দেওয়া আছে, $P(x) = 3x^2 - 7x^4 + 9x - 7$
$= -7x^4 + 3x^2 + 9x - 7$, যা বহুপদীর আদর্শ আকার [চলকের ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে]
এখানে চলক $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো $4$।
$\therefore P(x)$ এর মাত্রা = প্রদত্ত বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত $= 4$ (Ans.)
প্রদত্ত বহুপদী, $P(x, y) = 8x^3 + 6x^2y + 10xy^2 + xy + 2$
এখানে, $8x^3$ পদের মাত্রা $= 3$, $6x^2y$ পদের মাত্রা $= 2+1 = 3$, $10xy^2$ পদের মাত্রা $= 1+2 = 3$ এবং $xy$ পদের মাত্রা $= 1+1 = 2$।
সুতরাং বহুপদীটিতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত $= 3$
$\therefore P(x, y)$ এর মাত্রা $= 3$ (Ans.)
আবার, বহুপদীটিতে $x = 1$ এবং $y = 2$ বসিয়ে পাই,
$P(1, 2) = 8 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 \cdot 2 + 10 \cdot 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2 + 2$
$= 8 \times 1 + 6 \times 1 \times 2 + 10 \times 1 \times 4 + 2 + 2$
$= 8 + 12 + 40 + 4 = 64$ (Ans.)
$(x^2 - 1)(x + 6)$ কে $(2x^2 + 7)$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
প্রাপ্ত বীজগাণিতিক রাশি $= \frac{(x^2 - 1)(x + 6)}{2x^2 + 7}$
$= \frac{x^2(x + 6) - 1(x + 6)}{2x^2 + 7} = \frac{x^3 + 6x^2 - x - 6}{2x^2 + 7}$
এখানে, লব $(x^3 + 6x^2 - x - 6)$ এর মাত্রা $= 3$ এবং মুখ্য সহগ $= 1$
হর $(2x^2 + 7)$ এর মাত্রা $= 2$ এবং মুখ্য সহগ $= 2$
$\therefore$ ভাগফলের মাত্রা $= 3 - 2 = 1$ (Ans.)
এবং মুখ্য সহগ $= \frac{1}{2}$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি: $7x^3 + x^4 + 17x + 2 + 17x^2$
চলক $x$-এর ঘাতের অধঃক্রম (বড় থেকে ছোট ঘাত) অনুসারে সাজিয়ে বহুপদীর আদর্শরূপ পাই:
$x^4 + 7x^3 + 17x^2 + 17x + 2$
এখানে বহুপদীটির চলকের সর্বোচ্চ ঘাত $= 4$
$\therefore$ বহুপদীর মাত্রা $= 4$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $P(x) = 8x^2 + 3x^3 - 5x^4 - 4x + 2$
$= -5x^4 + 3x^3 + 8x^2 - 4x + 2$ [আদর্শ আকারে সাজিয়ে]
এখানে সর্বোচ্চ ঘাত $4$ সংবলিত পদটি হলো $-5x^4$ এবং চলকবর্জিত পদ হলো $2$।
$\therefore$ বহুপদীটির মুখ্য সহগ $= -5$ এবং ধ্রুবক $= 2$
$\therefore$ বহুপদীটির মুখ্য সহগ ও ধ্রুবকের যোগফল $= -5 + 2 = -3$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= \frac{12x^2 + 3x^4 + 4x^3 + 6x}{4x}$
$= \frac{12x^2}{4x} + \frac{3x^4}{4x} + \frac{4x^3}{4x} + \frac{6x}{4x}$ [প্রতিটি পদকে $4x$ দ্বারা পৃথকভাবে ভাগ করে]
$= 3x + \frac{3}{4}x^3 + x^2 + \frac{3}{2}$
$= \frac{3}{4}x^3 + x^2 + 3x + \frac{3}{2}$ [আদর্শ আকারে সাজিয়ে]
রাশিটির মুখ্য সহগ অর্থাৎ সর্বোচ্চ ঘাত $x^3$ এর সহগ $= \frac{3}{4}$ এবং ধ্রুবপদ $= \frac{3}{2}$
$\therefore$ সমষ্টি $= \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 6}{4} = \frac{9}{4}$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $f(x, y) = 3x^3 + 4x^2y + 6xy^2 + by^2$
প্রদত্ত বহুপদীতে $x = 1$ এবং $y = 2$ বসিয়ে পাই,
$\therefore f(1, 2) = 3(1)^3 + 4(1)^2 \times 2 + 6 \times 1 \times 2^2 + b \times 2^2$
বা, $91 = 3 \times 1 + 4 \times 1 \times 2 + 6 \times 1 \times 4 + 4b$ $[\because \text{দেওয়া আছে, } f(1, 2) = 91]$
বা, $91 = 3 + 8 + 24 + 4b$
বা, $91 = 35 + 4b$
বা, $4b = 91 - 35$
বা, $4b = 56$
বা, $b = \frac{56}{4} \therefore b = 14$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x - 1$
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, $P(x)$ কে $(x - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(2)$।
$\therefore P(2) = 2^3 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2 - 1$
$= 8 + 2 \times 4 + 6 - 1$
$= 8 + 8 + 6 - 1 = 21$
$\therefore$ নির্ণেয় ভাগশেষ $= 21$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = 5x^3 + ax^2 - 32x + 6$
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, $f(x)$ কে $(x - 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $f(2)$ হবে।
প্রশ্নমতে, $f(2) = 6$
বা, $5 \times 2^3 + a \times 2^2 - 32 \times 2 + 6 = 6$
বা, $5 \times 8 + 4a - 64 + 6 = 6$
বা, $40 + 4a - 64 + 6 - 6 = 0$
বা, $40 + 4a - 64 = 0$
বা, $4a = 64 - 40 = 24$
$\therefore a = \frac{24}{4} = 6$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = x^3 + px^2 + 4x - 5$
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $f(x)$ কে $(x - 3)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $f(3)$ হবে।
$\therefore f(3) = 3^3 + p \cdot (3)^2 + 4 \times 3 - 5$
বা, $-2 = 27 + 9p + 12 - 5$ $[\because \text{প্রশ্নমতে, } f(3) = -2]$
বা, $9p + 34 = -2$
বা, $9p = -2 - 34$
বা, $9p = -36$
বা, $p = \frac{-36}{9} \therefore p = -4$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $p(x) = x^3 - 8x^2 + ax + 60$
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে, $p(x)$ কে $(x + 2)$ বা $\{x - (-2)\}$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $p(-2)$।
শর্তমতে, $p(-2) = 8$
বা, $(-2)^3 - 8 \times (-2)^2 + a \times (-2) + 60 = 8$
বা, $-8 - 8 \times 4 - 2a + 60 = 8$
বা, $-8 - 32 - 2a + 60 = 8$
বা, $20 - 2a = 8$
বা, $2a = 20 - 8 = 12 \therefore a = 6$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = 15x^3 + bx^2 - x - 8$
$f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(3x + 2)$ হলে, $f\left(-\frac{2}{3}\right) = 0$ হবে।
$\therefore f\left(-\frac{2}{3}\right) = 15\left(-\frac{2}{3}\right)^3 + b\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - \left(-\frac{2}{3}\right) - 8 = 0$
বা, $15 \times \left(-\frac{8}{27}\right) + b \times \frac{4}{9} + \frac{2}{3} - 8 = 0$
বা, $-\frac{40}{9} + \frac{4b}{9} + \frac{2}{3} - 8 = 0$ [৩ দ্বারা ১৫ ও ২৭ কে ভাগ করে]
বা, $\frac{-40 + 4b + 6 - 72}{9} = 0$ [হরগুলোর ল.সা.গু. $9$ নিয়ে]
বা, $4b - 106 = 0$ বা, $4b = 106$
$\therefore b = \frac{106}{4} = \frac{53}{2}$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = 18x^3 - kx^2 - x - 2$
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(3x + 2)$ হলে $f\left(-\frac{2}{3}\right) = 0$ হয়।
বা, $18\left(-\frac{2}{3}\right)^3 - k\left(-\frac{2}{3}\right)^2 - \left(-\frac{2}{3}\right) - 2 = 0$
বা, $18 \times \left(\frac{-8}{27}\right) - \frac{4k}{9} + \frac{2}{3} - 2 = 0$
বা, $-\frac{16}{3} - \frac{4k}{9} + \frac{2}{3} - 2 = 0$ [৯ দ্বারা ১৮ ও ২৭ কে কাটাকাটি করে]
বা, $\frac{-48 - 4k + 6 - 18}{9} = 0$ [ল.সা.গু. $9$ নিয়ে]
বা, $-4k - 60 = 0$
বা, $4k = -60 \therefore k = -15$ (Ans.)
ধরি, $P(x) = x^3 + ax^2 + 2x + 1$
$\therefore (x + 1), P(x)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক হবে যদি $P(-1) = 0$ হয়।
শর্তমতে, $P(-1) = 0$
বা, $(-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = 0$
বা, $-1 + a(1) - 2 + 1 = 0$
বা, $-1 + a - 2 + 1 = 0$
বা, $a - 2 = 0 \therefore a = 2$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = 2x^3 + 7x^2 + ax + 2$
$f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x + 2)$ হলে, উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $f(-2) = 0$ হবে।
বা, $2(-2)^3 + 7(-2)^2 + a(-2) + 2 = 0$
বা, $2 \cdot (-8) + 7 \cdot 4 - 2a + 2 = 0$
বা, $-16 + 28 - 2a + 2 = 0$
বা, $2a = 28 - 16 + 2$
বা, $2a = 14 \therefore a = 7$ (Ans.)
ধরি, $f(x) = 5x^3 + 2x^2 + bx + 8$
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $f(x)$ ফাংশনটির একটি উৎপাদক $(x + 2)$ হলে $f(-2) = 0$ হবে।
এখন, $f(-2) = 5 \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 8 = 0$
বা, $5 \times (-8) + 2 \times 4 - 2b + 8 = 0$
বা, $-40 + 8 - 2b + 8 = 0$
বা, $-24 - 2b = 0$
বা, $2b = -24 \therefore b = -12$ (Ans.)
ধরি, $P(x) = 2x^3 + x^2 + ax - 9$
যেহেতু $(x + 3), P(x)$ এর একটি উৎপাদক সেহেতু, $P(-3) = 0$
বা, $2 \cdot (-3)^3 + (-3)^2 + a \cdot (-3) - 9 = 0$
বা, $2 \times (-27) + 9 - 3a - 9 = 0$
বা, $-54 + 9 - 3a - 9 = 0$
বা, $-3a = 54$ বা, $a = \frac{54}{-3} \therefore a = -18$ (Ans.)
ধরি, $f(y) = y^3 - 4y^2 + 4y - 3$
এখানে $y = 3$ বসিয়ে পাই,
$\therefore f(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + 4 \cdot 3 - 3$
$= 27 - 4 \times 9 + 12 - 3$
$= 27 - 36 + 12 - 3$
$= 39 - 39 = 0$
যেহেতু $f(3) = 0$, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী $(y - 3), f(y)$ বহুপদীর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)
ধরি, $f(m) = m^3 + 7m^2 - 5m - 3$
$m = 1$ বসিয়ে পাই, $f(1) = 1^3 + 7 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 - 3 = 1 + 7 - 5 - 3 = 0$
$\therefore (m - 1), f(m)$ এর একটি উৎপাদক।
এখন, $f(m) = m^3 + 7m^2 - 5m - 3$
$= m^3 - m^2 + 8m^2 - 8m + 3m - 3$ [$(m-1)$ উৎপাদকটি কমন নেওয়ার সুবিধার্থে পদগুলো ভেঙে]
$= m^2(m - 1) + 8m(m - 1) + 3(m - 1)$
$= (m - 1)(m^2 + 8m + 3)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= -2x^2 + 6y^2 + xy + 8x - 2y - 8$
$= 6y^2 - 2y - 8 + xy + 8x - 2x^2$ [$y$ সংবলিত পদগুলোকে সামনে সাজিয়ে]
$= 6y^2 + 6y - 8y - 8 + x(y + 8) - 2x^2$ [$6y^2 - 2y - 8$ কে মিডল টার্ম করে]
$= 6y(y + 1) - 8(y + 1) + x(y + 8) - 2x^2$
$= (y + 1)(6y - 8) + x(y + 8) - 2x^2$
$= (y + 1)\{2(3y - 4)\} + x(y + 8) - 2x^2$
$= (2y + 2)(3y - 4) + x(y + 8) - 2x^2$ [$2$ দ্বারা $(y+1)$ কে গুণ করে]
$= (2y + 2)(3y - 4) + x\{2(2y + 2) - (3y - 4)\} - 2x^2$ $[\because 4y + 4 - 3y + 4 = y + 8]$
$= (2y + 2)(3y - 4) + 2x(2y + 2) - x(3y - 4) - 2x^2$
$= (2y + 2)(3y - 4 + 2x) - x(3y - 4 + 2x)$
$= (3y - 4 + 2x)(2y + 2 - x)$
$= (2x + 3y - 4)(-x + 2y + 2)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= -3x^2 - 2xy + 8y^2 + 11x - 8y - 6$
$= -(3x^2 + 2xy - 8y^2) + 11x - 8y - 6$ [প্রথম তিন পদ থেকে মাইনাস কমন নিয়ে]
$= -(3x^2 + 6xy - 4xy - 8y^2) + 11x - 8y - 6$
$= -\{3x(x + 2y) - 4y(x + 2y)\} + 11x - 8y - 6$
$= -(x + 2y)(3x - 4y) + 11x - 8y - 6$
$= (x + 2y)(4y - 3x) - 12y + 9x + 2x + 4y - 6$ [$11x - 8y$ কে $9x + 2x - 12y + 4y$ আকারে ভেঙে]
$= (x + 2y)(4y - 3x) - 3(4y - 3x) + 2(x + 2y - 3)$
$= (4y - 3x)(x + 2y - 3) + 2(x + 2y - 3)$
$= (x + 2y - 3)(4y - 3x + 2)$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $f(x) = 3x^2 - ax + b$ এবং $a - b = 6 \dots (i)$
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(x - 4)$ হলে $f(4) = 0$ হবে।
শর্তমতে, $f(4) = 0$
বা, $3 \times (4)^2 - a \times 4 + b = 0$
বা, $3 \times 16 - 4a + b = 0$
বা, $48 - 4a + b = 0 \therefore 4a - b = 48 \dots (ii)$
এখন, সমীকরণ $(ii)$ থেকে $(i)$ বিয়োগ করে পাই, $(4a - b) - (a - b) = 48 - 6$
বা, $3a = 42 \therefore a = 14$
$a$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $14 - b = 6 \therefore b = 14 - 6 = 8$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= a^3 + \frac{1}{a^3} + 2$
$= \left(a + \frac{1}{a}\right)^3 - 3a \cdot \frac{1}{a}\left(a + \frac{1}{a}\right) + 2$
$= x^3 - 3x + 2$ $\left[\text{ধরি, } a + \frac{1}{a} = x\right]$
$= x^3 - x^2 + x^2 - x - 2x + 2$ [$x=1$ বসালে রাশিটি $0$ হয়, তাই $(x-1)$ উৎপাদক আকারে ভেঙে]
$= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 2(x - 1)$
$= (x - 1)(x^2 + x - 2)$
$= (x - 1)(x^2 + 2x - x - 2)$ [পুনরায় মিডল টার্ম করে]
$= (x - 1)\{x(x + 2) - 1(x + 2)\}$
$= (x - 1)(x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(x + 2)$
$= \left(a + \frac{1}{a} - 1\right)^2\left(a + \frac{1}{a} + 2\right)$ [$x$-এর মান বসিয়ে] (Ans.)
ধরি, $f(x) = 10x^3 - x^2 + 15x + 9$
এখানে $x = -\frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,
$\therefore f\left(-\frac{1}{2}\right) = 10 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 15 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 9$
$= 10 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{4} - \frac{15}{2} + 9 = -\frac{5}{4} - \frac{1}{4} - \frac{15}{2} + 9$
$= \frac{-5 - 1 - 30 + 36}{4} = \frac{0}{4} = 0$
উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, যেহেতু $f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$, সেহেতু $f(x)$ এর একটি উৎপাদক $(2x + 1)$।
$\therefore f(x) = 10x^3 - x^2 + 15x + 9$
$= 10x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 3x + 18x + 9$
$= 5x^2(2x + 1) - 3x(2x + 1) + 9(2x + 1)$
$= (5x^2 - 3x + 9)(2x + 1)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= x^3 + x^2y + xy + x^2 - 2x - 2y$
$= x^2y + xy - 2y + x^3 + x^2 - 2x$ [$y$ যুক্ত পদগুলো একপাশে এবং $x$ যুক্ত পদগুলো অন্যপাশে সাজিয়ে]
$= y(x^2 + x - 2) + x(x^2 + x - 2)$
$= (x^2 + x - 2)(y + x)$
$= (x^2 + 2x - x - 2)(x + y)$ [$x^2 + x - 2$ কে মিডল টার্ম করে]
$= \{x(x + 2) - 1(x + 2)\}(x + y)$
$= (x + 2)(x - 1)(x + y)$ (Ans.)
ধরি, $f(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - xy - yz - zx$
রাশিটিতে $x$-এর স্থলে $y$ এবং $y$-এর স্থলে $x$ বসিয়ে পাই,
$\therefore f(y, x, z) = y^3 + x^3 + z^3 - yx - xz - zy$
$= x^3 + y^3 + z^3 - xy - yz - zx = f(x, y, z)$
যেহেতু চলকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে, সুতরাং $x^3 + y^3 + z^3 - xy - yz - zx$ রাশিটি প্রতিসম। (দেখানো হলো)
ধরি, $f(x, y, z) = x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$
১ম অংশ (চক্রক্রমিক যাচাই): রাশিটিতে চক্রাকারে $x$ এর পরিবর্তে $y$, $y$ এর পরিবর্তে $z$ এবং $z$ এর পরিবর্তে $x$ বসিয়ে পাই,
$f(y, z, x) = y^2(z - x) + z^2(x - y) + x^2(y - z)$
$= x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y) = f(x, y, z)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি চক্রক্রমিক।
২য় অংশ (প্রতিসম যাচাই): এবার রাশিটিতে $x$ এর পরিবর্তে $y$ এবং $y$ এর পরিবর্তে $x$ বসিয়ে পাই,
$f(y, x, z) = y^2(x - z) + x^2(z - y) + z^2(y - x)$
$= -\{x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)\} = -f(x, y, z) \neq f(x, y, z)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি প্রতিসম নয়।
$\therefore x^2(y - z) + y^2(z - x) + z^2(x - y)$ রাশিটি চক্রক্রমিক কিন্তু প্রতিসম নয়। (দেখানো হলো)
ধরি, $f(x, y, z) = xy^{-1} + yz^{-1} + zx^{-1} = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$
$\therefore f(y, z, x) = \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} = f(x, y, z)$
অর্থাৎ রাশিটি $x, y, z$ চলকের একটি চক্রক্রমিক রাশি, কারণ এতে চক্রাকারে $x$ এর পরিবর্তে $y$, $y$ এর পরিবর্তে $z$ এবং $z$ এর পরিবর্তে $x$ বসালে রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে।
আবার, $x$ ও $y$ স্থান বিনিময় করলে পাই, $f(y, x, z) = \frac{y}{x} + \frac{x}{z} + \frac{z}{y} \neq f(x, y, z)$ অর্থাৎ, রাশিটি প্রতিসম নয়।
$\therefore \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}$ চক্রক্রমিক কিন্তু প্রতিসম নয়। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে, $A(p, q, r) = (p^{-1}q)^2 + (q^{-1}r)^2 + (r^{-1}p)^2 - \frac{2}{pqr}$
$= \left(\frac{q}{p}\right)^2 + \left(\frac{r}{q}\right)^2 + \left(\frac{p}{r}\right)^2 - \frac{2}{pqr} = \frac{q^2}{p^2} + \frac{r^2}{q^2} + \frac{p^2}{r^2} - \frac{2}{pqr}$
রাশিটিতে চক্রাকারে $p$ এর পরিবর্তে $r$, $q$ এর পরিবর্তে $p$ এবং $r$ এর পরিবর্তে $q$ বসিয়ে পাই,
$A(r, p, q) = \left(\frac{p}{r}\right)^2 + \left(\frac{q}{p}\right)^2 + \left(\frac{r}{q}\right)^2 - \frac{2}{r \cdot p \cdot q}$
$= \frac{p^2}{r^2} + \frac{q^2}{p^2} + \frac{r^2}{q^2} - \frac{2}{rpq} = \frac{q^2}{p^2} + \frac{r^2}{q^2} + \frac{p^2}{r^2} - \frac{2}{pqr} = A(p, q, r)$
$\therefore A(p, q, r)$ রাশিটি চক্রক্রমিক রাশি। (যাচাই করা হলো)
দেওয়া আছে, $P(a, b, c) = (a + b + c)(ab + bc + ca)$
চক্রক্রমিক যাচাই: $a, b, c$-এর স্থলে যথাক্রমে $b, c, a$ বসিয়ে পাই,
$P(b, c, a) = (b + c + a)(bc + ca + ab)$
$= (a + b + c)(ab + bc + ca) = P(a, b, c)$
$\therefore P(a, b, c)$ চক্রক্রমিক।
সমমাত্রিক যাচাই: আবার, $P(a, b, c) = (a + b + c)(ab + bc + ca)$
$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$
এখানে রাশিটি তিন চলকের বহুপদী এবং প্রতিটি পদের মাত্রা সমান (মাত্রা $= 3$)।
$\therefore$ রাশিটি সমমাত্রিক। (যাচাই করা হলো)
প্রদত্ত রাশি $= a(b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 3abc$
$= ab^2 + c^2a + bc^2 + a^2b + ca^2 + b^2c + 3abc$ [গুণ করে ব্র্যাকেট তুলে]
$= (ab^2 + a^2b + abc) + (b^2c + bc^2 + abc) + (ca^2 + c^2a + abc)$ [$3abc$ কে তিনটি $abc$ আকারে ভাগ করে]
$= ab(b + a + c) + bc(b + c + a) + ca(a + c + b)$
$= ab(a + b + c) + bc(a + b + c) + ca(a + b + c)$
$= (a + b + c)(ab + bc + ca)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$
$= (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc$ [$a^3+b^3$ এর অনুসিদ্ধান্ত প্রয়োগ করে]
$= (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b + c)$
$= (a + b + c)\{(a + b)^2 - (a + b)c + c^2\} - 3ab(a + b + c)$ [$(a+b)^3 + c^3$ এ উৎপাদকের সূত্র বসিয়ে]
$= (a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2) - 3ab(a + b + c)$
$= (a + b + c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab)$
$= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= c(a - b)^3 + a(b - c)^3 + b(c - a)^3$
$= c(a - b)^3 + a(b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3) + b(c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3)$ [২য় ও ৩য় পদে ঘনের সূত্র ভেঙে]
$= c(a - b)^3 + ab^3 - 3ab^2c + 3abc^2 - ac^3 + bc^3 - 3abc^2 + 3a^2bc - a^3b$
$= c(a - b)^3 - a^3b + ab^3 + 3a^2bc - 3ab^2c - ac^3 + bc^3$ $[+3abc^2 \text{ ও } -3abc^2 \text{ বাদ দিয়ে}]$
$= c(a - b)^3 - ab(a^2 - b^2) + 3abc(a - b) - c^3(a - b)$
$= c(a - b)(a^2 - 2ab + b^2) - ab(a + b)(a - b) + 3abc(a - b) - c^3(a - b)$
$= (a - b)(ca^2 - 2abc + b^2c - a^2b - ab^2 + 3abc - c^3)$ [$(a-b)$ কমন নিয়ে]
$= (a - b)(b^2c - c^3 - ab^2 + abc - a^2b + ca^2)$
$= (a - b)\{c(b^2 - c^2) - ab(b - c) - a^2(b - c)\}$
$= (a - b)(b - c)(bc + c^2 - ab - a^2)$
$= (a - b)(b - c)\{(c^2 - a^2) + b(c - a)\}$
$= (a - b)(b - c)\{(c + a)(c - a) + b(c - a)\}$
$= (a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)$ (Ans.)
ধরি, $a - b = x$, $b - c = y$ এবং $c - a = z$
তাহলে, $\therefore x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0$
আমরা জানি, $x + y + z = 0$ হলে $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
প্রদত্ত রাশি $= (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = x^3 + y^3 + z^3$
$= 3xyz$
$= 3(a - b)(b - c)(c - a)$ [$x, y, z$-এর মান বসিয়ে] (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= pq(p - q) + rp(r - p) + qr(q - r)$
$= pq(p - q) + r^2p - rp^2 + q^2r - qr^2$ [২য় ও ৩য় পদ গুণ করে]
$= pq(p - q) + r^2p - qr^2 - rp^2 + q^2r$ [সাজিয়ে লিখে]
$= pq(p - q) + r^2(p - q) - r(p^2 - q^2)$
$= pq(p - q) + r^2(p - q) - r(p + q)(p - q)$
$= (p - q)\{pq + r^2 - r(p + q)\}$ [$(p-q)$ কমন নিয়ে]
$= (p - q)(pq + r^2 - rp - qr)$
$= (p - q)(pq - rp - qr + r^2)$
$= (p - q)\{p(q - r) - r(q - r)\}$
$= (p - q)(q - r)(p - r)$
$= -(p - q)(q - r)(r - p)$ [$(p-r)$ থেকে মাইনাস কমন নিয়ে চক্রক্রমিক সাজিয়ে] (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= b^2c^2(b^2 - c^2) + c^2a^2(c^2 - a^2) + a^2b^2(a^2 - b^2)$
$= b^4c^2 - b^2c^4 + c^4a^2 - c^2a^4 + a^2b^2(a^2 - b^2)$ [১ম ও ২য় পদ গুণ করে]
$= c^4a^2 - b^2c^4 - c^2a^4 + b^4c^2 + a^2b^2(a^2 - b^2)$
$= c^4(a^2 - b^2) - c^2(a^4 - b^4) + a^2b^2(a^2 - b^2)$
$= c^4(a^2 - b^2) - c^2(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) + a^2b^2(a^2 - b^2)$
$= (a^2 - b^2)\{c^4 - c^2(a^2 + b^2) + a^2b^2\}$ [$(a^2-b^2)$ কমন নিয়ে]
$= (a^2 - b^2)(c^4 - c^2a^2 - b^2c^2 + a^2b^2)$
$= (a^2 - b^2)\{c^2(c^2 - a^2) - b^2(c^2 - a^2)\}$
$= (a^2 - b^2)(c^2 - a^2)(c^2 - b^2)$
$= -(a^2 - b^2)(b^2 - c^2)(c^2 - a^2)$ [$(c^2-b^2)$ থেকে মাইনাস কমন নিয়ে]
$= -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b)(b + c)(c + a)$ [$x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$ সূত্র প্রয়োগ করে] (Ans.)
দেওয়া আছে, $x - y = y - z$
$\therefore x + z = y + y = 2y$ [পক্ষান্তর করে]
এখন, প্রদত্ত রাশি $= \frac{x^3 - 8y^3 + z^3}{3xyz} = \frac{(x^3 + z^3) - 8y^3}{3xyz}$
$= \frac{(x + z)^3 - 3xz(x + z) - 8y^3}{3xyz}$ [$x^3+z^3$ এর অনুসিদ্ধান্ত বসিয়ে]
$= \frac{(2y)^3 - 3xz \times 2y - 8y^3}{3xyz}$ $[\because x + z = 2y \text{ মান বসিয়ে}]$
$= \frac{8y^3 - 6xyz - 8y^3}{3xyz} = \frac{-6xyz}{3xyz} = -2$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc$
$= a^2b + ab^2 + abc + abc + b^2c + bc^2 + ca^2 + abc + c^2a - abc$ [গুণ করে]
$= a^2b + ab^2 + abc + b^2c + c^2a + bc^2 + a^2c + abc$ [একটি $+abc$ ও $-abc$ বাদ দিয়ে এবং সাজিয়ে]
$= ab(a + b) + bc(a + b) + c^2(a + b) + ac(a + b)$
$= (a + b)(ab + bc + c^2 + ac)$
$= (a + b)\{b(a + c) + c(c + a)\}$
$= (a + b)(b + c)(c + a)$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= \frac{a^4 - x^4}{4x^3}\left[\frac{4x^3}{x^4 + a^4} + \frac{8x^7}{a^8 - x^8}\right]$
$= \frac{a^4 - x^4}{4x^3}\left[\frac{4x^3}{(x^4 + a^4)} + \frac{8x^7}{(a^4 - x^4)(x^4 + a^4)}\right]$ $[\because a^8 - x^8 = (a^4)^2 - (x^4)^2 = (a^4 - x^4)(a^4 + x^4)]$
$= \frac{a^4 - x^4}{4x^3} \cdot 4x^3\left[\frac{1}{x^4 + a^4}\left(1 + \frac{2x^4}{a^4 - x^4}\right)\right]$ [লব থেকে $4x^3$ এবং হর থেকে $(x^4+a^4)$ কমন নিয়ে]
$= (a^4 - x^4)\left[\frac{1}{x^4 + a^4} \times \frac{a^4 - x^4 + 2x^4}{a^4 - x^4}\right]$ [$4x^3$ ও $4x^3$ কাটাকাটি করে এবং ভেতরে ল.সা.গু. করে]
$= (a^4 - x^4)\left[\frac{1}{x^4 + a^4} \times \frac{x^4 + a^4}{a^4 - x^4}\right] = 1$ (Ans.)
প্রদত্ত রাশি $= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{x^4 - 1}$
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{(x^2)^2 - 1^2} = \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^2} + \frac{4}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}$
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2(x^2 - 1) + 4}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}$ [শেষ দুটি ভগ্নাংশের ল.সা.গু. করে]
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2x^2 - 2 + 4}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}$
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2x^2 + 2}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = \frac{1}{1 + x} + \frac{2(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)}$
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{x^2 - 1}$ [লব ও হর থেকে $(x^2+1)$ বাদ দিয়ে]
$= \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{(x + 1)(x - 1)}$
$= \frac{(x - 1) + 2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$
$\therefore$ নির্ণেয় সরল মান $= \frac{1}{x - 1}$ (Ans.)
প্রদত্ত ভগ্নাংশ: $\frac{2x + 2}{x(x^2 - 1)} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)(x - 1)} = \frac{2}{x(x - 1)}$ [লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করে]
ধরি, $\frac{2}{x(x - 1)} \equiv \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} \dots (i)$
$(i)$ নং অভেদের উভয়পক্ষকে হর $x(x - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$2 = A(x - 1) + Bx \dots (ii)$
যা $x$-এর সকল মানের জন্য সত্য।
এখন, $(ii)$ নং সমীকরণে $x = 0$ বসিয়ে পাই, $2 = A(0 - 1) + B(0) \Rightarrow 2 = A(-1) + 0 \therefore A = -2$
আবার, $(ii)$ নং সমীকরণে $x = 1$ বসিয়ে পাই, $2 = A(1 - 1) + B \cdot 1 \Rightarrow 2 = A \cdot 0 + B \cdot 1 \therefore B = 2$
$A$ ও $B$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$\therefore \frac{2}{x(x - 1)} = \frac{-2}{x} + \frac{2}{x - 1} = \frac{2}{x - 1} - \frac{2}{x}$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)
প্রথমে হরকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: $x^2 - 5x + 6 = x^2 - 3x - 2x + 6$
$= x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 3)(x - 2)$
$\therefore \frac{3x - 7}{x^2 - 5x + 6} = \frac{3x - 7}{(x - 2)(x - 3)} \equiv \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3} \dots (i)$
$(i)$ নং এর উভয় পক্ষকে $(x - 3)(x - 2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$3x - 7 = A(x - 3) + B(x - 2) \dots (ii)$
যা $x$ এর সকল মানের জন্য সত্য।
$B$-এর মান নির্ণয়ের জন্য $A$ সংবলিত পদটি শূন্য করতে $(ii)$ নং এ $x = 3$ বসিয়ে পাই,
$3 \times 3 - 7 = A(3 - 3) + B(3 - 2)$
বা, $9 - 7 = B \therefore B = 2$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $\frac{3y - 8}{(y - 2)(y - 3)(y + 1)} \equiv \frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y - 3} + \frac{C}{y + 1}$
উভয়পক্ষকে $(y - 2)(y - 3)(y + 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
$3y - 8 = A(y - 3)(y + 1) + B(y - 2)(y + 1) + C(y - 2)(y - 3) \dots (i)$
যা $y$ এর সকল বাস্তব মানের জন্য সত্য।
এখন, $C$-এর মান বের করতে $(i)$ নং এর উভয়পক্ষে $y + 1 = 0$ বা $y = -1$ বসিয়ে পাই,
$3(-1) - 8 = A(-1 - 3)(-1 + 1) + B(-1 - 2)(-1 + 1) + C(-1 - 2)(-1 - 3)$
বা, $-3 - 8 = 0 + 0 + C(-3)(-4)$
বা, $-11 = 12C \therefore C = -\frac{11}{12}$ (Ans.)
দেওয়া আছে, $\frac{5x - 7}{(x - 1)(x - 2)} \equiv \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$
উভয়পক্ষকে $(x - 1)(x - 2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,
বা, $5x - 7 = A(x - 2) + B(x - 1)$
এখন, $B$-এর মান নির্ণয়ের জন্য উভয়পক্ষে $x = 2$ বসিয়ে পাই,
$5 \times 2 - 7 = A(2 - 2) + B(2 - 1)$
বা, $10 - 7 = A(0) + B(1)$
বা, $3 = B \therefore B = 3$ (Ans.)