🎓 জাহিদুল সাদ ক্লাস রুম (Zahidul Saad Classroom)
📘 সাধারণ গণিত (কনসেপ্ট নোট)
অধ্যায় ১৭
📊 পরিসংখ্যান (Statistics) ✨
📌 প্রশ্ন ১ (মৌলিক ধারণা)
উপাত্ত, পরিসংখ্যান, পরিসংখ্যানের উপাত্ত, কাঁচামাল এবং পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্যগুলো উদাহরণসহ বিস্তারিত লেখো।
✅ ১ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান
🔹 উপাত্ত (Data): কোনো তথ্য বা ঘটনা নির্দেশক সংখ্যা সমূহকে পরিসংখ্যানের উপাত্ত বলে।
উদাহরণ: $100$ নম্বরের মধ্যে $10$ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর: $50,$ $60,$ $80,$ $95,$ $55,$ $70,$ $67,$ $90,$ $65,$ $85$। এটি একটি পরিসংখ্যান এবং নম্বরগুলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত।
উদাহরণ: $100$ নম্বরের মধ্যে $10$ জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর: $50,$ $60,$ $80,$ $95,$ $55,$ $70,$ $67,$ $90,$ $65,$ $85$। এটি একটি পরিসংখ্যান এবং নম্বরগুলো পরিসংখ্যানের উপাত্ত।
🔹 পরিসংখ্যান (Statistics): বিজ্ঞানভিত্তিক কৌশল যার দ্বারা সংখ্যাসূচক তথ্য বা উপাত্ত সংগ্রহ, উপাত্তের উপস্থাপন, উপাত্তের বিশ্লেষণ এবং উপাত্তসমূহ হতে প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্ত গ্রহণ সম্ভব হয় তাকে পরিসংখ্যান বলে।
🔹 পরিসংখ্যানের উপাত্ত: গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত।
🔹 পরিসংখ্যানের কাঁচামাল: অনুসন্ধানাধীন উপাত্তই পরিসংখ্যানের কাঁচামাল।
🔹 পরিসংখ্যানের বৈশিষ্ট্য:
- i) পরিসংখ্যান উপাত্তের সমষ্টি
- ii) পরিসংখ্যান নির্দিষ্ট উদ্দেশ্য সম্পর্কিত
- iii) পরিসংখ্যান তুলনা যোগ্য ও বিভিন্ন গ্রুপে বিন্যাসযোগ্য
📌 প্রশ্ন ২ (চলক, শ্রেণি ব্যবধান ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যা)
চলক কত প্রকার ও কী কী? বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যবধান, পরিসর এবং ক্রমযোজিত গণসংখ্যা উদাহরণসহ ব্যাখ্যা করো।
✅ ২ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান
🔸 চলক (Variable): আমরা জানি, সংখ্যাসূচক তথ্যসমূহ পরিসংখ্যানের উপাত্ত। উপাত্তে ব্যবহৃত এসব সংখ্যাসমূহকে চলক বলে।
🔸 বিচ্ছিন্ন চলক: যে সকল চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় সেগুলোকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে। যেমন: জনসংখ্যারমূলক উপাত্তের চলক।
🔸 অবিচ্ছিন্ন চলক: যে সকল চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে সে সকল চলককে অবিচ্ছিন্ন চলক বলে। যেমন: বয়স, উচ্চতা, ওজন, প্রভৃতি।
🔸 বিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যবধান:
$15 - 20,$
$21 - 26,$
$27 - 32$ ইত্যাদি।
🔸 অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যবধান:
$14.5 - 20.5,$
$20.5 - 26.5,$
$26.5 - 32.5$ ইত্যাদি।
📐 পরিসর $=$
$($সর্বোচ্চ মান $-$ সর্বনিম্ন মান$)$
$+ 1$
🔸 ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: কোনো শ্রেণির এবং তার সকল পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যার সমষ্টিকে ঐ শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বলে। যেমন: কোনো গণসংখ্যা নিবেশনে প্রথম তিনটি শ্রেণির গণসংখ্যা যথাক্রমে $7,$ $10,$ $12$।
• প্রথম শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $= 7$
• দ্বিতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
$= 10 + 7$
$= 17$
• তৃতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
$= 10 + 7 + 12$
$= 29$
📌 প্রশ্ন ৩ (কেন্দ্রীয় প্রবণতা)
কেন্দ্রীয় প্রবণতা কাকে বলে? কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক কয়টি ও কী কী?
✅ ৩ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান
🎯 কেন্দ্রীয় প্রবণতা: অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহকে মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি কোনো একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি মানের দিকে বা মাঝামাঝি শ্রেণির দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।
কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপক হলো:-
i. গাণিতিক গড়
ii. মধ্যক
iii. প্রচুরক
📌 প্রশ্ন ৪ (এই অধ্যায় এর সকল সূত্রাবলি)
পরিসংখ্যান অধ্যায়ের সকল গাণিতিক সূত্র (পরিসর, শ্রেণিসংখ্যা, শ্রেণিব্যাপ্তি, গাণিতিক গড়, মধ্যক ও প্রচুরক) প্রতীকগুলোর পরিচয়সহ বিস্তারিতভাবে লেখো।
✅ ৪ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান (অটো-র্যাপিং সূত্র শিট)
১. উপাত্তের পরিধি বা পরিসর $=$
$($সর্বোচ্চ মান $-$ সর্বনিম্ন মান$)$
$+ 1$
২. শ্রেণিসংখ্যা $=$
পরিসর
শ্রেণি ব্যবধান
৩. শ্রেণিব্যবধান বা শ্রেণিব্যাপ্তিঃ
• i) বিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ক্ষেত্রে:
শ্রেণিব্যাপ্তি $=$
$($শ্রেণির সর্বোচ্চ মান $-$ শ্রেণির সর্বনিম্ন মান$) + 1$
• ii) অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমার ক্ষেত্রে:
শ্রেণিব্যাপ্তি $=$
$($শ্রেণির সর্বোচ্চ মান $-$ শ্রেণির সর্বনিম্ন মান$)$
৪. গাণিতিক গড়ঃ
ক. শ্রেণিবিন্যস্ত নয় এমন উপাত্তের ক্ষেত্রে:
গাণিতিক গড় $=$
$\sum x_i$
$n$
$[\sum x_i =$ উপাত্তসমূহের যোগফল,
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা$]$
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা$]$
খ. শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
গাণিতিক গড় $=$
$\sum f_i x_i$
$n$
$[x_i = i$ তম শ্রেণির মধ্যমান,
$f_i = i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা,
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা$]$
$f_i = i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা,
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা$]$
গ. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড়ঃ
গাণিতিক গড়, $\bar{x} =$
$a +$
$\sum f_i u_i$
$n$
$\times h$
ধাপ বিচ্যুতি, $u_i =$
$x_i - a$
$h$
এখানে,
$a =$ আনুমানিক গড় / সর্বোচ্চ গণসংখ্যার শ্রেণি মধ্যমান
$x_i = i$ তম শ্রেণির মধ্যমান,
$f_i = i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা,
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা,
$h =$ উচ্চতা,
$u_i = i$ তম শ্রেণির ধাপ বিচ্যুতি
$a =$ আনুমানিক গড় / সর্বোচ্চ গণসংখ্যার শ্রেণি মধ্যমান
$x_i = i$ তম শ্রেণির মধ্যমান,
$f_i = i$ তম শ্রেণির গণসংখ্যা,
$n =$ মোট উপাত্তের সংখ্যা,
$h =$ উচ্চতা,
$u_i = i$ তম শ্রেণির ধাপ বিচ্যুতি
৫. মধ্যকঃ
(i) শ্রেণি বিন্যস্ত নয় এমন উপাত্তের ক্ষেত্রেঃ
(উপাত্ত সমূহ ক্রমানুসারে সাজানোর পর —)
• উপাত্তের সংখ্যা $(n)$ বিজোড় হলে,
মধ্যক $=$
$\Big($
$n + 1$$2$
$\Big)$ তম পদের মান
• উপাত্তের সংখ্যা $(n)$ জোড় হলে,
মধ্যক $=$
$\frac{n}{2}$ তম পদ $+$ $(\frac{n}{2} + 1)$ তম পদ
$2$
(ii) শ্রেণি বিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রেঃ
মধ্যক $= L +$
$\Big($
$n$$2$
$- F_c \Big)$
$\times$$h$$f_m$
এখানে,
$L =$ মধ্যক শ্রেণির নিম্নমান
$n =$ গণসংখ্যা
$F_c =$ মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
$f_m =$ মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা
$h =$ শ্রেণিব্যাপ্তি
$L =$ মধ্যক শ্রেণির নিম্নমান
$n =$ গণসংখ্যা
$F_c =$ মধ্যক শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
$f_m =$ মধ্যক শ্রেণির গণসংখ্যা
$h =$ শ্রেণিব্যাপ্তি
৬. প্রচুরকঃ
(i) শ্রেণিবিন্যস্ত নয় এমন উপাত্তের ক্ষেত্রে:
কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার থাকে, সেটাই ঐ উপাত্তের প্রচুরক এবং প্রতিটি উপাদান সংখ্যা সমান সংখ্যকবার থাকলে সেই উপাত্তের কোনো প্রচুরক নেই।
(ii) শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের ক্ষেত্রে:
প্রচুরক $= L +$
$f_1$
$f_1 + f_2$
$\times h$
এখানে,
$L =$ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা
$f_1 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$f_2 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$h =$ শ্রেণিব্যাপ্তি
$L =$ প্রচুরক শ্রেণির নিম্নসীমা
$f_1 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পূর্ববর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$f_2 =$ প্রচুরক শ্রেণির গণসংখ্যা $-$ পরবর্তী শ্রেণির গণসংখ্যা
$h =$ শ্রেণিব্যাপ্তি
📌 প্রশ্ন ৫ (সারণি বিশ্লেষণ ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান)
নিচের প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণিটি লক্ষ্য করো এবং সারণি থেকে (ক) প্রত্যক্ষ ও সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গাণিতিক গড়, (খ) মধ্যক এবং (গ) প্রচুরক নির্ণয় করো।
✅ ৫ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান (অটো-র্যাপিং ধাপে ধাপে হিসাব)
📊 নির্ণেয় মাস্টার সারণি (সকল কলাম একত্রে):
| ১ শ্রেণি ব্যাপ্তি |
২ গণসংখ্যা $f_i$ |
৩ অবিচ্ছিন্ন শ্রেণি ব্যাপ্তি |
৪ মধ্যমান $x_i$ |
৫ ধাপ বিচ্যুতি $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ |
৬ $f_i u_i$ |
৭ $f_i x_i$ |
৮ ক্রমযোজিত গণসংখ্যা |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $21 - 30$ | $4$ | $20.5 - 30.5$ | $25.5$ | $-3$ | $-12$ | $102$ | $4$ |
| $31 - 40$ | $8$ | $30.5 - 40.5$ | $35.5$ | $-2$ | $-16$ | $284$ | $12$ |
| $41 - 50$ | $10$ | $40.5 - 50.5$ | $45.5$ | $-1$ | $-10$ | $455$ | $22 = F_c$ |
| $L = 51 - 60$ | $f_m = 13$ | $50.5 - 60.5$ | $a = 55.5$ | $0$ | $0$ | $721.5$ | $35$ |
| $61 - 70$ | $5$ | $60.5 - 70.5$ | $65.5$ | $1$ | $5$ | $327.5$ | $40$ |
| $71 - 80$ | $7$ | $70.5 - 80.5$ | $75.5$ | $2$ | $14$ | $528.5$ | $47$ |
| $81 - 90$ | $3$ | $80.5 - 90.5$ | $85.5$ | $3$ | $9$ | $256.5$ | $50$ |
| $n = 50$ | $\sum f_i u_i = -10$ | $\sum f_i x_i = 2675$ |
🧮 (ক) গাণিতিক গড় নির্ণয়:
১. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতেঃ সারণি হতে পাই, মোট গণসংখ্যা $n = 50$ এবং $\sum f_i x_i = 2675$।
২. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতেঃ সারণি হতে পাই, আনুমানিক গড় $a = 55.5,$ শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 10,$ মোট গণসংখ্যা $n = 50$ এবং $\sum f_i u_i = -10$।
১. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতেঃ সারণি হতে পাই, মোট গণসংখ্যা $n = 50$ এবং $\sum f_i x_i = 2675$।
$\therefore$ নির্ণেয় গাণিতিক গড় $=$
$\sum f_i x_i$$n$
$=$$2675$$50$
$= 53.5$ (উত্তর)
২. সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতেঃ সারণি হতে পাই, আনুমানিক গড় $a = 55.5,$ শ্রেণিব্যাপ্তি $h = 10,$ মোট গণসংখ্যা $n = 50$ এবং $\sum f_i u_i = -10$।
$\therefore$ নির্ণেয় গড়, $\bar{x} =$
$a +$
$\sum f_i u_i$$n$
$\times h$
$= 55.5 +$$-10$$50$
$\times 10$
$= 55.5 - 2$
$= 53.5$ (উত্তর)
🧮 (খ) মধ্যক নির্ণয়:
এখানে, মোট গণসংখ্যা $n = 50$
$\implies \frac{n}{2} = \frac{50}{2} = 25$।
$25$-তম পদটি রয়েছে $(51 - 60)$ শ্রেণিতে (কারণ এই শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা $35$)। সুতরাং মধ্যক শ্রেণি হলো $(51 - 60)$।
এখন, $L = 51,$
$F_c = 22,$
$f_m = 13$
এবং $h = 10$।
$\therefore$ মধ্যক $= L +$
$\Big($
$n$$2$
$- F_c \Big) \times$$h$$f_m$
$= 51 + (25 - 22) \times$$10$$13$
$= 51 +$$30$$13$
$= 51 + 2.31$
$= 53.31$ (প্রায়)
🧮 (গ) প্রচুরক নির্ণয়:
সারণিতে সর্বাধিক গণসংখ্যা $13$ রয়েছে $(51 - 60)$ শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি হলো $(51 - 60)$।
সারণিতে সর্বাধিক গণসংখ্যা $13$ রয়েছে $(51 - 60)$ শ্রেণিতে। সুতরাং প্রচুরক শ্রেণি হলো $(51 - 60)$।
এখানে, $L = 51,$
$f_1 = 13 - 10 = 3,$
$f_2 = 13 - 5 = 8$
এবং $h = 10$।
$\therefore$ প্রচুরক $= L +$
$f_1$$f_1 + f_2$
$\times h$
$= 51 +$$3$$3 + 8$
$\times 10$
$= 51 +$$30$$11$
$= 51 + 2.73$
$= 53.73$ (প্রায়)
📌 প্রশ্ন ৬ (গ্রাফ পেপারে অঙ্কন ও অ্যানিমেটেড চিত্র)
গ্রাফ পেপারে অজিভ রেখা, গণসংখ্যা বহুভুজ এবং আয়তলেখ অঙ্কন করতে সারণির কোন কোন কলাম লাগবে? উপরের সারণির আলোকে তিনটি গ্রাফই চিত্রসহ অঙ্কন করে দেখাও।
✅ ৬ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান (অ্যানিমেটেড গ্রাফ পেপারসহ)
📌 গ্রাফ পেপার অঙ্কন করতে যেই যেই ছক লাগবেঃ
- ১. অজিভ রেখাঃ ১, ২, ৮ শ্রেণির উচ্চসীমা ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যা
- ২. বহুভুজঃ ১, ২, ৪ শ্রেণির মধ্যমান $x_i$ ও গণসংখ্যা $f_i$
- ৩. আয়ত লেখঃ ১, ২, ৩ অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা ও গণসংখ্যা $f_i$
📊 চিত্রে ১: আয়তলেখ (Histogram) - [কলাম: ১, ২, ৩]
$X$-অক্ষ বরাবর অবিচ্ছিন্ন শ্রেণিসীমা এবং $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে অঙ্কিত আয়তলেখ:
📈 চিত্রে ২: গণসংখ্যা বহুভুজ (Frequency Polygon) - [কলাম: ১, ২, ৪]
$X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণির মধ্যমান $(x_i)$ এবং $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা $(f_i)$ বসিয়ে অঙ্কিত বহুভুজ:
🚀 চিত্রে ৩: অজিভ রেখা (Ogive Curve) - [কলাম: ১, ২, ৮]
$X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণির উচ্চসীমা এবং $Y$-অক্ষ বরাবর ক্রমযোজিত গণসংখ্যা বসিয়ে অঙ্কিত অজিভ রেখা:
✨ Zahidul Saad Classroom | সাধারণ গণিত (অধ্যায় ১৭: পরিসংখ্যান - কমপ্লিট কনসেপ্ট নোট) ✨
