অনুশীলনী ৯.১ এর বিস্তারিত সমাধান
১. প্রমাণ করো যে, \(\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p = a^{\frac{mp}{n}}\), যেখানে \(m, p \in Z\) এবং \(n \in N\)
সমাধান:
মনে করি, \(x = \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p \quad \text{--- (i)}\)
[প্রদত্ত রাশিটিকে \(x\) ধরে]
বা, \(x^n = \left\{\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p\right\}^n\)
[উভয়পক্ষে \(n\) তম ঘাত নিয়ে]
বা, \(x^n = \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{pn}\)
[সূত্র: \((x^a)^b = x^{ab}\) ব্যবহার করে]
বা, \(x^n = \left\{\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n\right\}^p\)
[ঘাত \(pn\)-কে সাজিয়ে লিখে]
বা, \(x^n = \left(a^{\frac{m}{n} \cdot n}\right)^p\)
[সূত্র: \((x^a)^b = x^{ab}\) প্রয়োগ করে]
বা, \(x^n = (a^m)^p\)
[\(n\) এবং \(n\) ভাগ করে]
বা, \(x^n = a^{mp}\)
[সূত্র: \((a^m)^p = a^{mp}\) ব্যবহার করে]
\(\therefore x = a^{\frac{mp}{n}}\)
[উভয়পক্ষে \(n\) তম মূল বা \(\frac{1}{n}\) ঘাত নিয়ে]
অতএব, \(\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^p = a^{\frac{mp}{n}}\)
[(i) নং সমীকরণ থেকে \(x\)-এর মান বসিয়ে]
(প্রমাণিত)
২. প্রমাণ করো যে, \(\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{mn}}\), যেখানে \(m, n \in Z, m \neq 0, n \neq 0\)
সমাধান:
মনে করি, \(x = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} \quad \text{--- (i)}\)
[বামপক্ষকে \(x\) ধরে]
বা, \(x^n = \left\{\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}}\right\}^n\)
[উভয়পক্ষে \(n\) তম ঘাত নিয়ে]
বা, \(x^n = a^{\frac{1}{m}}\)
[সূত্র: \(\left(y^{\frac{1}{n}}\right)^n = y\) ব্যবহার করে]
বা, \((x^n)^m = \left(a^{\frac{1}{m}}\right)^m\)
[পুনরায় উভয়পক্ষে \(m\) তম ঘাত নিয়ে]
বা, \(x^{mn} = a\)
[সূত্র: \((x^n)^m = x^{mn}\) এবং \(\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^m = a\)]
\(\therefore x = a^{\frac{1}{mn}}\)
[উভয়পক্ষে \(\frac{1}{mn}\) ঘাত নিয়ে]
অতএব, \(\left(a^{\frac{1}{m}}\right)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{mn}}\)
[(i) নং সমীকরণ থেকে \(x\)-এর মান বসিয়ে]
(প্রমাণিত)
৩. প্রমাণ করো যে, \((ab)^{\frac{m}{n}} = (a)^{\frac{m}{n}} (b)^{\frac{m}{n}}\), যেখানে \(m \in Z, n \in N\)
সমাধান:
মনে করি, \(x = (a)^{\frac{m}{n}} (b)^{\frac{m}{n}} \quad \text{--- (i)}\)
[ডানপক্ষকে \(x\) ধরে]
বা, \(x^n = \left\{(a)^{\frac{m}{n}} (b)^{\frac{m}{n}}\right\}^n\)
[উভয়পক্ষে \(n\) তম ঘাত নিয়ে]
বা, \(x^n = \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n \cdot \left(b^{\frac{m}{n}}\right)^n\)
[সূত্র: \((xy)^n = x^n y^n\) ব্যবহার করে]
বা, \(x^n = a^m \cdot b^m\)
[সূত্র: \(\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n = a^m\) ব্যবহার করে]
বা, \(x^n = (ab)^m\)
[সূত্র: \(a^m b^m = (ab)^m\) ব্যবহার করে]
বা, \(x = \left\{(ab)^m\right\}^{\frac{1}{n}}\)
[উভয়পক্ষে \(\frac{1}{n}\) ঘাত নিয়ে]
\(\therefore x = (ab)^{\frac{m}{n}}\)
[ঘাতদ্বয় গুণ করে]
অতএব, \((ab)^{\frac{m}{n}} = (a)^{\frac{m}{n}} (b)^{\frac{m}{n}}\)
[(i) নং সমীকরণ থেকে \(x\)-এর মান বসিয়ে]
(প্রমাণিত)
৪. ক) দেখাও যে, \(\left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) = a - b\)
সমাধান:
বামপক্ষ \(= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)\)
[প্রদত্ত বামপক্ষ লিখে]
\(= \left(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}\right)\left\{\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^2\right\}\)
[\(a^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^2\) আকারে সাজিয়ে]
\(= \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(b^{\frac{1}{3}}\right)^3\)
[সূত্র: \((x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3\)]
\(= a^{\frac{1}{3} \cdot 3} - b^{\frac{1}{3} \cdot 3}\)
[সূত্র: \((a^m)^n = a^{mn}\) ব্যবহার করে]
\(= a - b = \text{ডানপক্ষ}\)
[ঘাত সরল করে]
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৪. খ) দেখাও যে, \(\frac{a^3 + a^{-3} + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{-3}{2}} + 1} = a^{\frac{3}{2}} + a^{\frac{-3}{2}} - 1\)
সমাধান:
বামপক্ষ \(= \frac{a^3 + a^{-3} + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[প্রদত্ত বামপক্ষ লিখে]
\(= \frac{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 + \left(a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[\(a^3 = \left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2\) এবং \(a^{-3} = \left(a^{-\frac{3}{2}}\right)^2\) লিখে]
\(= \frac{\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 - 2 \cdot a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{-\frac{3}{2}} + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[অনুসিদ্ধান্ত: \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy\)]
\(= \frac{\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 - 2 \cdot a^0 + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[সূত্র: \(a^m \cdot a^{-m} = a^0 = 1\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 - 2 + 1}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1} = \frac{\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}}\right)^2 - 1^2}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[\(-2 + 1 = -1 = -1^2\) লিখে]
\(= \frac{\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1\right)\left(a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 1\right)}{a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} + 1}\)
[সূত্র: \(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\)]
\(= a^{\frac{3}{2}} + a^{-\frac{3}{2}} - 1 = \text{ডানপক্ষ}\)
[লব ও হরকে একই রাশি দ্বারা ভাগ করে]
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৫. ক) সরল করো: \(\frac{\left(\frac{a+b}{b}\right)^{\frac{a}{a-b}} \times \left(\frac{a-b}{a}\right)^{\frac{a}{a-b}}}{\left(\frac{a+b}{b}\right)^{\frac{b}{a-b}} \times \left(\frac{a-b}{a}\right)^{\frac{b}{a-b}}}\)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \left(\frac{a+b}{b}\right)^{\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}} \times \left(\frac{a-b}{a}\right)^{\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}}\)
[সূত্র: \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) ব্যবহার করে]
\(= \left(\frac{a+b}{b}\right)^{\frac{a-b}{a-b}} \times \left(\frac{a-b}{a}\right)^{\frac{a-b}{a-b}}\)
[ঘাতগুলোর ল.সা.গু. করে বিয়োগ করে]
\(= \left(\frac{a+b}{b}\right)^1 \times \left(\frac{a-b}{a}\right)^1\)
[\(\frac{a-b}{a-b} = 1\) বসিয়ে]
\(= \frac{(a+b)(a-b)}{ab}\)
[ভগ্নাংশ দুটি গুণ করে]
\(= \frac{a^2 - b^2}{ab}\)
[সূত্র: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)]
নির্ণেয় সরলমান: \(\frac{a^2 - b^2}{ab}\)
৫. খ) সরল করো: \(\frac{a^{\frac{3}{2}} + ab}{ab - b^3} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - b}\)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{a^1 \cdot a^{\frac{1}{2}} + ab}{b(a - b^2)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - b}\)
[\(a^{\frac{3}{2}} = a^{1 + \frac{1}{2}} = a \cdot a^{\frac{1}{2}}\) এবং হর থেকে \(b\) কমন নিয়ে]
\(= \frac{a(\sqrt{a} + b)}{b\left\{(\sqrt{a})^2 - b^2\right\}} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - b}\)
[\(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\) এবং \(a = (\sqrt{a})^2\) লিখে]
\(= \frac{a(\sqrt{a} + b)}{b(\sqrt{a} + b)(\sqrt{a} - b)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - b}\)
[সূত্র: \(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{a}{b(\sqrt{a} - b)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - b}\)
[লব ও হর থেকে \((\sqrt{a} + b)\) বর্জন করে]
\(= \frac{a - b\sqrt{a}}{b(\sqrt{a} - b)}\)
[\(b(\sqrt{a} - b)\) ল.সা.গু. নিয়ে]
\(= \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - b)}{b(\sqrt{a} - b)}\)
[লব থেকে \(\sqrt{a}\) কমন নিয়ে, যেহেতু \(a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}\)]
\(= \frac{\sqrt{a}}{b}\)
[\((\sqrt{a} - b)\) দ্বারা লব ও হরকে ভাগ করে]
নির্ণেয় সরলমান: \(\frac{\sqrt{a}}{b}\)
৫. গ) সরল করো: \(\frac{1}{1 + a^{-m}b^n + a^{-m}c^p} + \frac{1}{1 + b^{-n}c^p + b^{-n}a^m} + \frac{1}{1 + c^{-p}a^m + c^{-p}b^n}\)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{a^m}{a^m(1 + a^{-m}b^n + a^{-m}c^p)} + \frac{b^n}{b^n(1 + b^{-n}c^p + b^{-n}a^m)} + \frac{c^p}{c^p(1 + c^{-p}a^m + c^{-p}b^n)}\)
[১ম, ২য় ও ৩য় ভগ্নাংশের লব ও হরকে যথাক্রমে \(a^m, b^n, c^p\) দ্বারা গুণ করে]
\(= \frac{a^m}{a^m + a^0 b^n + a^0 c^p} + \frac{b^n}{b^n + b^0 c^p + b^0 a^m} + \frac{c^p}{c^p + c^0 a^m + c^0 b^n}\)
[সূত্র: \(x^m \cdot x^{-m} = x^0\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{a^m}{a^m + b^n + c^p} + \frac{b^n}{a^m + b^n + c^p} + \frac{c^p}{a^m + b^n + c^p}\)
[যেহেতু \(a^0 = b^0 = c^0 = 1\)]
\(= \frac{a^m + b^n + c^p}{a^m + b^n + c^p}\)
[হরগুলোর ল.সা.গু. \((a^m + b^n + c^p)\) নিয়ে]
\(= 1\)
[লব ও হর সমান হওয়ায় ভাগফল \(1\)]
নির্ণেয় সরলমান: \(1\)
৫. ঘ) সরল করো: \(\sqrt[bc]{\frac{x^{\frac{b}{c}}}{x^{\frac{c}{b}}}} \times \sqrt[ca]{\frac{x^{\frac{c}{a}}}{x^{\frac{a}{c}}}} \times \sqrt[ab]{\frac{x^{\frac{a}{b}}}{x^{\frac{b}{a}}}}\)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \left(x^{\frac{b}{c} - \frac{c}{b}}\right)^{\frac{1}{bc}} \times \left(x^{\frac{c}{a} - \frac{a}{c}}\right)^{\frac{1}{ca}} \times \left(x^{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}\right)^{\frac{1}{ab}}\)
[সূত্র: \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) এবং \(\sqrt[n]{y} = y^{\frac{1}{n}}\) ব্যবহার করে]
\(= \left(x^{\frac{b^2 - c^2}{bc}}\right)^{\frac{1}{bc}} \times \left(x^{\frac{c^2 - a^2}{ca}}\right)^{\frac{1}{ca}} \times \left(x^{\frac{a^2 - b^2}{ab}}\right)^{\frac{1}{ab}}\)
[ঘাতগুলোর ভেতরে ভগ্নাংশের বিয়োগ করে]
\(= x^{\frac{b^2 - c^2}{b^2c^2}} \times x^{\frac{c^2 - a^2}{c^2a^2}} \times x^{\frac{a^2 - b^2}{a^2b^2}}\)
[সূত্র: \((x^m)^n = x^{mn}\) ব্যবহার করে]
\(= x^{\frac{b^2 - c^2}{b^2c^2} + \frac{c^2 - a^2}{c^2a^2} + \frac{a^2 - b^2}{a^2b^2}}\)
[সূত্র: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) ব্যবহার করে]
\(= x^{\frac{a^2(b^2 - c^2) + b^2(c^2 - a^2) + c^2(a^2 - b^2)}{a^2b^2c^2}}\)
[ঘাতের হরগুলোর ল.সা.গু. \(a^2b^2c^2\) নিয়ে]
\(= x^{\frac{a^2b^2 - a^2c^2 + b^2c^2 - a^2b^2 + a^2c^2 - b^2c^2}{a^2b^2c^2}}\)
[গুণ করে বন্ধনী তুলে]
\(= x^{\frac{0}{a^2b^2c^2}} = x^0 = 1\)
[সূত্র: \(x^0 = 1\)]
নির্ণেয় সরলমান: \(1\)
৫. ঙ) সরল করো: \(\frac{(a^2 - b^{-2})^a (a - b^{-1})^{b-a}}{(b^2 - a^{-2})^b (b + a^{-1})^{a-b}}\)
সমাধান:
প্রদত্ত রাশি \(= \frac{\left(a^2 - \frac{1}{b^2}\right)^a \left(a - \frac{1}{b}\right)^{b-a}}{\left(b^2 - \frac{1}{a^2}\right)^b \left(b + \frac{1}{a}\right)^{a-b}}\)
[সূত্র: \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{\left(\frac{a^2b^2 - 1}{b^2}\right)^a \left(\frac{ab - 1}{b}\right)^{b-a}}{\left(\frac{a^2b^2 - 1}{a^2}\right)^b \left(\frac{ab + 1}{a}\right)^{a-b}}\)
[বন্ধনীর ভেতরে ল.সা.গু. করে]
\(= \frac{\frac{(ab + 1)^a (ab - 1)^a}{b^{2a}} \cdot \frac{(ab - 1)^{b-a}}{b^{b-a}}}{\frac{(ab + 1)^b (ab - 1)^b}{a^{2b}} \cdot \frac{(ab + 1)^{a-b}}{a^{a-b}}}\)
[সূত্র: \(a^2b^2 - 1 = (ab+1)(ab-1)\) এবং \(\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}\)]
\(= \frac{\frac{(ab + 1)^a (ab - 1)^{a + b - a}}{b^{2a + b - a}}}{\frac{(ab + 1)^{b + a - b} (ab - 1)^b}{a^{2b + a - b}}}\)
[একই ভিত্তির ঘাতগুলো যোগ করে]
\(= \frac{(ab + 1)^a (ab - 1)^b}{b^{a+b}} \times \frac{a^{a+b}}{(ab + 1)^a (ab - 1)^b}\)
[ভাগকে গুণে রূপান্তর করে উল্টিয়ে লিখে]
\(= \frac{a^{a+b}}{b^{a+b}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}\)
[একই রাশি কাটাকাটি করে এবং \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\) সূত্রে]
নির্ণেয় সরলমান: \(\left(\frac{a}{b}\right)^{a+b}\)
৬. ক) দেখাও যে, যদি \(x = a^{q+r}b^p, y = a^{r+p}b^q, z = a^{p+q}b^r\) হয়, তবে \(x^{q-r} \cdot y^{r-p} \cdot z^{p-q} = 1\)
সমাধান:
বামপক্ষ \(= x^{q-r} \cdot y^{r-p} \cdot z^{p-q}\)
[প্রদত্ত বামপক্ষ লিখে]
\(= \left(a^{q+r}b^p\right)^{q-r} \cdot \left(a^{r+p}b^q\right)^{r-p} \cdot \left(a^{p+q}b^r\right)^{p-q}\)
[\(x, y, z\)-এর মান বসিয়ে]
\(= a^{(q+r)(q-r)} b^{p(q-r)} \cdot a^{(r+p)(r-p)} b^{q(r-p)} \cdot a^{(p+q)(p-q)} b^{r(p-q)}\)
[সূত্র: \((xy)^n = x^n y^n\) এবং \((x^m)^n = x^{mn}\)]
\(= a^{q^2 - r^2} \cdot a^{r^2 - p^2} \cdot a^{p^2 - q^2} \cdot b^{pq - pr} \cdot b^{qr - pq} \cdot b^{pr - qr}\)
[সূত্র: \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) ব্যবহার করে]
\(= a^{q^2 - r^2 + r^2 - p^2 + p^2 - q^2} \cdot b^{pq - pr + qr - pq + pr - qr}\)
[সূত্র: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) ব্যবহার করে]
\(= a^0 \cdot b^0 = 1 \cdot 1 = 1 = \text{ডানপক্ষ}\)
[যেহেতু \(a^0 = 1\) এবং \(b^0 = 1\)]
\(\therefore x^{q-r} \cdot y^{r-p} \cdot z^{p-q} = 1\) (দেখানো হলো)
৬. খ) দেখাও যে, যদি \(a^p = b, b^q = c\) এবং \(c^r = a\) হয়, তবে \(pqr = 1\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(c^r = a\)
[প্রদত্ত ৩য় শর্ত থেকে]
বা, \((b^q)^r = a\)
[যেহেতু \(c = b^q\), তাই \(c\)-এর মান বসিয়ে]
বা, \(b^{qr} = a\)
[সূত্র: \((b^q)^r = b^{qr}\) ব্যবহার করে]
বা, \((a^p)^{qr} = a\)
[যেহেতু \(b = a^p\), তাই \(b\)-এর মান বসিয়ে]
বা, \(a^{pqr} = a^1\)
[সূত্র: \((a^m)^n = a^{mn}\) এবং \(a = a^1\)]
\(\therefore pqr = 1\)
[সূত্র: \(a^x = a^y\) হলে \(x = y\) হয়]
(দেখানো হলো)
৬. গ) দেখাও যে, যদি \(a^x = p, a^y = q\) এবং \(a^2 = (p^y q^x)^z\) হয়, তবে \(xyz = 1\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a^2 = (p^y q^x)^z\)
[প্রদত্ত সম্পর্কটি লিখে]
বা, \(a^2 = \left\{(a^x)^y \cdot (a^y)^x\right\}^z\)
[\(p = a^x\) এবং \(q = a^y\) মান বসিয়ে]
বা, \(a^2 = (a^{xy} \cdot a^{xy})^z\)
[সূত্র: \((a^m)^n = a^{mn}\) ব্যবহার করে]
বা, \(a^2 = \left(a^{xy + xy}\right)^z\)
[সূত্র: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) ব্যবহার করে]
বা, \(a^2 = (a^{2xy})^z\)
[\(xy + xy = 2xy\) যোগ করে]
বা, \(a^2 = a^{2xyz}\)
[ঘাতদ্বয় গুণ করে]
বা, \(2xyz = 2\)
[উভয়পক্ষের ভিত্তি \(a\) সমান হওয়ায় ঘাত সমান ধরে]
\(\therefore xyz = 1\)
[উভয়পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে]
(দেখানো হলো)
৭. ক) যদি \(x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b} + z\sqrt[3]{c} = 0\) এবং \(a^2 = bc\) হয়, তবে দেখাও যে, \(ax^3 + by^3 + cz^3 = 3axyz\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(x\sqrt[3]{a} + y\sqrt[3]{b} + z\sqrt[3]{c} = 0\)
[প্রদত্ত ১ম সমীকরণ]
বা, \(xa^{\frac{1}{3}} + yb^{\frac{1}{3}} = -zc^{\frac{1}{3}} \quad \text{--- (i)}\)
[\(z\sqrt[3]{c}\)-কে ডানপক্ষে পক্ষান্তর করে এবং \(\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}\) লিখে]
বা, \(\left(xa^{\frac{1}{3}} + yb^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \left(-zc^{\frac{1}{3}}\right)^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন (Cube) করে]
বা, \(\left(xa^{\frac{1}{3}}\right)^3 + \left(yb^{\frac{1}{3}}\right)^3 + 3 \cdot xa^{\frac{1}{3}} \cdot yb^{\frac{1}{3}}\left(xa^{\frac{1}{3}} + yb^{\frac{1}{3}}\right) = -z^3 c\)
[সূত্র: \((A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B)\)]
বা, \(ax^3 + by^3 + 3xy a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} \left(-zc^{\frac{1}{3}}\right) = -cz^3\)
[(i) নং হতে \(xa^{\frac{1}{3}} + yb^{\frac{1}{3}} = -zc^{\frac{1}{3}}\) মান বসিয়ে]
বা, \(ax^3 + by^3 - 3xyz(abc)^{\frac{1}{3}} = -cz^3\)
[সূত্র: \(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}} = (abc)^{\frac{1}{3}}\)]
বা, \(ax^3 + by^3 + cz^3 = 3xyz(a \cdot a^2)^{\frac{1}{3}}\)
[পক্ষান্তর করে এবং প্রদত্ত \(bc = a^2\) মান বসিয়ে]
বা, \(ax^3 + by^3 + cz^3 = 3xyz(a^3)^{\frac{1}{3}}\)
[\(a \cdot a^2 = a^3\) লিখে]
\(\therefore ax^3 + by^3 + cz^3 = 3axyz\)
[\((a^3)^{\frac{1}{3}} = a\) বসিয়ে]
(দেখানো হলো)
৭. খ) যদি \(x = (a + b)^{\frac{1}{3}} + (a - b)^{\frac{1}{3}}\) এবং \(a^2 - b^2 = c^3\) হয়, তবে দেখাও যে, \(x^3 - 3cx - 2a = 0\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(x = (a + b)^{\frac{1}{3}} + (a - b)^{\frac{1}{3}} \quad \text{--- (i)}\)
[প্রদত্ত সমীকরণ]
বা, \(x^3 = \left\{(a + b)^{\frac{1}{3}} + (a - b)^{\frac{1}{3}}\right\}^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \(x^3 = \left\{(a + b)^{\frac{1}{3}}\right\}^3 + \left\{(a - b)^{\frac{1}{3}}\right\}^3 + 3(a + b)^{\frac{1}{3}}(a - b)^{\frac{1}{3}}\left\{(a + b)^{\frac{1}{3}} + (a - b)^{\frac{1}{3}}\right\}\)
[সূত্র: \((A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B)\)]
বা, \(x^3 = a + b + a - b + 3\left\{(a + b)(a - b)\right\}^{\frac{1}{3}} \cdot x\)
[(i) নং হতে মান \(x\) বসিয়ে এবং ঘাত সরল করে]
বা, \(x^3 = 2a + 3(a^2 - b^2)^{\frac{1}{3}} x\)
[সূত্র: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)]
বা, \(x^3 = 2a + 3(c^3)^{\frac{1}{3}} x\)
[প্রদত্ত \(a^2 - b^2 = c^3\) মান বসিয়ে]
বা, \(x^3 = 2a + 3cx\)
[\((c^3)^{\frac{1}{3}} = c\) সরল করে]
\(\therefore x^3 - 3cx - 2a = 0\)
[সবগুলো পদ বামপক্ষে পক্ষান্তর করে]
(দেখানো হলো)
৭. গ) যদি \(a^2 + 2 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{-\frac{2}{3}}\) এবং \(a \ge 0\) হয়, তবে দেখাও যে, \(3a^3 + 9a = 8\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a^2 + 2 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{-\frac{2}{3}}\)
[প্রদত্ত সমীকরণ]
বা, \(a^2 = \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2 + \left(3^{-\frac{1}{3}}\right)^2 - 2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}\)
[\(2\)-কে ডানপক্ষে নিয়ে এবং \(3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}} = 1\) বসিয়ে]
বা, \(a^2 = \left(3^{\frac{1}{3}} - 3^{-\frac{1}{3}}\right)^2\)
[সূত্র: \(x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2\)]
\(\therefore a = 3^{\frac{1}{3}} - 3^{-\frac{1}{3}} \quad \text{--- (i)}\)
[বর্গমূল করে, যেহেতু \(a \ge 0\)]
বা, \(a^3 = \left(3^{\frac{1}{3}} - 3^{-\frac{1}{3}}\right)^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \(a^3 = \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3 - \left(3^{-\frac{1}{3}}\right)^3 - 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{-\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{1}{3}} - 3^{-\frac{1}{3}}\right)\)
[সূত্র: \((x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)\)]
বা, \(a^3 = 3 - 3^{-1} - 3 \cdot 1 \cdot a\)
[(i) নং হতে মান \(a\) বসিয়ে]
বা, \(a^3 + 3a = 3 - \frac{1}{3}\)
[\(-3a\)-কে বামপক্ষে নিয়ে এবং \(3^{-1} = \frac{1}{3}\) লিখে]
বা, \(a^3 + 3a = \frac{9 - 1}{3} = \frac{8}{3}\)
[ডানপক্ষে ভগ্নাংশের বিয়োগ করে]
\(\therefore 3a^3 + 9a = 8\)
[আড়গুণন করে]
(দেখানো হলো)
৭. ঘ) যদি \(a^2 = b^3\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{3}}\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a^2 = b^3\)
[প্রদত্ত সম্পর্ক]
\(\therefore a = b^{\frac{3}{2}}\) এবং \(b = a^{\frac{2}{3}}\)
[উভয়পক্ষে যথাক্রমে \(\frac{1}{2}\) ও \(\frac{1}{3}\) ঘাত নিয়ে]
বামপক্ষ \(= \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{3}{2}} + \left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{2}{3}}\)
[প্রদত্ত বামপক্ষ লিখে]
\(= \frac{a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{3}{2}}} + \frac{b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}}\)
[সূত্র: \(\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{a^{\frac{3}{2}}}{a} + \frac{b^{\frac{2}{3}}}{b}\)
[\(b^{\frac{3}{2}} = a\) এবং \(a^{\frac{2}{3}} = b\) মান বসিয়ে]
\(= a^{\frac{3}{2} - 1} + b^{\frac{2}{3} - 1}\)
[সূত্র: \(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}\) ব্যবহার করে]
\(= a^{\frac{1}{2}} + b^{-\frac{1}{3}} = \text{ডানপক্ষ}\)
[ঘাত বিয়োগ করে]
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৭. ঙ) যদি \(b = 1 + 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\) হয়, তবে দেখাও যে, \(b^3 - 3b^2 - 6b - 4 = 0\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(b = 1 + 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\)
[প্রদত্ত সমীকরণ]
বা, \(b - 1 = 3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}} \quad \text{--- (i)}\)
[\(1\)-কে বামপক্ষে পক্ষান্তর করে]
বা, \((b - 1)^3 = \left(3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\right)^3\)
[উভয়পক্ষকে ঘন করে]
বা, \(b^3 - 3b^2 \cdot 1 + 3b \cdot 1^2 - 1^3 = \left(3^{\frac{2}{3}}\right)^3 + \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^3 + 3 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}}\right)\)
[উভয়পক্ষে ঘন-এর সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, \(b^3 - 3b^2 + 3b - 1 = 3^2 + 3^1 + 3 \cdot 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}(b - 1)\)
[(i) নং হতে \(3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{3}} = b - 1\) বসিয়ে]
বা, \(b^3 - 3b^2 + 3b - 1 = 9 + 3 + 3 \cdot 3^1(b - 1)\)
[\(3^2 = 9\) এবং \(3^{\frac{3}{3}} = 3^1\) লিখে]
বা, \(b^3 - 3b^2 + 3b - 1 = 12 + 9b - 9\)
[ডানপক্ষে গুণ ও যোগ করে]
বা, \(b^3 - 3b^2 + 3b - 1 - 9b - 3 = 0\)
[ডানপক্ষের সব পদ বামপক্ষে নিয়ে]
\(\therefore b^3 - 3b^2 - 6b - 4 = 0\)
[যোগ-বিয়োগ করে সরল করে]
(দেখানো হলো)
৭. চ) যদি \(a + b + c = 0\) হয়, তবে দেখাও যে, \(\frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{1}{x^c + x^{-a} + 1} + \frac{1}{x^a + x^{-b} + 1} = 1\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a + b + c = 0 \implies a + b = -c\) এবং \(-a - c = b\)
[প্রদত্ত শর্ত থেকে পক্ষান্তর করে]
বামপক্ষ \(= \frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{x^{-c}}{x^{-c}(x^c + x^{-a} + 1)} + \frac{x^b}{x^b(x^a + x^{-b} + 1)}\)
[২য় ও ৩য় ভগ্নাংশের লব ও হরকে যথাক্রমে \(x^{-c}\) ও \(x^b\) দ্বারা গুণ করে]
\(= \frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{x^{-c}}{x^0 + x^{-a-c} + x^{-c}} + \frac{x^b}{x^{a+b} + x^0 + x^b}\)
[সূত্র: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) ব্যবহার করে]
\(= \frac{1}{x^b + x^{-c} + 1} + \frac{x^{-c}}{1 + x^b + x^{-c}} + \frac{x^b}{x^{-c} + 1 + x^b}\)
[\(x^0 = 1, -a-c = b\) এবং \(a+b = -c\) মান বসিয়ে]
\(= \frac{1 + x^{-c} + x^b}{x^b + x^{-c} + 1}\)
[হরগুলোর ল.সা.গু. \((x^b + x^{-c} + 1)\) নিয়ে]
\(= 1 = \text{ডানপক্ষ}\)
[লব ও হর একই হওয়ায় ভাগফল \(1\)]
\(\therefore\) বামপক্ষ = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)
৮. ক) যদি \(a^x = b, b^y = c\) এবং \(c^z = 1\) হয়, তবে \(xyz\) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(c^z = 1\)
[প্রদত্ত ৩য় সম্পর্ক]
বা, \((b^y)^z = 1\)
[\(c = b^y\) মান বসিয়ে]
বা, \(b^{yz} = 1\)
[সূত্র: \((b^y)^z = b^{yz}\)]
বা, \((a^x)^{yz} = 1\)
[\(b = a^x\) মান বসিয়ে]
বা, \(a^{xyz} = a^0\)
[যেহেতু \(a^0 = 1\), যেখানে \(a \neq 1\)]
\(\therefore xyz = 0\)
[উভয়পক্ষের ভিত্তি সমান হওয়ায় ঘাত সমান]
নির্ণেয় মান: \(xyz = 0\)
৮. খ) যদি \(x^a = y^b = z^c\) এবং \(xyz = 1\) হয়, তবে \(ab + bc + ca\) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
মনে করি, \(x^a = y^b = z^c = k\)
[সমানুপাতিক ধ্রুবক \(k\) ধরে]
\(\therefore x = k^{\frac{1}{a}}, \; y = k^{\frac{1}{b}}\) এবং \(z = k^{\frac{1}{c}}\)
[পৃথকভাবে ঘাত পক্ষান্তর করে]
আবার, দেওয়া আছে, \(xyz = 1\)
[প্রদত্ত ২য় শর্ত]
বা, \(k^{\frac{1}{a}} \cdot k^{\frac{1}{b}} \cdot k^{\frac{1}{c}} = 1\)
[\(x, y, z\)-এর মান বসিয়ে]
বা, \(k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} = k^0\)
[সূত্র: \(k^m \cdot k^n = k^{m+n}\) এবং \(1 = k^0\)]
বা, \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0\)
[উভয়পক্ষের ভিত্তি \(k\) বাদ দিয়ে]
বা, \(\frac{bc + ca + ab}{abc} = 0\)
[\(abc\) ল.সা.গু. নিয়ে]
\(\therefore ab + bc + ca = 0\)
[আড়গুণন করে সজ্জিত করে]
নির্ণেয় মান: \(ab + bc + ca = 0\)
৮. গ) যদি \(9^x = 27^y\) হয়, তবে \(\frac{x}{y}\) এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(9^x = 27^y\)
[প্রদত্ত সমীকরণ]
বা, \((3^2)^x = (3^3)^y\)
[\(9 = 3^2\) এবং \(27 = 3^3\) লিখে]
বা, \(3^{2x} = 3^{3y}\)
[সূত্র: \((a^m)^n = a^{mn}\) ব্যবহার করে]
বা, \(2x = 3y\)
[উভয়পক্ষে ভিত্তি \(3\) সমান হওয়ায় ঘাত সমান ধরে]
\(\therefore \frac{x}{y} = \frac{3}{2}\)
[পক্ষান্তর করে]
নির্ণেয় মান: \(\frac{x}{y} = \frac{3}{2}\)
৯. ক) সমাধান করো: \(3^{2x+2} + 27^{x+1} = 36\)
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(3^{2x+2} + 27^{x+1} = 36\)
[প্রদত্ত সমীকরণ]
বা, \(3^{2x} \cdot 3^2 + (3^3)^{x+1} = 36\)
[সূত্র: \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) এবং \(27 = 3^3\) লিখে]
বা, \(9 \cdot 3^{2x} + 3^{3x+3} = 36\)
[\(3^2 = 9\) এবং ঘাত গুণ করে]
বা, \(9 \cdot 3^{2x} + 27 \cdot 3^{3x} = 36\)
[\(3^{3x+3} = 3^{3x} \cdot 3^3 = 27 \cdot 3^{3x}\) লিখে]
বা, \(3^{2x} + 3 \cdot 3^{3x} = 4\)
[উভয়পক্ষকে \(9\) দ্বারা ভাগ করে]
বা, \((3^x)^2 + 3 \cdot (3^x)^3 - 4 = 0\)
[\(4\)-কে বামপক্ষে নিয়ে এবং ঘাত সাজিয়ে]
ধরি, \(3^x = a\); তাহলে, \(3a^3 + a^2 - 4 = 0\)
[\(3^x = a\) বসিয়ে]
বা, \(3a^3 - 3a^2 + 4a^2 - 4 = 0\)
[ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য ভেঙে]
বা, \(3a^2(a - 1) + 4(a + 1)(a - 1) = 0\)
[\(a^2 - 1 = (a+1)(a-1)\) সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, \((a - 1)(3a^2 + 4a + 4) = 0\)
[\((a - 1)\) কমন নিয়ে]
যেহেতু \(a = 3^x > 0\), তাই \(3a^2 + 4a + 4 \neq 0\)। সুতরাং, \(a - 1 = 0 \implies a = 1\)
[ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল শূন্য হতে পারে না]
বা, \(3^x = 3^0 \implies x = 0\)
[\(a = 3^x\) এবং \(1 = 3^0\) বসিয়ে]
নির্ণেয় সমাধান: \(x = 0\)
৯. খ) সমাধান করো: \(5^x + 3^y = 8, \quad 5^{x-1} + 3^{y-1} = 2\)
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়: \(5^x + 3^y = 8 \quad \text{--- (i)}\)
[১ম সমীকরণ]
এবং \(5^{x-1} + 3^{y-1} = 2 \implies \frac{5^x}{5} + \frac{3^y}{3} = 2\)
[২য় সমীকরণে \(a^{m-1} = \frac{a^m}{a}\) সূত্র প্রয়োগ করে]
বা, \(\frac{3 \cdot 5^x + 5 \cdot 3^y}{15} = 2 \implies 3 \cdot 5^x + 5 \cdot 3^y = 30 \quad \text{--- (ii)}\)
[ল.সা.গু. \(15\) নিয়ে আড়গুণন করে]
এখন, (i) নং সমীকরণকে \(3\) দ্বারা গুণ করে (ii) নং থেকে বিয়োগ করে পাই,
[অপনয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করে]
\((3 \cdot 5^x + 5 \cdot 3^y) - (3 \cdot 5^x + 3 \cdot 3^y) = 30 - 24\)
[\(8 \times 3 = 24\) বিয়োগ করে]
বা, \(2 \cdot 3^y = 6 \implies 3^y = 3^1 \implies y = 1\)
[উভয়পক্ষকে \(2\) দ্বারা ভাগ করে ও ঘাত সমান ধরে]
(i) নং সমীকরণে \(y = 1\) বসিয়ে পাই, \(5^x + 3^1 = 8\)
[\(y\)-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে]
বা, \(5^x = 8 - 3 = 5^1 \implies x = 1\)
[পক্ষান্তর করে ও ভিত্তি সমান ধরে]
নির্ণেয় সমাধান: \((x, y) = (1, 1)\)
৯. গ) সমাধান করো: \(4^{3y-2} = 16^{x+y}, \quad 3^{x+2y} = 9^{2x+1}\)
সমাধান:
১ম সমীকরণ হতে পাই, \(4^{3y-2} = 16^{x+y}\)
[প্রদত্ত ১ম সমীকরণ]
বা, \(4^{3y-2} = (4^2)^{x+y} = 4^{2x+2y}\)
[\(16 = 4^2\) বসিয়ে ঘাত গুণ করে]
বা, \(3y - 2 = 2x + 2y \implies y = 2x + 2 \quad \text{--- (i)}\)
[ভিত্তি \(4\) বাদ দিয়ে ও পক্ষান্তর করে]
আবার, ২য় সমীকরণ হতে পাই, \(3^{x+2y} = 9^{2x+1}\)
[প্রদত্ত ২য় সমীকরণ]
বা, \(3^{x+2y} = (3^2)^{2x+1} = 3^{4x+2}\)
[\(9 = 3^2\) বসিয়ে ঘাত গুণ করে]
বা, \(x + 2y = 4x + 2 \quad \text{--- (ii)}\)
[উভয়পক্ষ থেকে ভিত্তি \(3\) বাদ দিয়ে]
বা, \(x + 2(2x + 2) = 4x + 2\)
[(i) নং হতে \(y = 2x + 2\) মান বসিয়ে]
বা, \(x + 4x + 4 = 4x + 2 \implies 5x - 4x = 2 - 4 \implies x = -2\)
[পক্ষান্তর ও সরল করে]
(i) নং সমীকরণে \(x = -2\) বসিয়ে পাই, \(y = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2\)
[\(x\)-এর মান বসিয়ে]
নির্ণেয় সমাধান: \((x, y) = (-2, -2)\)
৯. ঘ) সমাধান করো: \(2^{2x+1} \cdot 2^{3y+1} = 8, \quad 2^{x+2} \cdot 2^{y+2} = 16\)
সমাধান:
১ম সমীকরণ হতে পাই, \(2^{2x+1} \cdot 2^{3y+1} = 8\)
[প্রদত্ত ১ম সমীকরণ]
বা, \(2^{2x + 1 + 3y + 1} = 2^3\)
[সূত্র: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) এবং \(8 = 2^3\) লিখে]
বা, \(2x + 3y + 2 = 3 \implies 2x + 3y = 1 \quad \text{--- (i)}\)
[ভিত্তি \(2\) বাদ দিয়ে ও পক্ষান্তর করে]
আবার, ২য় সমীকরণ হতে পাই, \(2^{x+2} \cdot 2^{y+2} = 16\)
[প্রদত্ত ২য় সমীকরণ]
বা, \(2^{x + 2 + y + 2} = 2^4\)
[ঘাত যোগ করে এবং \(16 = 2^4\) লিখে]
বা, \(x + y + 4 = 4 \implies x + y = 0 \implies x = -y \quad \text{--- (ii)}\)
[ভিত্তি \(2\) বাদ দিয়ে ও পক্ষান্তর করে]
(i) নং সমীকরণে \(x = -y\) বসিয়ে পাই, \(2(-y) + 3y = 1 \implies y = 1\)
[(ii) নং হতে \(x\)-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে]
(ii) নং সমীকরণে \(y = 1\) বসিয়ে পাই, \(x = -1\)
[\(y\)-এর মান বসিয়ে]
নির্ণেয় সমাধান: \((x, y) = (-1, 1)\)