✨ নির্ঝর ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ✨
নির্বাচনী পরীক্ষা ২০২৬ | শ্রেণি: দশম | বিষয়: গণিত (বিষয় কোড: ১০৯)
সময়: ৩ ঘণ্টা | পূর্ণমান: ১০০ (সৃজনশীল ও সংক্ষিপ্ত ৭০ + বহুনির্বাচনি ৩০)
উদ্দীপক: $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 5 \text{ এবং } x^3 < 150\}$, $B = p + q$, $C = p^2 - q^2$
ক) উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$ (মান: ২)
খ) দেখাও যে, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $(\sqrt{2})^{2n}$ কে সমর্থন করে, যেখানে $n$ হলো $A$ এর উপাদান সংখ্যা। (মান: ৪)
গ) যদি $B = \sqrt{7}$ এবং $C = \sqrt{35}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{3}(p^3q + q^3p) - 1 = 0$ (মান: ৪)
প্রদত্ত রাশি $= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
$= (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot (3y) + 3 \cdot (2x) \cdot (3y)^2 + (3y)^3$
$= (2x + 3y)^3 = (2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)$ (উত্তর)
দেওয়া আছে, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 > 5 \text{ এবং } x^3 < 150\}$
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots\}$
• $x = 1$ হলে, $x^2 = 1^2 = 1 \not> 5$ এবং $x^3 = 1 < 150$ (শর্ত মানেনা)
• $x = 2$ হলে, $x^2 = 2^2 = 4 \not> 5$ এবং $x^3 = 8 < 150$ (শর্ত মানেনা)
• $x = 3$ হলে, $x^2 = 3^2 = 9 > 5$ এবং $x^3 = 27 < 150$ (শর্ত মানে)
• $x = 4$ হলে, $x^2 = 4^2 = 16 > 5$ এবং $x^3 = 64 < 150$ (শর্ত মানে)
• $x = 5$ হলে, $x^2 = 5^2 = 25 > 5$ এবং $x^3 = 125 < 150$ (শর্ত মানে)
• $x = 6$ হলে, $x^2 = 6^2 = 36 > 5$ কিন্তু $x^3 = 216 \not< 150$ (শর্ত মানেনা)
সুতরাং, $A = \{3, 4, 5\}$
এখানে, $A$ সেটের উপাদান সংখ্যা, $n = 3$।
এখন, $P(A)$ এর উপাদানগুলো হলো: $\emptyset, \{3\}, \{4\}, \{5\}, \{3,4\}, \{3,5\}, \{4,5\}, \{3,4,5\}$।
অতএব, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $= 8 = 2^3 = (\sqrt{2})^6 = (\sqrt{2})^{2 \cdot 3} = (\sqrt{2})^{2n}$
সুতরাং, $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা $(\sqrt{2})^{2n}$ কে সমর্থন করে। (দেখানো হলো)
দেওয়া আছে, $B = p + q = \sqrt{7}$ এবং $C = p^2 - q^2 = \sqrt{35}$
বা, $(p + q)(p - q) = \sqrt{35}$
বা, $\sqrt{7}(p - q) = \sqrt{7} \cdot \sqrt{5} \implies p - q = \sqrt{5}$
এখন, $pq = \left(\frac{p+q}{2}\right)^2 - \left(\frac{p-q}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{7}{4} - \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
আবার, $p^2 + q^2 = \frac{(p+q)^2 + (p-q)^2}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2}{2} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$
বামপক্ষ $= \frac{1}{3}(p^3q + q^3p) - 1 = \frac{1}{3}pq(p^2 + q^2) - 1$
$= \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 6 - 1 = 1 - 1 = 0 =$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
উদ্দীপক: $x = \sqrt[3]{8}, y = 8, z = \sqrt[3]{27}$ এবং $6 + m + n + p + \frac{3}{8}$ একটি গুণোত্তর ধারা।
ক) একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $10\%$ হ্রাস পেলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত হ্রাস পাবে? (মান: ২)
খ) প্রমাণ কর যে: $\frac{\log_{10}\sqrt{x} + \log_{10}\sqrt{y} - \log_{10}z}{\log_{10}(2y) - \log_{10}z^2} = 2^{-1}$ (মান: ৪)
গ) $m, n$ এবং $p$ এর মান নির্ণয় কর। (মান: ৪)
মনে করি, বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $= 100$ একক।
$\therefore$ বর্গের ক্ষেত্রফল $= (100)^2 = 10000$ বর্গ একক।
$10\%$ হ্রাসে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য $= 100 - 10 = 90$ একক।
$\therefore$ নতুন ক্ষেত্রফল $= (90)^2 = 8100$ বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল হ্রাস পায় $= 10000 - 8100 = 1900$ বর্গ একক।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল শতকরা হ্রাস পাবে $= \frac{1900}{10000} \times 100\% = 19\%$ (উত্তর)
উদ্দীপক হতে পাই, $x = \sqrt[3]{8} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$, $y = 8 = 2^3$ এবং $z = \sqrt[3]{27} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3$।
বামপক্ষ $= \frac{\log_{10}\sqrt{x} + \log_{10}\sqrt{y} - \log_{10}z}{\log_{10}(2y) - \log_{10}z^2}$
$= \frac{\log_{10}\sqrt{2} + \log_{10}\sqrt{8} - \log_{10}3}{\log_{10}(2 \times 8) - \log_{10}(3^2)}$
$= \frac{\log_{10}(\sqrt{2} \times \sqrt{8}) - \log_{10}3}{\log_{10}16 - \log_{10}9} = \frac{\log_{10}\sqrt{16} - \log_{10}3}{\log_{10}4^2 - \log_{10}3^2}$
$= \frac{\log_{10}4 - \log_{10}3}{2\log_{10}4 - 2\log_{10}3} = \frac{\log_{10}4 - \log_{10}3}{2(\log_{10}4 - \log_{10}3)} = \frac{1}{2} = 2^{-1} =$ ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি: $6 + m + n + p + \frac{3}{8}$
এখানে, প্রথম পদ $a = 6$ এবং ৫ম পদ $= \frac{3}{8}$। মনে করি, সাধারণ অনুপাত $= r$।
আমরা জানি, $k$-তম পদ $= ar^{k-1}$
$\therefore$ ৫ম পদ, $ar^{5-1} = \frac{3}{8} \implies 6r^4 = \frac{3}{8} \implies r^4 = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$
বা, $r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \pm \frac{1}{2}$
• $r = \frac{1}{2}$ হলে: $m = ar = 6 \times \frac{1}{2} = 3$, $n = ar^2 = 6 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$, এবং $p = ar^3 = 6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$।
• $r = -\frac{1}{2}$ হলে: $m = 6 \times (-\frac{1}{2}) = -3$, $n = 6 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$, এবং $p = 6 \times (-\frac{1}{8}) = -\frac{3}{4}$।
উত্তর: $m = \pm 3, n = \frac{3}{2}, p = \pm \frac{3}{4}$।
উদ্দীপক: চিত্রে, '$O$' কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PR$ এবং $QS$ জ্যা দুইটি পরস্পর $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ক) প্রমাণ কর যে, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (মান: ২)
খ) প্রমাণ করো যে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$। (মান: ৪)
গ) বৃত্তের দুইটি জ্যা অঙ্কন কর, যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $75^\circ$। (মান: ৪)
মনে করি, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস এবং $CD$ ব্যাস নয় এরূপ যেকোনো একটি জ্যা। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB > CD$।
অঙ্কন: $O, C$ এবং $O, D$ যোগ করি।
প্রমাণ: একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে $OA = OB = OC = OD$।
এখন, $\triangle OCD$-এ ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
$\therefore OC + OD > CD \implies OA + OB > CD \implies AB > CD$।
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। (প্রমাণিত)
বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $PR$ ও $QS$ জ্যা দুইটি বৃত্তের অভ্যন্তরে $E$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $O, P; O, Q; O, R; O, S$ এবং $R, S$ যোগ করা হলো। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle POQ + \angle ROS = 2\angle PEQ$।
প্রমাণ:
ধাপ ১: একই চাপ $PQ$-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle POQ$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle PRQ$ (বা $\angle ER S$)।
$\therefore \angle POQ = 2\angle PRS = 2\angle ERS \dots (i)$
ধাপ ২: আবার একই চাপ $RS$-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle ROS$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle RQS$ (বা $\angle ESR$)।
$\therefore \angle ROS = 2\angle RQS = 2\angle ESR \dots (ii)$
ধাপ ৩: কিন্তু $\triangle ERS$-এর বহিঃস্থ কোণ $\angle PEQ$ (অথবা বিপ্রতীপ কোণ হিসেবে $\angle PEQ = \angle RES$ এবং বহিঃস্থ কোণের ধর্ম হতে):
চিত্রে $\triangle P E S$ বা $\triangle Q E R$ বিবেচনায়, $QR$ যোগ করা হলে $\triangle QER$-এর বহিঃস্থ $\angle PEQ = \angle ERQ + \angle EQR$।
তখন, চাপ $PQ$-এর ওপর $\angle POQ = 2\angle PRQ = 2\angle ERQ$ এবং চাপ $RS$-এর ওপর $\angle ROS = 2\angle RQS = 2\angle EQR$।
সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই:
$\angle POQ + \angle ROS = 2(\angle ERQ + \angle EQR) = 2\angle PEQ$। (প্রমাণিত)
বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত দেওয়া আছে। বৃত্তে এমন দুইটি জ্যা অঙ্কন করতে হবে যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $75^\circ$।
অঙ্কনের বিবরণ:
১. যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত আঁকি।
২. বৃত্তের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু $A$ নিই এবং $A$ বিন্দু হতে একটি জ্যা $AB$ আঁকি।
৩. এখন $A$ বিন্দুতে $AB$ রেখার সাথে কম্পাস ও রুলারের সাহায্যে $\angle BAC = 75^\circ$ অঙ্কন করি, যেন $AC$ রশ্মি বৃত্তকে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, $AB$ এবং $AC$-ই নির্ণেয় জ্যা দুইটি, যাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ $\angle BAC = 75^\circ$।
উদ্দীপক: $\triangle PQR$ এর ভূমি $QR = 5$ সেমি, $\angle Q = 30^\circ$ এবং $PQ$ ও $PR$ (প্রশ্নে মুদ্রণজনিত $RS$ লেখা) বাহুর অন্তর $2$ সেমি।
ক) $QR$ একটি বর্গের কর্ণ হলে, বর্গটি আঁক। (মান: ২)
খ) $\triangle PQR$ ত্রিভুজটি আঁক। (মান: ৪)
গ) $\angle Q$ এবং $\angle R$ এর সমদ্বিখণ্ডক $O$ বিন্দুতে মিলিত হলে, প্রমাণ কর যে, $\angle QOR = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle P$। (মান: ৪)
দেওয়া আছে, বর্গের কর্ণ $QR = 5$ সেমি।
১. প্রথমে যেকোনো রশ্মি $QX$ থেকে $QR = 5$ সেমি কেটে নিই।
২. $Q$ ও $R$ বিন্দুতে $QR$ রেখাংশের উভয় পাশে $45^\circ$ করে কোণ এঁকে পরস্পরকে $P$ ও $S$ বিন্দুতে ছেদ করাই (অথবা $QR$ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক এঁকে মধ্যবিন্দু $M$ হতে উভয় পাশে $2.5$ সেমি কেটে যোগ করি)।
তাহলে $PQRS$-ই নির্ণেয় বর্গ।
দেওয়া আছে, ভূমি $QR = 5$ সেমি, ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle Q = 30^\circ$ এবং অপর দুই বাহুর অন্তর $PQ - PR = d = 2$ সেমি।
অঙ্কনের বিবরণ:
১. যেকোনো রশ্মি $QX$ থেকে ভূমি $QR = 5$ সেমি কেটে নিই।
২. $QR$ রেখাংশের $Q$ বিন্দুতে $\angle RQY = 30^\circ$ আঁকি।
৩. $QY$ রশ্মি থেকে $QD = 2$ সেমি কেটে নিই এবং $R, D$ যোগ করি।
৪. $RD$ রেখাংশের $R$ বিন্দুতে $\angle DRP = \angle QDR$-এর সমান করে কোণ আঁকি যা $QY$ রশ্মিকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, $\triangle PQR$-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ।
$\triangle PQR$-এ আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ$
বা, $\frac{1}{2}\angle P + \frac{1}{2}\angle Q + \frac{1}{2}\angle R = 90^\circ$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $\frac{1}{2}\angle Q + \frac{1}{2}\angle R = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle P \dots (i)$
আবার, যেহেতু $OQ$ এবং $OR$ যথাক্রমে $\angle Q$ ও $\angle R$-এর সমদ্বিখণ্ডক, তাই $\triangle OQR$-এ:
$\angle OQR = \frac{1}{2}\angle Q$ এবং $\angle ORQ = \frac{1}{2}\angle R$।
এখন $\triangle OQR$-এ,
$\angle QOR + \angle OQR + \angle ORQ = 180^\circ$
বা, $\angle QOR + \frac{1}{2}\angle Q + \frac{1}{2}\angle R = 180^\circ$
বা, $\angle QOR + 90^\circ - \frac{1}{2}\angle P = 180^\circ$ [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, $\angle QOR = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\angle P$
$\therefore \angle QOR = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle P$। (প্রমাণিত)
উদ্দীপক: i) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2$, যেখানে $\theta$ একটি সূক্ষ্মকোণ।
ii) দুইটি কিলোমিটার পোস্টের মধ্যবর্তী কোনো স্থানের উপরে একটি বেলুন উড়ছে।
ক) $\tan x = \cot y = \sqrt{3}$ হলে, $\cos(x + y)$ এর মান নির্ণয় করো। (মান: ২)
খ) i) নং সমীকরণটি সমাধান করো। (মান: ৪)
গ) বেলুনের স্থানে ঐ কিলোমিটার পোস্ট দুইটির অবনতি কোণ যথাক্রমে $30^\circ$ ও $60^\circ$ হলে, বেলুনটির উচ্চতা মিটারে নির্ণয় করো। (মান: ৪)
দেওয়া আছে, $\tan x = \sqrt{3} = \tan 60^\circ \implies x = 60^\circ$
এবং $\cot y = \sqrt{3} = \cot 30^\circ \implies y = 30^\circ$
$\therefore \cos(x + y) = \cos(60^\circ + 30^\circ) = \cos 90^\circ = 0$ (উত্তর)
দেওয়া আছে, $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2$
বা, $\sqrt{3}\cos\theta = 2 - \sin\theta$
বা, $(\sqrt{3}\cos\theta)^2 = (2 - \sin\theta)^2$ [বর্গ করে]
বা, $3\cos^2\theta = 4 - 4\sin\theta + \sin^2\theta$
বা, $3(1 - \sin^2\theta) = 4 - 4\sin\theta + \sin^2\theta$
বা, $3 - 3\sin^2\theta - 4 + 4\sin\theta - \sin^2\theta = 0$
বা, $-4\sin^2\theta + 4\sin\theta - 1 = 0$
বা, $4\sin^2\theta - 4\sin\theta + 1 = 0$
বা, $(2\sin\theta - 1)^2 = 0 \implies 2\sin\theta - 1 = 0$
বা, $\sin\theta = \frac{1}{2} = \sin 30^\circ \implies \theta = 30^\circ$
নির্ণেয় সমাধান: $\theta = 30^\circ$। (উত্তর)
ধরি, বেলুনটির উচ্চতা $OD = h$ মিটার এবং $AD = x$ মিটার। তাহলে $BD = (1000 - x)$ মিটার।
একান্তর কোণ বলে, $\angle OAD = 60^\circ$ এবং $\angle OBD = 30^\circ$।
সমকোণী $\triangle OAD$ হতে পাই, $\tan 60^\circ = \frac{OD}{AD} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies x = \frac{h}{\sqrt{3}} \dots (i)$
আবার, সমকোণী $\triangle OBD$ হতে পাই, $\tan 30^\circ = \frac{OD}{BD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{1000 - x}$
বা, $1000 - x = \sqrt{3}h$
বা, $1000 - \frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}h$ [(i) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, $1000 = \sqrt{3}h + \frac{h}{\sqrt{3}} = \frac{3h + h}{\sqrt{3}} = \frac{4h}{\sqrt{3}}$
বা, $4h = 1000\sqrt{3} \implies h = 250\sqrt{3} \approx 433.013$ মিটার।
উত্তর: বেলুনটির নির্ণেয় উচ্চতা $433.013$ মিটার (প্রায়)।
উদ্দীপক: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $91$ সে.মি ও $51$ সে.মি। অপর একটি আয়তাকার কাঠের বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে $8$ সে.মি, $6$ সে.মি ও $4$ সে.মি।
ক) একটি বৃত্তের পরিধি $220$ মিটার। ঐ বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। (মান: ২)
খ) ট্রাপিজিয়ামের অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $37$ সে.মি ও $13$ সে.মি হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো। (মান: ৪)
গ) যদি আয়তাকার কাঠের বাক্সের ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $88$ বর্গ সে.মি হয়, তবে বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব নির্ণয় করো। (মান: ৪)
মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$ মিটার।
প্রশ্নমতে, $2\pi r = 220 \implies 2r = \frac{220}{3.1416} \approx 70.028$ মিটার (বৃত্তের ব্যাস)।
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $=$ বৃত্তের ব্যাস $= 70.028$ মিটার।
বর্গের বাহু $a$ হলে, $\sqrt{2}a = 70.028 \implies a = \frac{70.028}{\sqrt{2}} \approx 49.52$ মিটার। (উত্তর)
মনে করি, $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামের $AB = 91$ সে.মি., $CD = 51$ সে.মি., $AD = 13$ সে.মি. এবং $BC = 37$ সে.মি.।
$D$ থেকে $AB$-এর ওপর লম্ব $DE = h$ আঁকি এবং $C$ দিয়ে $DA$-এর সমান্তরাল $CF$ আঁকি যা $AB$-কে $F$ বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে $AFCD$ একটি সামান্তরিক, তাই $AF = CD = 51$ সে.মি. এবং $CF = AD = 13$ সে.মি.।
$\therefore BF = AB - AF = 91 - 51 = 40$ সে.মি.।
এখন $\triangle BCF$-এর তিন বাহু যথাক্রমে $a = 37, b = 13, c = 40$ সে.মি.।
অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{37 + 13 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ সে.মি.।
$\therefore \triangle BCF$-এর ক্ষেত্রফল $= \sqrt{45(45-37)(45-13)(45-40)} = \sqrt{45 \times 8 \times 32 \times 5} = \sqrt{57600} = 240$ বর্গ সে.মি.।
আবার, $\triangle BCF$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times BF \times h = 240 \implies \frac{1}{2} \times 40 \times h = 240 \implies 20h = 240 \implies h = 12$ সে.মি.।
অতএব, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2}(91 + 51) \times 12 = \frac{1}{2} \times 142 \times 12 = 852$ বর্গ সে.মি.। (উত্তর)
দেওয়া আছে, বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য $a = 8$ সে.মি., প্রস্থ $b = 6$ সে.মি. এবং উচ্চতা $c = 4$ সে.মি.।
মনে করি, কাঠের পুরুত্ব $= x$ সে.মি.।
তাহলে ভিতরের দৈর্ঘ্য $a' = (8 - 2x)$ সে.মি., প্রস্থ $b' = (6 - 2x)$ সে.মি., উচ্চতা $c' = (4 - 2x)$ সে.মি.।
প্রশ্নমতে, ভিতরের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল:
$2(a'b' + b'c' + c'a') = 88$
বা, $(8 - 2x)(6 - 2x) + (6 - 2x)(4 - 2x) + (4 - 2x)(8 - 2x) = 44$
বা, $(48 - 28x + 4x^2) + (24 - 20x + 4x^2) + (32 - 24x + 4x^2) = 44$
বা, $12x^2 - 72x + 104 - 44 = 0$
বা, $12x^2 - 72x + 60 = 0$
বা, $x^2 - 6x + 5 = 0$ [উভয়পক্ষকে $12$ দ্বারা ভাগ করে]
বা, $(x - 5)(x - 1) = 0 \implies x = 5$ অথবা $x = 1$।
কিন্তু $x = 5$ হলে প্রস্থ ও উচ্চতা ঋণাত্মক হয়ে যায়, যা অসম্ভব। সুতরাং $x = 1$।
উত্তর: বাক্সটির কাঠের পুরুত্ব $1$ সে.মি.।
উদ্দীপক: ১০ম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিম্নরূপ:
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | 31-40 | 41-50 | 51-60 | 61-70 | 71-80 | 81-90 | 91-100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| গণসংখ্যা | 8 | 12 | 20 | 25 | 30 | 15 | 10 |
ক) মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান নির্ণয় কর। (মান: ২)
খ) সারণি হতে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় কর। (মান: ৪)
গ) উপাত্তের বহুভুজ অঙ্কন কর। (মান: ৪)
এখানে ক্রমযোজিত গণসংখ্যাগুলো যথাক্রমে: $8, 20, 40, 65, 95, 110, 120$।
মোট গণসংখ্যা $n = 120$, সুতরাং $\frac{n}{2} = \frac{120}{2} = 60$।
$60$-তম পদের অবস্থান $(61 - 70)$ শ্রেণিতে। অতএব মধ্যক শ্রেণি হলো $(61 - 70)$।
$\therefore$ মধ্যক শ্রেণির মধ্যমান $= \frac{61 + 70}{2} = \frac{131}{2} = 65.5$ (উত্তর)
সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সারণি (শ্রেণি ব্যবধান $h = 10$):
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | মধ্যমান ($x_i$) | গণসংখ্যা ($f_i$) | ধাপ বিচ্যুতি $u_i = \frac{x_i - a}{h}$ | $f_i u_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 31-40 | 35.5 | 8 | -3 | -24 |
| 41-50 | 45.5 | 12 | -2 | -24 |
| 51-60 | 55.5 | 20 | -1 | -20 |
| 61-70 | $65.5 = a$ | 25 | 0 | 0 |
| 71-80 | 75.5 | 30 | 1 | 30 |
| 81-90 | 85.5 | 15 | 2 | 30 |
| 91-100 | 95.5 | 10 | 3 | 30 |
| মোট | $n = 120$ | $\sum f_i u_i = 22$ | ||
ছক কাগজে $X$-অক্ষ বরাবর শ্রেণির মধ্যমান এবং $Y$-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ নিচে অঙ্কন করা হলো (প্রাক-শ্রেণির মধ্যমান $25.5$ এবং পরবর্তী শ্রেণির মধ্যমান $105.5$ ধরে):
উদ্দীপক: নিচে ১০ম শ্রেণির $40$ জন শিক্ষার্থীর ১ম পর্ব পরীক্ষায় ইংরেজীতে প্রাপ্ত নম্বর দেয়া আছে:
$50, 46, 55, 61, 72, 85, 60, 85, 36, 68, 48, 60, 58, 70, 65, 60, 50, 46,$
$70, 80, 65, 60, 45, 58, 55, 60, 38, 40, 70, 90, 76, 46, 65, 60, 58, 40,$
$50, 65, 68, 55$।
ক) কেন্দ্রীয় প্রবণতা কাকে বলে? এর পরিমাপগুলো লিখ। (মান: ২)
খ) শ্রেণি ব্যবধান $8$ ধরে, গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরী কর। (মান: ৪)
গ) সারণি হতে মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয় কর। (মান: ৪)
কেন্দ্রীয় প্রবণতা: অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি বা কেন্দ্রের কোনো একটি মানের চারপাশে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।
কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ ৩টি: ১. গাণিতিক গড়, ২. মধ্যক এবং ৩. প্রচুরক।
এখানে, সর্বনিম্ন নম্বর $= 36$ এবং সর্বোচ্চ নম্বর $= 90$।
পরিসর $= (90 - 36) + 1 = 55$। শ্রেণি ব্যবধান $8$ ধরলে শ্রেণিসংখ্যা $= \frac{55}{8} = 6.875 \approx 7$।
| শ্রেণি ব্যাপ্তি | ট্যালি চিহ্ন | গণসংখ্যা ($f_i$) | ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$) |
|---|---|---|---|
| 36-43 | |||| | 4 | 4 |
| 44-51 | |||| ||| | 8 | 12 |
| 52-59 | |||| | | 6 | 18 |
| 60-67 | |||| |||| | | 11 | 29 |
| 68-75 | |||| | | 6 | 35 |
| 76-83 | || | 2 | 37 |
| 84-91 | ||| | 3 | 40 |
| মোট | $n = 40$ | ||
মধ্যক নির্ণয়: এখানে $\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20$-তম পদটি $(60 - 67)$ শ্রেণিতে অবস্থিত।
সুতরাং, $L = 60, F_c = 18, f_m = 11$ এবং $h = 8$।
$\therefore \text{মধ্যক} = L + \left(\frac{\frac{n}{2} - F_c}{f_m}\right) \times h = 60 + \frac{20 - 18}{11} \times 8 = 60 + \frac{16}{11} = 60 + 1.45 = 61.45$ (প্রায়)।
প্রচুরক নির্ণয়: সর্বাধিক গণসংখ্যা $11$ রয়েছে $(60 - 67)$ শ্রেণিতে।
এখানে, $L = 60, f_1 = 11 - 6 = 5, f_2 = 11 - 6 = 5$ এবং $h = 8$।
$\therefore \text{প্রচুরক} = L + \frac{f_1}{f_1 + f_2} \times h = 60 + \frac{5}{5 + 5} \times 8 = 60 + 4 = 64$। (উত্তর)
$n = 2x - 1$, যেখানে $x \in \mathbb{N}$। দেখাও যে, $n$-এর বর্গকে $8$ (আট) দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $1$ ভাগশেষ থাকবে।
যেহেতু $x \in \mathbb{N}$, তাই $x$ এবং $(x - 1)$ হলো দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক বা পূর্ণসংখ্যা। এদের গুণফল $x(x - 1)$ সর্বদা জোড় সংখ্যা অর্থাৎ $2$ দ্বারা বিভাজ্য। ধরি, $x(x - 1) = 2k$।
তাহলে, $n^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$, যাকে $8$ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে $1$ ভাগশেষ থাকবে। (দেখানো হলো)
কোনো শ্রেণির $30$ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে $20$ জন ফুটবল এবং $15$ জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে। দুইটি খেলাই পছন্দ করে এরূপ শিক্ষার্থীর সংখ্যা $10$। কতজন শিক্ষার্থী দুইটি খেলা পছন্দ করে না তা ভেনচিত্রের সাহায্যে বের কর।
শুধু ফুটবল পছন্দ করে $= 20 - 10 = 10$ জন এবং শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে $= 15 - 10 = 5$ জন।
অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে, $n(F \cup C) = 10 + 10 + 5 = 25$ জন।
$\therefore$ দুইটি খেলাই পছন্দ করে না $= 30 - 25 = 5$ জন। (উত্তর)
উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর: $a^3 + (a + 1)^3 - 9$
ধরি, $f(a) = 2a^3 + 3a^2 + 3a - 8$। এখানে $a = 1$ বসালে, $f(1) = 2 + 3 + 3 - 8 = 0$, তাই $(a - 1)$ একটি উৎপাদক।
এখন, $2a^3 + 3a^2 + 3a - 8 = 2a^3 - 2a^2 + 5a^2 - 5a + 8a - 8$
$= 2a^2(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1) = (a - 1)(2a^2 + 5a + 8)$ (উত্তর)
বার্ষিক শতকরা $6.5\%$ হার সরলমুনাফায় $750$ টাকার $4$ বছরের সবৃদ্ধিমূল কত?
সরল মুনাফা, $I = Prn = 750 \times \frac{6.5}{100} \times 4 = 195$ টাকা।
$\therefore$ সবৃদ্ধিমূল, $A = P + I = 750 + 195 = 945$ টাকা। (উত্তর)
যদি $a^x = b, b^y = c$ এবং $c^z = a$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $xyz - 1 = 0$
আবার $b = a^x$ বসিয়ে পাই, $(a^x)^{yz} = a \implies a^{xyz} = a^1$
বা, $xyz = 1 \implies xyz - 1 = 0$। (প্রমাণিত)
$x - 2y = 2$ এবং $\frac{1}{2}x + y = -1$ সমীকরণ জোটের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, সুতরাং সমীকরণ জোটটি সামঞ্জস্য, পরস্পর অনির্ভরশীল এবং এর একটিমাত্র (অনন্য) সমাধান আছে। (উত্তর)
দুই অংক বিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অংকটি দশক স্থানীয় অংক অপেক্ষা $2$ বেশি। অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা $6$ কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।
$\therefore$ সংখ্যাটি $= 10x + (x + 2) = 11x + 2$।
অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করলে নতুন সংখ্যাটি হয় $= 10(x + 2) + x = 11x + 20$।
প্রশ্নমতে, $11x + 20 = 2(11x + 2) - 6 \implies 11x + 20 = 22x + 4 - 6$
বা, $11x = 22 \implies x = 2$।
$\therefore$ নির্ণেয় সংখ্যাটি $= 11(2) + 2 = 24$। (উত্তর)
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ ধারাটির প্রথম কয়টি পদের সমষ্টি $1\frac{127}{128}$ হবে?
মনে করি, প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $= 1\frac{127}{128} = \frac{255}{128}$।
প্রশ্নমতে, $\frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{255}{128} \implies \frac{1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{255}{128}$
বা, $2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \frac{255}{128} \implies 1 - \frac{1}{2^n} = \frac{255}{256}$
বা, $\frac{1}{2^n} = 1 - \frac{255}{256} = \frac{1}{256} = \frac{1}{2^8} \implies n = 8$। (উত্তর: ৮টি পদের)
যদি $\frac{a+b}{b+c} = \frac{c+d}{d+a}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $c = a$ অথবা $a + b + c + d = 0$
বা, $\frac{a + b - b - c}{b+c} = \frac{c + d - d - a}{d+a} \implies \frac{a-c}{b+c} = \frac{c-a}{d+a}$
বা, $\frac{a-c}{b+c} + \frac{a-c}{d+a} = 0 \implies (a-c)\left(\frac{1}{b+c} + \frac{1}{d+a}\right) = 0$
বা, $(a-c)\left(\frac{a+b+c+d}{(b+c)(d+a)}\right) = 0$
সুতরাং, $a - c = 0 \implies c = a$ অথবা, $a + b + c + d = 0$। (প্রমাণিত)
রম্বসের দুইটি কর্ণের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে। রম্বসটি আঁক।
১. যেকোনো রশ্মি হতে $AC = d_1$ কেটে নিই এবং $AC$-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক $PQ$ আঁকি যা $AC$-কে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে।
২. $O$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $\frac{1}{2}d_2$-এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে $PQ$ রেখা থেকে $OB$ ও $OD$ অংশ কেটে নিই।
৩. $A,B; B,C; C,D$ ও $D,A$ যোগ করি। তাহলে $ABCD$-ই নির্ণেয় রম্বস।
প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
আমরা জানি, একই উপচাপ $AB$-এর ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB$-এর দ্বিগুণ, অর্থাৎ $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB$।
যেহেতু $AB$ একটি উপচাপ, তাই কেন্দ্রস্থ $\angle AOB < 180^\circ$ (দুই সমকোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর)।
সুতরাং, $\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB < 90^\circ$ (এক সমকোণ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর)।
অতএব, অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। (প্রমাণিত)
কোনো বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁক যেন তা নির্দিষ্ট একটি সরলরেখার সমান্তরাল হয়।
১. কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ সরলরেখার ওপর $OD$ লম্ব আঁকি, যা বৃত্তের পরিধিকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
২. এখন $P$ বিন্দুতে $OP$ ব্যাসার্ধের ওপর $XY$ লম্ব অঙ্কন করি।
যেহেতু $OD \perp AB$ এবং $OP \perp XY$, তাই $XY \parallel AB$ এবং $XY$ বৃত্তের $P$ বিন্দুতে নির্ণেয় স্পর্শক।
$30$ সেমি ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে $9$ সেমি দূরে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সেমি?
সমকোণী ত্রিভুজে $50^\circ$ কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?
নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
রম্বসের ক্ষেত্রে- i. প্রতিসাম্য রেখা ২টি, ii. ঘূর্ণনকেন্দ্র কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দু, iii. ঘূর্ণন প্রতিসাম্যতার কোণ $90^\circ$। নিচের কোনটি সঠিক?
উদ্দীপক: $x^2 = \sqrt{5}x - 1$ হলে, $x + \frac{1}{x} =$ কত?
উদ্দীপকের আলোকে ($x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ হলে), $x^3 + \frac{1}{x^3}$ এর মান নিচের কোনটি?
$\frac{5 \cdot 3^{x+1} - 14 \cdot 3^x}{3^x}$ এর মান কত?
সমবৃত্তিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ $4$ সেমি এবং উচ্চতা $12$ সেমি হলে, এর বক্রতলের ক্ষেত্রফল -
$\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ সদৃশ এবং $BC : EF = 3 : 4$ হলে, $\triangle ABC : \triangle DEF = ?$
সারণি: (31-40: 14), (41-50: 18), (51-60: 12), (61-70: 14)। প্রচুরক শ্রেণির মধ্যমান কত?
উপরের সারণির প্রদত্ত উপাত্তের প্রচুরক কত?
জন্মসাল কোন ধরণের চলক?
কোনো উপাত্তের পরিসর $67$ এবং সর্বোচ্চ মান $85$ হলে, সর্বনিম্ন মান কত?
একটি সেটের উপাদান সংখ্যা $4^p$ হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?
$3x - 5y - 7 = 0$ এবং $6x - 10y - 15 = 0$ সমীকরণ জোটটি- i. অসামঞ্জস্য, ii. পরস্পর অনির্ভরশীল, iii. সমাধান সংখ্যা ১টি। নিচের কোনটি সঠিক?
কোন বহুপদী $f(x)$ কে $(4x + 2)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ নিচের কোনটি?
$q = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ হলে, $\frac{1}{q}$ এর মান কত?
কোন অর্ধবৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ-
পাশের চিত্রে $DE \parallel BC$ এবং $BD \parallel CF$ ($\angle A = 60^\circ, \angle ECF = 50^\circ$) হলে $\angle ABC + \angle ACB = ?$
বৃত্তের ক্ষেত্রে- i. উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ, ii. যেকোন জ্যা এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী, iii. বৃত্তের সকল জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। নিচের কোনটি সঠিক?
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ $ABCM$-এ $\angle B = 90^\circ$ এবং বর্ধিত বাহুর সাথে $\angle M D A = 30^\circ$ হলে, $\angle MAD$ এর মান কত?
$\sec\beta = \frac{x}{y}$ হলে, $\tan\beta$ এর মান কত?
$\cos A \sqrt{1 + \cot^2 A} = ?$
$2x - 1 = \frac{1 - 2x}{x}$ এর সমাধান সেট কোনটি?
$4p - \frac{1}{5p} = 20$ হলে, $5p - \frac{1}{4p}$ এর মান কত?
$a > 0, b > 0$ এবং $a \neq 1, b \neq 1$ হলে নিচের কোনটি সঠিক?
i. $\log_a b \times \log_b a = 1$, ii. $\log_a p^b = p \log_a b$, iii. $\log_a(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a}) = \frac{5}{6}$
$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ হলে, $\frac{6x + y}{3x + 2y}$ এর মান কত?
একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য এর অনুপাত $18 : 25$ হলে, দ্রব্যটি বিক্রয়ে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হয়েছে?
$4 + 7 + 10 + 13 + \dots$ ধারাটির $n$ তম পদ কত?
$\log 3 + \log 9 + \log 27 + \dots$ এর ক্ষেত্রে- i. ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, ii. ধারাটির পরবর্তী পদ $4\log 3$, iii. ধারাটির সাধারণ অনুপাত $\log 3$। নিচের কোনটি সঠিক?
