এসএসসি গণিত অধ্যায়:১০ গুরুত্বপুর্ণ ১০ টি সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান

জাহিদুল সাদ ক্লাসরুম

সাধারণ গণিত | অধ্যায় ১০: দূরত্ব ও উচ্চতা (সৃজনশীল প্রশ্ন ব্যাংক ও সমাধান)

সৃজনশীল প্রশ্ন ১

একটি নদীর এক তীরে কোন স্থানে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখলো যে, ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে অবস্থিত \(160\) মিটার লম্বা একটি টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি কোণ \(30^\circ\)। লোকটি একটি নৌকা যোগে গাছটিকে (টাওয়ারটিকে) লক্ষ্য করে যাত্রা শুরু করলো। কিন্তু পানির স্রোতের কারণে লোকটি গাছ (টাওয়ার) থেকে \(20\) মিটার দূরে তীরে পৌঁছল।

(ক) উদ্দীপকটি চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।

(খ) নদীর বিস্তার নির্ণয় কর।

(গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব কত?

১ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে আনুপাতিক চিত্র:

মনে করি, নদীর এক তীরে \(C\) বিন্দুতে লোকটি দাঁড়িয়ে আছে এবং ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে \(B\) বিন্দুতে অবস্থিত টাওয়ার \(AB = 160\) মিটার। \(C\) বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ \(A\)-এর উন্নতি কোণ \(\angle ACB = 30^\circ\)। স্রোতের কারণে লোকটি \(B\) বিন্দু হতে \(20\) মিটার দূরে \(D\) বিন্দুতে পৌঁছায়, যেখানে \(BD = 20\) মিটার।

(খ) নদীর বিস্তার নির্ণয়:

দেওয়া আছে, টাওয়ারের উচ্চতা \(AB = 160\) মিটার এবং উন্নতি কোণ \(\angle ACB = 30^\circ\)। মনে করি, নদীর বিস্তার \(BC = x\) মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC}\)

বা, \(\tan 30^\circ = \frac{160}{x}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{160}{x}\)

বা, \(x = 160\sqrt{3}\)

সুতরাং, \(x = 160 \times 1.73205 = 277.13\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: নদীর বিস্তার \(277.13\) মিটার (প্রায়)।

(গ) লোকটির যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব নির্ণয়:

যেহেতু লোকটি ঠিক সোজাসোজি অপর তীরে যাত্রা শুরু করেছিল এবং তীর বরাবর \(B\) বিন্দু থেকে \(BD = 20\) মিটার দূরে \(D\) বিন্দুতে পৌঁছায়, তাই নদীর বিস্তার \(BC\) এবং নদীর তীর \(BD\) পরস্পর লম্ব (\(\angle CBD = 90^\circ\))।

এখানে, লোকটির যাত্রা স্থান \(C\) হতে গন্তব্য স্থান \(D\)-এর সরাসরি দূরত্ব হলো সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle CBD\)-এর অতিভুজ \(CD\)।

‘খ’ হতে পাই, \(BC = 160\sqrt{3}\) মিটার এবং দেওয়া আছে, \(BD = 20\) মিটার।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী সমকোণী \(\triangle CBD\) হতে পাই, \(CD^2 = BC^2 + BD^2\)

বা, \(CD = \sqrt{(160\sqrt{3})^2 + (20)^2}\)

বা, \(CD = \sqrt{25600 \times 3 + 400} = \sqrt{76800 + 400} = \sqrt{77200}\)

সুতরাং, \(CD \approx 277.85\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: যাত্রা স্থান থেকে গন্তব্য স্থানের দূরত্ব \(277.85\) মিটার (প্রায়)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ২

নিচের চিত্রে \(AB\) একটি গাছ, \(BD = 20\) মি., \(\angle ADB = 60^\circ\) এবং \(\angle BAC = 60^\circ\)।

(ক) চিত্রসহ সংজ্ঞা দাও: উন্নতি কোণ, অবনতি কোণ।

(খ) গাছটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

(গ) গাছটির পাদদেশ থেকে ভূতলস্থ \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় কর।

২ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) চিত্রসহ উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সংজ্ঞা:

উন্নতি কোণ: ভূতলের উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে উন্নতি কোণ বলে।

অবনতি কোণ: ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে অবনতি কোণ বলে।

(খ) গাছটির উচ্চতা নির্ণয়:

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, গাছের উচ্চতা \(AB\), ভূমির অংশ \(BD = 20\) মিটার এবং উন্নতি কোণ \(\angle ADB = 60^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\tan \angle ADB = \frac{AB}{BD}\)

বা, \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{20}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{AB}{20}\)

বা, \(AB = 20\sqrt{3} = 20 \times 1.73205 = 34.64\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: গাছটির উচ্চতা \(34.64\) মিটার (প্রায়)।

(গ) গাছটির পাদদেশ থেকে ভূতলস্থ \(C\) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়:

গাছটির পাদদেশ \(B\) থেকে ভূতলস্থ \(C\) বিন্দুর দূরত্ব হলো \(BC\)। চিত্রে সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC\)-তে \(\angle BAC = 60^\circ\) এবং ‘খ’ হতে পাই, \(AB = 20\sqrt{3}\) মিটার।

যেহেতু \(\angle BAC = 60^\circ\), তাই কোণ \(\angle BAC\)-এর সাপেক্ষে বিপরীত বাহু (লম্ব) হলো \(BC\) এবং সন্নিহিত বাহু (ভূমি) হলো \(AB\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\tan \angle BAC = \frac{BC}{AB}\)

বা, \(\tan 60^\circ = \frac{BC}{20\sqrt{3}}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{BC}{20\sqrt{3}}\)

বা, \(BC = 20\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 20 \times 3 = 60\) মিটার।

উত্তর: পাদদেশ থেকে \(C\) বিন্দুর দূরত্ব \(60\) মিটার।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৩

ভূমিতে পরস্পর \(15\) মিটার দূরে খাঁড়াভাবে দণ্ডায়মান একটি সুপারিগাছের শীর্ষ হতে একটি লিচুগাছের শীর্ষের অবনতি কোণ \(30^\circ\) এবং লিচুগাছের গোড়া হতে সুপারিগাছের শীর্ষের কোণ \(60^\circ\)। যেখানে, সুপারিগাছ লিচুগাছ অপেক্ষা বড়।

(ক) উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে একটি চিহ্নিত চিত্র কর।

(খ) লিচুগাছের গোড়া হতে সুপারিগাছের শীর্ষ পর্যন্ত সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় কর।

(গ) সুপারিগাছের উচ্চতা নির্ণয় কর। (এবং লিচুগাছের উচ্চতাও দেখানো হলো)

৩ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) উদ্দীপকের তথ্য অনুসারে চিহ্নিত চিত্র:

মনে করি, \(AB\) হলো সুপারিগাছ এবং \(CD\) হলো লিচুগাছ। এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(BD = 15\) মিটার। \(A\) বিন্দুতে আনুভূমিক রেখা \(AX\) আঁকা হলো এবং \(C\) বিন্দু হতে \(AB\)-এর ওপর \(CE \perp AB\) আঁকা হলো। ফলে অবনতি কোণ \(\angle XAC = \angle ACE = 30^\circ\) এবং উন্নতি কোণ \(\angle ADB = 60^\circ\)।

(খ) লিচুগাছের গোড়া হতে সুপারিগাছের শীর্ষ পর্যন্ত সরাসরি দূরত্ব নির্ণয়:

এখানে লিচুগাছের গোড়া \(D\) হতে সুপারিগাছের শীর্ষ \(A\) পর্যন্ত সরাসরি দূরত্ব হলো \(AD\)। দেওয়া আছে, গাছ দুইটির দূরত্ব \(BD = 15\) মিটার এবং \(\angle ADB = 60^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\cos \angle ADB = \frac{BD}{AD}\)

বা, \(\cos 60^\circ = \frac{15}{AD}\)

বা, \(\frac{1}{2} = \frac{15}{AD}\)

সুতরাং, \(AD = 15 \times 2 = 30\) মিটার।

উত্তর: সরাসরি দূরত্ব \(30\) মিটার।

(গ) সুপারিগাছের (ও লিচুগাছের) উচ্চতা নির্ণয়:

মনে করি, সুপারিগাছের উচ্চতা \(AB\)। সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\)-তে \(BD = 15\) মিটার এবং \(\angle ADB = 60^\circ\)।

সমকোণী \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{AB}{BD}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{AB}{15}\)

বা, \(AB = 15\sqrt{3} = 15 \times 1.73205 = 25.98\) মিটার (প্রায়)।

আবার, যদি লিচুগাছের উচ্চতা \(CD\) চাওয়া হয়: সমকোণী \(\triangle AEC\)-তে \(CE = BD = 15\) মিটার এবং \(\angle ACE = 30^\circ\)।

সুতরাং, \(\tan 30^\circ = \frac{AE}{CE} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AE}{15} \Rightarrow AE = \frac{15}{\sqrt{3}} = 5\sqrt{3} \approx 8.66\) মিটার।

অতএব, লিচুগাছের উচ্চতা \(CD = BE = AB - AE = 15\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3} \approx 17.32\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: সুপারিগাছের উচ্চতা \(25.98\) মিটার (এবং লিচুগাছের উচ্চতা \(17.32\) মিটার)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৪

\(64\) মিটার লম্বা একটি খুঁটি ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে \(60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে।

(ক) উদ্দীপক অনুসারে চিত্রটি আঁক এবং ব্যাখ্যা কর।

(খ) খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙে ছিল নির্ণয় কর।

(গ) খুঁটির ভাঙা অংশ তার গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল, নির্ণয় কর।

৪ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) উদ্দীপকের চিত্র ও সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা:

মনে করি, সম্পূর্ণ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য \(AB = 64\) মিটার। খুঁটিটি ভূমি হতে \(x\) মিটার উঁচুতে \(C\) বিন্দুতে (\(BC = x\) মিটার) ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ \(AC = CD = (64 - x)\) মিটার ভূমির সাথে \(D\) বিন্দুতে \(\angle BDC = 60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে।

(খ) খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙে ছিল নির্ণয়:

এখানে, দণ্ডায়মান অংশ \(BC = x\) মিটার এবং ভাঙা অংশ \(CD = AC = (64 - x)\) মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\sin \angle BDC = \frac{BC}{CD}\)

বা, \(\sin 60^\circ = \frac{x}{64 - x}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x}{64 - x}\)

বা, \(2x = 64\sqrt{3} - \sqrt{3}x\)

বা, \(x(2 + \sqrt{3}) = 64\sqrt{3}\)

বা, \(x = \frac{64 \times 1.73205}{2 + 1.73205} = \frac{110.8512}{3.73205} = 29.702\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: খুঁটিটি \(29.70\) মিটার (প্রায়) উঁচুতে ভেঙে ছিল।

(গ) গোড়া থেকে মাটি স্পর্শ করার দূরত্ব নির্ণয়:

মনে করি, খুঁটির ভাঙা অংশ তার গোড়া \(B\) থেকে \(BD\) দূরত্বে মাটি স্পর্শ করেছিল। ‘খ’ হতে পাই, \(BC = x = 29.702\) মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{BC}{BD}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{29.702}{BD}\)

বা, \(BD = \frac{29.702}{1.73205} = 17.15\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: খুঁটির গোড়া থেকে \(17.15\) মিটার (প্রায়) দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৫

নিচের চিত্রের আলোকে (যেখানে \(AB\) খুঁটি, \(BC\) ছায়া, \(CD = 18\) মি., \(\angle ACB = 45^\circ\) এবং \(\angle ADB = 30^\circ\)):

(ক) খুঁটির দৈর্ঘ্য \(3\sqrt{3}\) মিটার হলে ছায়ার দৈর্ঘ্য কত?

(খ) উদ্দীপকের আলোকে ছায়ার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

(গ) যদি \(\angle ACB = 60^\circ\) এবং \(\angle ADC = 30^\circ\) হলে \(AD\) এর মান কত?

৫ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) খুঁটির দৈর্ঘ্য \(3\sqrt{3}\) মিটার হলে ছায়ার দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

চিত্রে খুঁটির দৈর্ঘ্য \(AB = 3\sqrt{3}\) মিটার এবং ছায়া \(BC\)-এর প্রান্তবিন্দুতে উন্নতি কোণ \(\angle ACB = 45^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC}\)

বা, \(1 = \frac{3\sqrt{3}}{BC}\)

সুতরাং, \(BC = 3\sqrt{3} \approx 5.20\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: ছায়ার দৈর্ঘ্য \(3\sqrt{3}\) মিটার বা \(5.20\) মিটার (প্রায়)।

(খ) উদ্দীপকের আলোকে ছায়ার দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

মনে করি, ছায়ার দৈর্ঘ্য \(BC = x\) মিটার। যেহেতু \(\angle ACB = 45^\circ\), তাই সমকোণী \(\triangle ABC\)-তে \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = BC = x\) মিটার।

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\)-তে \(BD = BC + CD = (x + 18)\) মিটার এবং \(\angle ADB = 30^\circ\)।

সুতরাং, \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{BD}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{x + 18}\)

বা, \(\sqrt{3}x = x + 18 \Rightarrow x(\sqrt{3} - 1) = 18\)

বা, \(x = \frac{18}{1.73205 - 1} = \frac{18}{0.73205} = 24.59\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: উদ্দীপকের আলোকে ছায়ার দৈর্ঘ্য \(24.59\) মিটার (প্রায়)।

(গ) \(\angle ACB = 60^\circ\) এবং \(\angle ADC = 30^\circ\) হলে \(AD\)-এর মান নির্ণয়:

যদি \(\angle ACB = 60^\circ\) এবং \(\angle ADC = 30^\circ\) হয়, তবে \(\triangle ACD\)-তে বহিঃস্থ কোণ \(\angle ACB = \angle CAD + \angle ADC\)।

সুতরাং, \(\angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ\)। যেহেতু \(\angle CAD = \angle ADC = 30^\circ\), তাই \(AC = CD = 18\) মিটার।

এখন সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\sin 60^\circ = \frac{AB}{AC}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{18} \Rightarrow AB = 9\sqrt{3}\) মিটার।

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\sin \angle ADB = \frac{AB}{AD}\)

বা, \(\sin 30^\circ = \frac{9\sqrt{3}}{AD}\)

বা, \(\frac{1}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{AD}\)

সুতরাং, \(AD = 18\sqrt{3} = 18 \times 1.73205 = 31.18\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: \(AD\)-এর মান \(18\sqrt{3}\) মিটার বা \(31.18\) মিটার (প্রায়)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৬

একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যে, তার ভাঙা অংশ ভূমির সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে \(30\) মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

(ক) তথ্যের ভিত্তিতে চিত্র অঙ্কন করে বর্ণনা দাও।

(খ) গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

(গ) যদি গাছটি এমনভাবে ভাঙতো যে, ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে তবে গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল।

৬ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) তথ্যের ভিত্তিতে চিত্র ও বর্ণনা:

মনে করি, সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য \(AB\)। গাছটি \(C\) বিন্দুতে ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ \(AC = CD\) ভূমির সাথে \(D\) বিন্দুতে \(\angle BDC = 30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে এবং গোড়া \(B\) থেকে \(BD = 30\) মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

(খ) গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

চিত্রে \(BD = 30\) মিটার এবং \(\angle BDC = 30^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\tan 30^\circ = \frac{BC}{BD}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{30} \Rightarrow BC = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\) মিটার।

আবার, \(\cos 30^\circ = \frac{BD}{CD}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{30}{CD} \Rightarrow CD = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3}\) মিটার।

সুতরাং, গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য \(AB = BC + CD = 10\sqrt{3} + 20\sqrt{3} = 30\sqrt{3} = 51.96\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: গাছটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য \(51.96\) মিটার (প্রায়)।

(গ) ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করলে কত উঁচুতে ভেঙেছিল:

‘খ’ হতে পাই, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য \(AB = 30\sqrt{3} \approx 51.96\) মিটার। মনে করি, নতুন শর্তে গাছটি ভূমি হতে \(h\) মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল। ফলে দণ্ডায়মান অংশ \(BC = h\) মিটার এবং ভাঙা অংশ \(CD = (30\sqrt{3} - h)\) মিটার।

দণ্ডায়মান অংশের সাথে উৎপন্ন কোণ \(\angle BCD = 30^\circ\)।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle BCD\)-তে কোণ \(\angle BCD = 30^\circ\)-এর সাপেক্ষে সন্নিহিত বাহু \(BC = h\) এবং অতিভুজ \(CD = 30\sqrt{3} - h\)।

সুতরাং, \(\cos \angle BCD = \frac{BC}{CD}\)

বা, \(\cos 30^\circ = \frac{h}{30\sqrt{3} - h}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{30\sqrt{3} - h}\)

বা, \(2h = 90 - \sqrt{3}h \Rightarrow h(2 + \sqrt{3}) = 90\)

সুতরাং, \(h = \frac{90}{2 + 1.73205} = \frac{90}{3.73205} = 24.12\) মিটার (প্রায়)।

(বিঃদ্রঃ যদি ভূমির দূরত্ব \(BD = 30\) মিটার অপরিবর্তিত ধরে হিসাব করা হয়, তবে \(\tan 30^\circ = \frac{BD}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{30}{h} \Rightarrow h = 30\sqrt{3} = 51.96\) মিটার।)

উত্তর: গাছটি \(24.12\) মিটার (প্রায়) উঁচুতে ভেঙেছিল।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৭

\(A\) এবং \(B\) দুইটি কিলোমিটার পোস্টের মধ্যবর্তী কোনো স্থান \(C\) বিন্দুতে (উপরে অবস্থিত) একটি বেলুনের অবনতি কোণ যথাক্রমে \(60^\circ\) এবং \(30^\circ\)।

(ক) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্রটি আঁক।

(খ) ভূমি থেকে বেলুনটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

(গ) \(\triangle ABC\) এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

৭ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র:

মনে করি, \(A\) ও \(B\) দুইটি কিলোমিটার পোস্ট, যাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(AB = 1\) কি.মি. \(= 1000\) মিটার। এদের মধ্যবর্তী কোনো স্থানের উপরে \(C\) বিন্দুতে একটি বেলুন অবস্থিত। \(C\) বিন্দু হতে ভূমির ওপর লম্ব \(CD = h\) মিটার। অবনতি কোণ যথাক্রমে \(\angle XCA = \angle CAD = 60^\circ\) এবং \(\angle YCB = \angle CBD = 30^\circ\)।

(খ) ভূমি থেকে বেলুনটির উচ্চতা নির্ণয়:

মনে করি, বেলুনটির উচ্চতা \(CD = h\) মিটার এবং \(AD = x\) মিটার। সুতরাং, \(BD = (1000 - x)\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle ACD\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}\)

আবার, সমকোণী \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\tan 30^\circ = \frac{h}{1000 - x}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{1000 - x} \Rightarrow 1000 - x = \sqrt{3}h\)

এখন \(x\)-এর মান বসিয়ে পাই, \(1000 - \frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}h\)

বা, \(\sqrt{3}h + \frac{h}{\sqrt{3}} = 1000 \Rightarrow \frac{3h + h}{\sqrt{3}} = 1000 \Rightarrow 4h = 1000\sqrt{3}\)

সুতরাং, \(h = 250\sqrt{3} = 250 \times 1.73205 = 433.01\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: বেলুনটির উচ্চতা \(433.01\) মিটার (প্রায়) বা \(0.433\) কি.মি.।

(গ) \(\triangle ABC\) এর পরিসীমা নির্ণয়:

এখানে, \(AB = 1000\) মিটার এবং ‘খ’ হতে পাই, \(CD = h = 250\sqrt{3}\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle ACD\) হতে পাই, \(\sin 60^\circ = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{250\sqrt{3}}{AC} \Rightarrow AC = 500\) মিটার।

আবার, সমকোণী \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\sin 30^\circ = \frac{CD}{BC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{250\sqrt{3}}{BC} \Rightarrow BC = 500\sqrt{3} \approx 866.03\) মিটার।

সুতরাং, \(\triangle ABC\)-এর পরিসীমা \(= AB + BC + AC = 1000 + 866.03 + 500 = 2366.03\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: \(\triangle ABC\) এর পরিসীমা \(2366.03\) মিটার বা \(2.37\) কি.মি. (প্রায়)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৮

একটি নদীর তীরে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, ঠিক সোজাসুজি অপর তীরে একটি গাছের উন্নতি কোণ \(60^\circ\)। ঐ স্থান হতে \(150\) মিটার পিছিয়ে দেখল গাছের উন্নতি কোণ \(30^\circ\)।

(ক) চিত্রের উন্নতি ও অবনতি কোণ দেখাও।

(খ) নদীটির বিস্তার নির্ণয় কর।

(গ) ২য় বারে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ \(45^\circ\) দেখতে চাইলে লোকটিকে কতটা দূরত্বে পিছিয়ে দেখতে হবে তা নির্ণয় কর।

৮ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) চিত্রে উন্নতি ও অবনতি কোণ প্রদর্শন:

চিত্রে \(AB\) গাছের শীর্ষ \(A\)-তে আনুভূমিক রেখা \(AX\) আঁকা হলো। ভূতলস্থ \(C\) ও \(D\) বিন্দু হতে শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে \(\angle ACB = 60^\circ\) ও \(\angle ADB = 30^\circ\) এবং শীর্ষ \(A\) হতে অবনতি কোণ যথাক্রমে \(\angle XAC = 60^\circ\) ও \(\angle XAD = 30^\circ\)।

(খ) নদীটির বিস্তার নির্ণয়:

মনে করি, নদীর বিস্তার \(BC = x\) মিটার এবং গাছের উচ্চতা \(AB = h\) মিটার। দেওয়া আছে, \(CD = 150\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow h = \sqrt{3}x\)

আবার, সমকোণী \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 150}\)

বা, \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}x}{x + 150}\)

বা, \(3x = x + 150 \Rightarrow 2x = 150 \Rightarrow x = 75\) মিটার।

উত্তর: নদীটির বিস্তার \(75\) মিটার।

(গ) উন্নতি কোণ \(45^\circ\) দেখতে হলে কতটা দূরত্বে পিছিয়ে দেখতে হবে:

‘খ’ হতে পাই, নদীর বিস্তার \(BC = x = 75\) মিটার এবং গাছের উচ্চতা \(AB = h = 75\sqrt{3} \approx 129.904\) মিটার।

মনে করি, ১ম স্থান \(C\) হতে \(y\) মিটার পিছিয়ে \(E\) বিন্দুতে গেলে উন্নতি কোণ \(45^\circ\) হবে। তখন \(BE = (75 + y)\) মিটার।

সমকোণী ত্রিভুজ \(\triangle ABE\) হতে পাই, \(\tan 45^\circ = \frac{AB}{BE}\)

বা, \(1 = \frac{75\sqrt{3}}{75 + y} \Rightarrow 75 + y = 75\sqrt{3}\)

সুতরাং, \(y = 75(\sqrt{3} - 1) = 75(1.73205 - 1) = 54.90\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: প্রথম স্থান হতে \(54.90\) মিটার (প্রায়) পিছিয়ে দেখতে হবে।

সৃজনশীল প্রশ্ন ৯

কোন একটি স্থান থেকে একটি খুঁটির দিকে \(0.05\) কি.মি. এগিয়ে আসলে খুঁটিটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ \(45^\circ\) থেকে \(60^\circ\) হয়।

(ক) তথ্যানুযায়ী সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ আনুপাতিক চিত্র অঙ্কন কর।

(খ) খুঁটিটির উচ্চতা কত মিটার?

(গ) খুঁটিটির শীর্ষ বিন্দু থেকে যে যে বিন্দুতে উন্নতি কোণ \(45^\circ\) ও \(60^\circ\) ঐ বিন্দুদ্বয় পর্যন্ত দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয় কর।

৯ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) সংক্ষিপ্ত বিবরণসহ আনুপাতিক চিত্র:

এখানে, \(0.05\) কি.মি. \(= 0.05 \times 1000 = 50\) মিটার। মনে করি, খুঁটিটি \(AB = h\) মিটার। ভূতলস্থ \(D\) বিন্দুতে উন্নতি কোণ \(\angle ADB = 45^\circ\) এবং \(D\) হতে \(CD = 50\) মিটার এগিয়ে \(C\) বিন্দুতে আসলে উন্নতি কোণ \(\angle ACB = 60^\circ\) হয়।

(খ) খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয়:

মনে করি, খুঁটিটির উচ্চতা \(AB = h\) মিটার এবং \(BC = x\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}\)

আবার, সমকোণী \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\tan 45^\circ = \frac{h}{x + 50}\)

বা, \(1 = \frac{h}{x + 50} \Rightarrow h = x + 50\)

বা, \(h - \frac{h}{\sqrt{3}} = 50 \Rightarrow h\left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\right) = 50\)

সুতরাং, \(h = \frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{50 \times 1.73205}{0.73205} = 118.30\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: খুঁটিটির উচ্চতা \(118.30\) মিটার (প্রায়)।

(গ) শীর্ষ বিন্দু থেকে ঐ বিন্দুদ্বয় পর্যন্ত দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয়:

শীর্ষ বিন্দু \(A\) থেকে \(45^\circ\) ও \(60^\circ\) উন্নতি কোণের বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব যথাক্রমে \(AD\) ও \(AC\)। ‘খ’ হতে পাই, \(AB = h = 118.301\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle ABD\) হতে পাই, \(\sin 45^\circ = \frac{AB}{AD} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{118.301}{AD} \Rightarrow AD = 118.301 \times \sqrt{2} = 167.30\) মিটার (প্রায়)।

সমকোণী \(\triangle ABC\) হতে পাই, \(\sin 60^\circ = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{118.301}{AC} \Rightarrow AC = \frac{2 \times 118.301}{1.73205} = 136.60\) মিটার (প্রায়)।

সুতরাং, দূরত্বের পার্থক্য \(= AD - AC = 167.30 - 136.60 = 30.70\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: দূরত্বের পার্থক্য \(30.70\) মিটার (প্রায়)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ১০

একটি গাছ ঝড়ে এমনভাবে ভেঙে গেল যেন ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে \(60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে গাছের গোড়া থেকে \(20\sqrt{3}\) মিটার (প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে \(20/3\) মিটারও থাকতে পারে, উভয় নিয়মেই সমাধান দেওয়া হলো) দূরে মাটি স্পর্শ করে।

(ক) উদ্দীপক অনুসারে সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ চিত্র অঙ্কন কর।

(খ) সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

(গ) ভাঙা অংশ ভূমির সাথে \(60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করলে ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

১০ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) উদ্দীপকের চিত্র ও সংক্ষিপ্ত বর্ণনা:

মনে করি, সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য \(AB\)। গাছটি \(C\) বিন্দুতে ভেঙে গিয়ে ভাঙা অংশ \(AC = CD\) দণ্ডায়মান অংশ \(BC\)-এর সাথে \(\angle BCD = 60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে এবং গোড়া \(B\) হতে \(BD = \frac{20}{3}\) মিটার (বা \(20\sqrt{3}\) মিটার) দূরে মাটি স্পর্শ করে।

(খ) সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

উদ্দীপক অনুযায়ী \(BD = \frac{20}{3}\) মিটার ধরে:

সমকোণী \(\triangle BCD\)-তে \(\angle BCD = 60^\circ\)। সুতরাং, \(\tan 60^\circ = \frac{BD}{BC}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{20/3}{BC} \Rightarrow BC = \frac{20}{3\sqrt{3}} \approx 3.85\) মিটার।

আবার, \(\sin 60^\circ = \frac{BD}{CD} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20/3}{CD} \Rightarrow CD = \frac{40}{3\sqrt{3}} \approx 7.70\) মিটার।

অতএব, সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য \(AB = BC + CD = \frac{20}{3\sqrt{3}} + \frac{40}{3\sqrt{3}} = \frac{60}{3\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 11.55\) মিটার।

বিকল্প (যদি \(BD = 20\sqrt{3}\) মিটার হয়): তবে \(BC = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20\) মিটার এবং \(CD = 40\) মিটার; তখন সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য \(AB = 20 + 40 = 60\) মিটার।

উত্তর: সম্পূর্ণ গাছের দৈর্ঘ্য \(11.55\) মিটার (অথবা \(20\sqrt{3}\) ধরলে \(60\) মিটার)।

(গ) ভাঙা অংশ ভূমির সাথে \(60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করলে ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

মনে করি, ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য \(CD = y\) মিটার। তাহলে দণ্ডায়মান অংশ \(BC = (AB - y)\) মিটার। যেহেতু ভাঙা অংশ ভূমির সাথে \(\angle BDC = 60^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে:

সমকোণী \(\triangle BCD\) হতে পাই, \(\sin 60^\circ = \frac{BC}{CD} = \frac{AB - y}{y}\)

বা, \(\frac{\sqrt{3}}{2}y = AB - y \Rightarrow y\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = AB \Rightarrow y\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right) = AB\)

১ম ক্ষেত্রে (\(AB = 11.547\) মি. হলে): \(y = \frac{2 \times 11.547}{3.73205} = 6.19\) মিটার (প্রায়)।

২য় ক্ষেত্রে (\(AB = 60\) মি. হলে): \(y = \frac{2 \times 60}{3.73205} = 32.15\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য \(6.19\) মিটার (অথবা \(AB = 60\) মি. ধরলে \(32.15\) মিটার)।

সৃজনশীল প্রশ্ন ১১

দুইটি কিলোমিটার পোস্টের মধ্যবর্তী কোন স্থানের উপরে একটি বেলুন উড়ছে। বেলুনের স্থানে ঐ কিলোমিটার পোস্ট দুইটির অবনতি কোণ যথাক্রমে \(45^\circ\) ও \(60^\circ\)।

(ক) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ আনুপাতিক চিত্র অঙ্কন কর।

(খ) ভূমি থেকে বেলুনটি কত উচ্চতায় অবস্থিত তা নির্ণয় কর।

(গ) বেলুন হতে কিলোমিটার পোস্ট দুইটির দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয় কর।

১১ নং প্রশ্নের বিস্তারিত সমাধান

(ক) সংক্ষিপ্ত বর্ণনাসহ আনুপাতিক চিত্র:

মনে করি, কিলোমিটার পোস্ট দুইটি \(A\) ও \(B\), যাদের দূরত্ব \(AB = 1\) কি.মি. \(= 1000\) মিটার। এদের মধ্যবর্তী \(D\) বিন্দুর খাড়া উপরে \(O\) বিন্দুতে বেলুনটি উড়ছে, যেখানে উচ্চতা \(OD = h\) মিটার এবং অবনতি কোণ ও একান্তর উন্নতি কোণ যথাক্রমে \(\angle OAD = 45^\circ\) এবং \(\angle OBD = 60^\circ\)।

(খ) ভূমি থেকে বেলুনটির উচ্চতা নির্ণয়:

মনে করি, বেলুনটির উচ্চতা \(OD = h\) মিটার এবং \(AD = x\) মিটার। তাহলে \(BD = (1000 - x)\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle OAD\) হতে পাই, \(\tan 45^\circ = \frac{h}{x} \Rightarrow 1 = \frac{h}{x} \Rightarrow x = h\)

আবার, সমকোণী \(\triangle OBD\) হতে পাই, \(\tan 60^\circ = \frac{h}{1000 - x}\)

বা, \(\sqrt{3} = \frac{h}{1000 - h}\) [যেহেতু \(x = h\)]

বা, \(1000\sqrt{3} - \sqrt{3}h = h \Rightarrow h(\sqrt{3} + 1) = 1000\sqrt{3}\)

সুতরাং, \(h = \frac{1000 \times 1.73205}{1.73205 + 1} = \frac{1732.05}{2.73205} = 633.97\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: বেলুনটি ভূমি থেকে \(633.97\) মিটার (প্রায়) উচ্চতায় অবস্থিত।

(গ) বেলুন হতে কিলোমিটার পোস্ট দুইটির দূরত্বের পার্থক্য নির্ণয়:

বেলুন \(O\) হতে কিলোমিটার পোস্ট \(A\) ও \(B\)-এর সরাসরি দূরত্ব যথাক্রমে \(OA\) এবং \(OB\)। ‘খ’ হতে পাই, \(OD = h = 633.975\) মিটার।

সমকোণী \(\triangle OAD\) হতে পাই, \(\sin 45^\circ = \frac{OD}{OA} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{633.975}{OA} \Rightarrow OA = 633.975 \times \sqrt{2} = 896.58\) মিটার (প্রায়)।

সমকোণী \(\triangle OBD\) হতে পাই, \(\sin 60^\circ = \frac{OD}{OB} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{633.975}{OB} \Rightarrow OB = \frac{2 \times 633.975}{1.73205} = 732.05\) মিটার (প্রায়)।

সুতরাং, পোস্ট দুইটির দূরত্বের পার্থক্য \(= OA - OB = 896.58 - 732.05 = 164.53\) মিটার (প্রায়)।

উত্তর: দূরত্বের পার্থক্য \(164.53\) মিটার (প্রায়)।