \frac{6px}{6pq} + \frac{6qx}{6pq} = \frac{36pq}{6pq} \)
[6pq দ্বারা ভাগ করে]
বা, \( \frac{x}{q} + \frac{x}{p} = 6 \) বা, \( x(\frac{1}{q} + \frac{1}{p}) = 6 \)
বা, \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{6}{x} \)
∴ \( 6x^{-1} = p^{-1} + q^{-1} \) (প্রমাণিত)
গ. এর সমাধান:
দেওয়া আছে, \( a^2b + 2a + b = 0 \)
বা, \( a^2b + b = -2a \) বা, \( b(a^2 + 1) = -2a \)
বা, \( \frac{b}{-2a} = \frac{1}{a^2+1} \) বা, \( \frac{a^2+1}{2a} = -\frac{1}{b} \)
বা, \( \frac{a^2+1+2a}{a^2+1-2a} = \frac{-1-b}{-1+b} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{(a+1)^2}{(a-1)^2} = \frac{1+b}{1-b} \)
বা, \( \frac{a+1}{a-1} = \frac{\sqrt{1+b}}{\sqrt{1-b}} \)
[বর্গমূল করে]
বা, \( \frac{a+1+a-1}{a+1-a+1} = \frac{\sqrt{1+b}+\sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b}-\sqrt{1-b}} \)
[যোজন-বিয়োজন করে]
বা, \( \frac{2a}{2} = \frac{\sqrt{1+b}+\sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b}-\sqrt{1-b}} \)
∴ \( a = \frac{\sqrt{1+b}+\sqrt{1-b}}{\sqrt{1+b}-\sqrt{1-b}} \) (প্রমাণিত)